Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Зталонная (опорная) траекторня перехватчика д„(!) прн известной траектории движения целя Ю„(1) является рец1еннем системы кннезцо тическнх урзвненнй для ~~тода паралле~~~ого сблнження: Построим математическое описание системы на интервале (О,Т с использованием матричных операторов. Лля этого преобразуем структурную схему системы к виду, представленному на рнс.6.3. Рнс. 6.3.
Преобразованная структурная схема снстемм управления свмонвво. дящейся ракеты Спектральные характернстнкн входных н выходных сигналов каж- дОГО из злементОВ системы связаны следующнми сООТИОщеннямн: С" = А„С; С" = Азс"; С'= А,с.в+С'Ь; С ' = АтСв: С " = С*' — С '+ С'"", где Аы Аго Ав, Аз, Ав, Ат — проекцнонно-матричные операторы соответствукицнх звеньев системы, которые определяются следующнми соотноиеннямн: А~ = А„; Аа = (Тз1+ ТзА„+ 7~А~ + 7ОАз) йАз; Ав = (Т„1+ А,); Аз = Ат (1/г(1)); Аа =- (,А„; Ат = Ъ'А„ где А, — проекцнонно-матричный оператор Интегрирования; А (! /г(!)) — проекцнонно-матричный оператор умножения на функцию 1/г(!); 1 — единичная матрица; козффнцненты То, Тн Тт, Тз.й Определяются следующимн Выражениями: Р'т То = 1+ й~йд+йвт — ), Т! = Твв+ 2Т,До, +ййа(/з+Тм), о Тз = Тз +2Т.,Т,в~,„+й цты, Тз =- Т,Т„„, й =/г,)г,„, ° т После проведенной аппрокснмацнн математнческая модель системы прнмет внд (рис.6.4), Используя аппарат структурных преобразованнй.
легко найти матричное соотношение, связывающее спектральные характеристики входного н выходного сигналов системы: Со = А,Со" + (1+ А1АтАоАвАВАг) (А~ АзАрАвАзС""'+ Св"), где А, — проекцнонно-матрнчный оператор системы: А, = (1+ А~АтАвАтАзАт) А~АзАвА4АзАл, Рнс. 6.4. Структурная схема снстемм, математические иозезн элементов кото. рой заданы матричными операторами С~, С"н", Сгь — спектральные характеристики функции дн(г) и начальных условий соответственно. Следует отметить, что приведенная формула удобна для решенля задачи анализа системы, однако при решении задачи синтеза возникают проблемы, связанные с необходимостью минимизации иевыпуклой целевой функции (это внлно из последней формулы.
в ко,арой поз знаком обраишния присутствует матрица, зависяшая от неизвестных параметров регулятора). Переменные коэффициенты нестационарного пропорционально- интегрального регулятора аи(!) и а"(1) определяются следуюшими зависимостями: иа-Г+аи -М О 1 З н(!) н + и -Г+ и -ЗГ где а,', а";, ! = 0,1,2, подлежат определению из условия обеспечения заданного качества системы. Матричный оператор УФК с переменными параметрами, имеет вид АГ(а"„а,") = А"„(а")+ Ан(а,"), ( = 0,1.2. (622! Аи(а",) = а~о1+а",Ат (е ') +а~А,(е м). Ан (а~ю) (аонз+ аиГАн(е Г) + азиА (е-зе)) Ан Обозначим вектор неизвестных параметров следуюшни образом: Как было указано ранее, целевая функция, основанная на новизне между реальной и ~~алонной спе~тральны~и характеристиками Выхода.
является невыпуклой. В связи с этим целесообразно использовать целевую функцию следующего вида (невязка между левой н правоЙ частями операторного уравнения): 7(р) = !!(1+ А'(р) Ат) С~ — А'(р) АВСВ' — А*(р) Счи — Сз 1! шш (6.23) ГДС А'(р) "-" А1А А(р) АчАз. Поскольку параметры реГулятОра ВхОдят В матричиын оператор (6.22) линейно, полученную целевую функцию легко привести к виду ((р) = ((А(б) - ~'!! . а; = -25,274; а; = 1,496; ао — — 4,267; ао = -0,007; атн = 28,659„ аз = -4„871.
Проведем сравнительный анализ системы В условиях параметрической неопределенности прн использовании двух регуляторов: синтезированного без учета неопределенности (решение МНК при номинальной матрице Ах) и регулятора, полученного решением МНК с неопределенностью прн помОши рандОмизи(юваннОГО алГОритма. Коэффициенты регулятора для номинального случая имеют вид: а", = — 98.946„ а", .= — 4,970; где А, (~ — известные матрица и Вектор соответственно, полученные при упрошении вырюкения под знаком нормы В (6.23). Решим задачу синтеза регулятора методом наименыпих квадратов при неопределенности. Поскольку параметр Т ° входит в матричный оператор Ач.
а. следовательно, и в матрицу А, то имеет место семейство таких матриц А(б) = А (Т„). Таким образом, задача синтеза сводится к нахождению решения МНК прн неопределенности. В качестве ортоиормнрованного базиса выберем Фана = 300 блочно-импульсных функций. Пусть о = 0.001; е = 0.1 — Выбранные значения для расчета числа элементов выборки с помошью теоремы 4.1. Как уже было показано ранее.
необходимо 7н' > 3 115043 элементов б!",.... 6ГМ'. Полученная граница задана априорно, на практике сходимость приближенного решения к точному может наблюдаться н при значительно меньшей Выборке. Ограничимся размером выборки т' =!50 элементов. Ниже приведены результаты синтеза робастиого в вероятностном смысле регулятора — решение МНК с учетом неопределенности использованием рекурсивноГО алГОритмгц В качестве уГла наклона вектора скорости перехватчика в начальный момент времени Выбран йо = д(О) =- 0,35 рад: 0.4 ПЛ 0,7 и,! 0 О.! 0.2 О,З 0,4 ОЛ н я' 0,30 П,заз --0! Йг) 0.370 0,»(0 0.37 одаб ПЛЗ П.заз олв 0 ! 7:! 4 0 б 7 Рис. 6.6, График изивненив зтзлои" мого и реального углов д(!) В случае номинального обьектз 40 66 з» 26 20 15 и ! ':! 4 0 0 7 Рнс.
6.7 Г!»Вфики изыеисинк зталониого угла д(!) и реальных углов семейства систем ори исиозьзг!" Ванин регулкгорз, синтезированного ллз номинального обьек»а (без учета иеоиреле»енностн! Положим, что закон движении если имеет вмд: дк(Г) = к/12— + 0.00!г, а неопРеделенный ОВРаметР У;г имеет ноРмальиое Распвелеление.
ИсПОльзуя приведенные вын»е НОложения Влгорнтьга н зиачення параметров системы проведем с~~тез ре»улятора для случаев номинального н иеооре»»евонного Обьектов и срав~и~ качество рабо~~ системы. Пусть в качестве начального угла наклона вектора скорости г!ерехватчнка в»лбран до =- д(О) =. 0.366 рал результаты синтеза представлены ниж!.'. При синтезе регулятОра с учетОМ неопределенности: г»ьт -:= -0,0082; а" ,=- -40.0341. !!." = — 50.2674. П,! озк»0 Пла О.Ж5 0.3К О.!»70 0,37 О,»00 Пло Олза ПЛ70 007 олва 0.00 О »гй 006 0 ! 2 а ! 3 ь 7 Рис. б 8 Графики изменении зтвлоииого угла д(г) и реальных углов семейства систем ори испо »ьзоВзинн робастиого В всроктиостном смысле !»Вгулкторз Рнс.
6,10. Графики измеиенмв зталониого угла д(!) и реальных уг. лов семейства ~ис~~~ прн использовании регулятора, синтезированного алв ИОминзльиОго объекта Рис. 6.1!. Графики изменения зталоииого угла д(г) и реальных углов семейства ~ис~~~ при использо. ванин робастного В веооитностнои смысле регулвторз Анализ полученных результатов (см, рисунки 6.10-6.12) как в пер- ВОИ, так и во 0701»ом случае позволиет закл»очнть, чтО синтезнро ваннын дли и~минах~и~~~ обьекта регулитор обеспечивает ~~а~~~~~ качество фуикннонировання системы то~ько 01»н отс)тствин нопределенности. Синтезированный с использованием веромтностного подхОЛВ регулятор обеспечивает высокое качество функционировании контура самоиаведенни в условиях параметрической неопределенностг», Пример.
6.6. Синтез робастного регулятора н нсследовамие пронессов наведении Сне~еды самонаведения с математнческоЙ моделью А. А. Лебедева н В. А. Карабанова. 2В З к!0» 1.2 122 1.24 1.2В 1да 1,з 1Л2 х 10» Рис. 6.12. Графики траекторий движения цели н перехватчика, (Опорках н реальная) прн использовании не робастнога регулятора (а) н регулятора, обеспечила»ошего робастное качество управления (6) Если в предыдущих примерах решалась задача с неопределекиостыо при помощи рандомизнрованного алгоритма и строилась соответствуя»щая оценка для субоптимальяого решения, то В данном примере решается проблема синтеза регулятора, которая сводится к оптимизации иевыпуклоЙ целевоЙ функции. Очевидно. что В этом случае для построения оценок неприменимы положения п.б.2.2. В некоторых работах.
к примеру, публикациях Р.Темпо, Э. Канадо и Т. Аламо исследуя»тся проблемы оптимизации иевыпуклых функций с неопределенностью с помощь»о вероятностного подхода. Следует отметить, что построение таких оценок является сложной процедурой и не всегда возможно. поэтому при решении приведенных ниже задач м14 будем просто предполагать, что размер выборки является достаточно большим. Структурная схема сястемы самонаведения, математическая модель которой разработана А.
А, Лебедевым и В, А. )(Врабановым, представлена на рис.б, 13 (см. пример, рассмотренный в параграфе 5.5), т ф(') = «го(1) ". Эт»(1) 1 ) я(1) С ' = АВС*'! Рнс. 6.13. Структурная схема сястемы управления самонаводящейся ракеты х!»»» 1.4ВВ 1,4ЯЬ 1.46$ !ла 2 х!»»» ! Вв 1,Я !Дт 1Л 1Л !Л ! В качестве выходного сигнала выберем линейное смещение ракеты относительно опорной невраща»ошейся линии визирования 1»(»): В качестве показателя качества выберем промах системы, который не должен превыц!Вть некоторого зиачеияя Ь,, т, е.
За величину промаха будем принимать смещение ракеты относительно опорной линии визирования в момент выкл»очения координатора цели Т = 4 с. Пусть (р,(1)«,,~ — ортопормированный базис гильбертова пространства 4.21 О, Т) с весом»»(1). Пусть — вектор-столбец базисных функций. Пользуясь положениямк, изложенными в параграфе 5.5, на основе схемы (рнс.б.
И) легко построить опера~орныЙ вариант схемы. Тогда, согласно методу проекционно-матричных операторов, векторы коэффициентов Фурье разложении ВхОдных и выходных сигналов каждого нз элементов системы по базису (рн(») «» о будут связаны следу!Ошими соотношениями: здесь А», Аа, Аз, А4, Аз, Аа, Ат, Аа — проекционио-матричные операторы соответствуя»щих звеньев системы, которые определя!Отса следукпцими соотношениями: А! = А„; Ат = А,,(1»'~(1)«; Ат = (7;1+ А„) А» = Ат«п~г(1)~«; АЗ = (7~4+ А,) А„; Аа = А, 1!/1'(1)'; Аг А,: Аа = А, 1„1'(!)1», где А„— матричный оператор интегрирования в базисе („",(г)), „; Ат (7(г)( — матричный оператор умножения из функиию 7(~) в базисе (т,(Ц)„ о; 1 — единичная матрица, Тогда из соотношений (6.24) можно найти матричное соотношение, сВязыВаюшие спектральные характеристики входного и Выходного сигналов системы: где А, — проекционно-матричный оператор системы: А, = (1+ И,АЗА)АВАХАХАЗАЗ)' ~ А~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
