Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Отсюда следует, что изменение математического ожидания также огра- ничено константой Р. т.е. Рассмотрим частный случай„когда неопределенный параметр б входит в данные аффннно. Можно легко показать. что а этом случае математическое ожидание невязки определяемой МНК может быть получено в замкнутой форме. Поэтому подход со стохастической неопределенностью может рассматриваться как стандартный регуляризоаанный МНК. Для того чтобы упростить обсуждение, будем рассматривать случай, когда только матрица А содержит неопределенности, т,е. т. е. параметры б, — центрированные независимые случайные величи- ны, Следовательно, требуется знание только их ковариаций' Тогда стандартное вычисление ведет к следующему выражению для математического ожидания функции 1 (Р, б) : йА(д) Р - у(дК(, кото рое имеет внд РОР) = йуз|Т(Р,б)1 =)!Аор-И +Р~Ф>.
(6.(3) 62 ='- )' тзА~А,. Малевав функция (6. И) имеет форму регуляризованного МНК. Решение, минимизирующее функцию, (которое всегда существует) может быть записано в замкнутой форме ()ОД): Как указано в ()ОД), этот результат может быть легко обобщен на случай, когда предположение о независимости случайных величин 4 отсутствует, а у ~а~~в считается неопределенным.
Ва~ны~ является вопрос о сходнмостн конечных ямб~рок и их размерности Х. Приведенные ниже результаты получены с использованием положений теории статистического обучения, полученных В. Н. Банником и А. Я. Червоненкисом, и основаны на законе сходимостн эмпирических средних к математическим ожиданиям. Пусть имеется выборка )т' независимых одинаково распределенных элементов дп,..., Ю х, сгенерированных согласно дифференциальному закону распределения (а(д), н вычислено эмпирическое среднее: Число значений % неопределенного параметра, используемого для формирования с(р), будем здесь называть размером выборки эмпирического среднего, Обозначим через Рм значение, доставляющее минимум эмпирическому среднему Важно количественно оценить степень близости у(рм) по отношению к реальному минимуму тг(Р').
Приведем результат, позволя. ющнй определить огранцчение на размер выборки )У, необходимой для получения надежной оценки минимума л(Р) ()ОД). Справедлива следующая Теорема 6. $ () ОД) Пусть и, г 6 (О. 1) и (28 ~ 8 г 32с 32ез Ж > — ~ )и — + 9п( рл — ' + (и!и — «~, (6.15) гз о Й О О О 000 ООО 3 1 4 01! -2 б 3 001 000 О О О 100 ооо О О ! О 1 0 ООО 000 Пусть 1з' доставляет минимуи Р(р), а 1»м доставляет миниму~ эмпирическому среднему,~(р). Тосда если !зи б Р. то с вероятно. стью не менее (1 — О) вынолнявтсЯ следующее условие: рн лвлявгеся с-суболтимальным решением (в Относитель.
ном масштабе) с высокой вероятностью (1 — О). Решение рз. при КО»ЯО!Юм вынолнлетсл приведенное выияв услОвие, называется (1 — О)-вероятным около с — близким решением, доставляюи1им минимум функции зт(р) в Относитвльном масштабе Г Обратим Внимание на то, что целевая функция зт(р) имеет структуру суммы квадратов 3(р) = —,, Е ~1А(бн') р-у(бсн6'= —,()Ар-3()-'. А='~ АФ") А(б!") ... А(б!") Г. 3 ='1 (б'") (брп) " у(б'")1 Следовательно, точное решение, доставляющее минимум ЯЯ(р), может быть вычислено по формуле рм = А'3~, где А! — псевдообратная матрица Мура-Пенроуза для матрицы А. Альтернативный способ нахождения рн заклю~ается в применении стандартной рекурсивной формы МНК (1ОД, 17Д). Пусть матрица А(Ф") полного ранга, тогда точное решение, доставляющее минимум эмпирическому среднему.
может быть итератнв- ИО Вычислено следующим с»Оразом; рь = рь К,А (б' 'ы»)Ь(б' ") — А(6'" ")рь), (6,16) где Кь, = К, + А (б""') А(б!"'). Начальные условия для итерационного процесса й = 1, „т' нулевые: йо =О, ре = О. Таким Образом, алгоритм решения Включает следующие этапы (10Д): 1, Для заданного априори множества Р фиксируются желаемые вероятностные показатели О, с и определяется теоретическое Ограниченна для Л'. 2, Вычисляется рм, Для его вычисления необходимо получить случайную выборку б'", ( = 1, »т', в соответствии с лмфференциальным законом распределения )з(д).
3, Если р»с б Р, тогда с вероятностью более, чем (1 — О) это решение будет.-субоптимальным решением, доставляющим минимум функции р(р) в относительном масштабе Р. 6.3,2. Примеры синтеза робастмьзх регуляторов методом наименьших квадратов. В настоящем параграфе приведем примеры синтеза, котОрые позВОляют проиллюстрировать нзложенньж Выше теоретические положения. Пример 6,2. рассмотрим случай аффинной неопределенности матрицы А. Бумм искать точное решение данной задачи в соответствии с приведенными положениями и сравним полученный результат с решением при помощи рандомизированного алгоритма.
Пусть и пусть Ỡ— цеитрироваииые случайные величины, распределенные по нормальному закону с СКО»г» =- 0,067, От = 0,1, Оз = 0.2, соответ- ственно. В данном случае точное решение имеет вид Стандартное решение МНК невозмущеиной системы (т.е. А (б) = Ао) запишется так: р ь-- (-1О -9.728 9,983~ ° являющееся Фдалекимь От р, поскольку ))рмь»» — р )! 13,166.
Для поиска численного субоптимального решения зададим с = 0,1 и (1 — О) = 0,999, В соответствии с приведенными положениями число элементов выборки должно составить А' > 3115043 элемента. Прн .»Ч' = 20000 применение итерационного численного алгоритма дает следующий результат: Пример 6.3. Рассмотрни три класса систем: $. Линейные стационарные системы. В качестве примера будем рассматривать систему, поведение которой описывается дифференци.
альиым уравнением вида 3. Нелинейные системы автоматического управления с постоянными параметрами. В качестве примера рассматрнвзется ДУ вида где Ьо = 1.22рэ, Ь) = 1,22рз, Ьз = 1,227»т, Ьз = 1,22р), ао = 1.22рэ, а) = 1,22рз. ат = 1+ 1,22р», аз = 5+ 1.22р), аэ = 9. аз = 7,4, аь = 2,25; р) рт рз. рэ параметры регулятора. Задача синтеза: переходная характеристика скорректированной системы должна удовлетворять условиям: где Т вЂ” время переходного процесса„а — допустимое перерегулироВыберем в кзчестве эталонной переходной характеристики реакцик» впериодического звена на единичное входное воздействие: Найдем решение задачи синтеза робастного регулятора в случае отклонения коэффициентов ат, аз. ао аз, аа на ~10% от четырех номинальных значений.
2. Лииеймые системы автоматического управления с переменными параметрами. Дифференциальное уравнение имеет вид Ксьэ"ь(!) ' ') = ~ ,"» «(1' 1.(!) р" « — -а ь=) 1 =О Ь--1 Задача синтеза: эталонным является выходной сигнал, являюцсийся реакцией на заданное воздействие, которое удовлетворяет требованиям технического задания) робастный регулятор синтезируется при отклонениях численных значений «'„:, Ь =, 1,!. г = О.п; «(1', Ь =- 1.(: 0 = О.п», коэффициентов до 2О% от номинала, причем из всех указачнь)х коэффициентов Отклбнення от нОмннала имеют лишь те, которые Определяют динамику объекта управления.
регулятор является линейным стационарным с парзметрамн р),7»з, °...р«, расчет кОторых является задачей синтеза (такие задачи приведены в гл.4). Численные гишчення коэффициентов совпадают с коэффициентами уравнения (6.17). а постановка задачи совпазает с постановкой зада- чи синтеза робастного рег)ляторз системы, описываемой уравненнеч (6.17), Переходная характеристика, г (х) — характеристика нелинейного элемента, отклонения численных значений коэффициентов от эталон- ных определяются содержанием задачи н условиями функционирова- ния системы (задачи приведены а гл.4), Выше были приведены три уравнения, которые позволяют отобра- зить особенности процесса перехода от указанных уравнений к фор- мулировкам задач синтеза робастных регуляторов, решение которых может быть получено ~стадо~ наименьших квадратов.
Алгоритм про- нллюстрнруем на примере уравнения (6 16), кратко формулируя основ- ные этапы. Этап 1: переход от уравнения (6.16) к уравнению, коэффициенты котор01"0 включают Г10рождаюшне функции. Результат реализации ! этапа имеет вид е 3 Х: .р,(!) '")(!) = Х: Ььр;(!Ь'")(4). ~ =О 1" О где 1»,(!) — так называемь)е порождаю)цие функции. 2 этап) перехОд к ннтегральнОму уравнению. Интегральное уравнение, эквивалентное последнему ДУ, имеет вид; э ( 1)ь 1*«и)[«.
—,м)«. —.«) — 1««)1«- )')1« 61 " ~т~ 3 ( 1)ь ,(ь )«И[«.—,«)«н,—,«) — )«) ))«- ))[«. 1«а) 6! '"' ( 3 этап) получение системы приближенных равенств. Поскольку а (ь ,') (-1)'аь(р) ""рэ) —;, (р«(т)(7' — г)а) = = 2,26 — (р,( )(2' — ) ) — 7,4 — (р(т)(2' — ') )+ д' а «(, а « Втз Ов(!) г,(~) гт(0 г в) г1(! В = )"*,, гоа(е - ов) — асов(е — о), г' = 1гз)п(з — ()) — 1 "вв)п(г — дц), У вЂ” О (6.2! ) с параметрнческой неопределенностью методом наименьщих квадратов с использованием аппарата матричных операторов Зтот аппарат является общим н может быть использован для синтеза робастных УФК систем самонаведення (ССН), которые рассмотрены в гл.4, В случае если ССН включает НЗ. применяется итерационный процесс.
Структурная схема контура самонаведення представлена на рнс.6.2 Рнс. 6.2 Структурная схема системы управ тенин самонаводящейся ракеты Параметры структурной схемы системы имеют следующие значення: $' -- ! ВОО м/с; К„= 2500 м/с; й„т == 0,14; Т„= 0,2 с; й„= 1,2; /г„, = 2,35 рад/с: д = 0.115 с; Т„„= 0,155 с; г,„= 0,052; Т„„= 0.33 с: 7)., = 3,05 с.
Полагаем. что закон двнження цетн (нзмененне угла ~аклона Вектора скорости) определяется формулой: йв(1) =- к/12 рад. Расстояние между целью н перехватчиком В начальнын момеит Временн составляет го = г(0) -- 32361 метр. Также задано значение угла наклона линии внзировання в начальный момент времени зо = е(0) = я/10 рад Известно. что Отклоненне постояннон временн коордннатора 7', от номннального значения достнгает ~8'А. Таким образом. б = 7;,- является неопределенным параметром. Необходимо снитезировать регулятор, обеспечнвающнй движение снстемы по эталонной траектории прн всех возможных значениях неопределенного параметра Т„нз интервала неопределенности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
