Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для сравнения приведем также результаты решения уравнения (2.!24) методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности с шагом Ь = О,!. Для вычисления вектор-столбца правой части системы линейных алгебраических уравнений. соответствующего интегралу (2,126), также воспользуемся формулой трапеций. Тогда (2.125) запишется так: Ахи Для шага дискретизации й = 0,1 соответствующие матричнью операторы имеют внд (приводятся вырезы матриц размерностью 5 х 5): Табл и па 2,1. Дискретные значения выходного сигнала систсии г, с Метод Рунге-кутта, Метод квадратур.
Метод квадратур, ь =0,1 6=0,1 6=005 О,О 1 О,ОООО 0 0000 0.1 0,0063 0„01 !9 0,2 0,1425 0,1667 0.4 2,244$ 2,5203 0.5 4,7845 $,!882 0.6 6,2914 8,7403 0,7 ! 2,4417 12,8378 1,1 !.9 2.6.9. Построение сеточки-матричных операторов, вививахентиьгх диффереициальиьдм уравнениям. Сеточка-матричные операторы можнО построить без реализапии перехода к интегральному уравнению.
Напомним, что Л)'(гг) = 7"(и + Ц вЂ”,Г"(гг) = 7""(и) — Е„ (2.128) называется конгчной разностью первого порядка (первая разность). 16,7831 20.8438 24,2476 26,7177 28,1440 26,5461 26,0470 26„8326 25.11 И 23.0612 20.9070 13.709$ 16,5659 ! 4,5172 12,5806 10,7618 9,0656 7,5016 17,0749 21,0518 24,423 ! 26,9350 28,447$ 28,9398 28,4957 25„4872 23,3388 21,0226 18,6893 16,4412 14,3346 12,3899 10.6037 8.9641 7,4612 0,0000 0.0082 0,1540 0,7941 2,3118 4,8837 8,4043 12,5441 16.6$% 20,9000 24.2881 %,7665 28„2153 26,6434 26,1622 26,9498 2$,2122 23,1506 20,9373 !8.7017 16,5286 14,4646 12,5272 10,7196 9,0421 7,4973 О 0,5 1 1,5 2 2„$ дс Рис. 2.7. Графики выходного сигнала системы ьтдп) = ь,7(п+ ц — ьщ = =,7!н+ 2) — 27(п+ Ц + г!и) = уа!и) — е„, (2,!29) Аналогично, ЬзДН) = 7!и*3) — 3)!и+ 21+ 3)(н+ Ц вЂ” 7!П) = У"!и) — с .
(2,130) Для разности порядка й справедлива формула Ь~ДП) ~ (-!)" 7(п+)г- и). (2,!31) и! (й — «).' Для пояснекии содержания сеточных методов реп!в~Ни операторных уравнений приведем примерьг, Приближенное решение краевой задачи, дифференциальное уравнение (ДУ) и краевые условия которой имеют вид (267) будем находить в виде разложения по выбранной координатной системе: тгт(!) = 2'с,'р,(1) = ~ ~~Р(! — !). (2.! 33) Введем на отрезке !О, !) набор узлов. Например «,=«Ь, «льОЖ, Ь=1/Х, Рассмотрйм равенство г(тх х(«; ~) — 2х(«г) + х(«,+~) 6« "" Ь Поскольку с,Ь вЂ” некоторая малая величина, стремяшаяся к нулю прн Ь - О, то легко получить систему равенств Предполагая, что величины с;Ь малы, и отбрасывая их в (2.136), ПРИХОДИМ К СИСТЕМŠ— х; ~ +2х, — х~+~ Ьт +' оах« = у(««). « = 1,У; ха = хм =О.
(2.И?) компойейты решеййя которой х; прй малых е« будут блйзхй к значенйям х(«,). Таким образом, решив систему (2,137), мы тем самым найдем приближенные значения точного решения задачи в узлах «,. Описанный выше подход построения системы (2.137), которую з векторно-матричной форме можно записать (учитывая, что хо = хн = = О) в виде 2 — т*! Ьс -1 Лт Ьт Отракает идею построения приближенных решений многих задач с по- нощью сеточно-матричного метода. Поскольку Эйлер предложил заменять искомую функцию сеточной, то матричный оператор в уравнении (2.138» будем называть операя«оров Эйлера. Системз (2.138! Нмсст порядок Л' — 1. а матрица ес имеет ненулскыс элементы лишь па диагокалп, поллидгоналк и наддиагОнзли.
Очевидно. что для хранения мзтрнк подобной структуры требуется гораздо меньший объем гамятк ЭВМ (к отличие от ситузкни, когда матркна системы нвлкстск плотной!. Кроме того, для решения системы типа (2 !38) построены простые тнонолшчкыс алгоритмы. Имеется важная группа задач, приводящая к линейным системам с сотнямн и ~ысячами неизвестных. Матрицы таких систем слабо заполкены, но расположение нулевых элементов таково. что многие методы Оказываются неэффективнымн (например, метод исключенйя), Подобные большой размерности разреженные линейные системы целесОООрагкю решать итерзцнОнкыми методами.
Таким образолн даже на маломощных ЭВМ можно решать системы аида (2.И8) сравнителыю больших размерностей, получая при этом достаточно точные приближения к значениям,г(«,), ! = О.?т', Отмеченные выше обстоятельства яаилнсь одной из причин того, что разкостныс методы с развитием ЭВМ стали находить все более широкую Область применения. Если (2. И8) переписать в форме А,.~С" =- С", С'=А 'С" (2,140) Таким образом, рассмотренный пример иллюстрирует описание некоторого физического процесса с помощью уравнения (2.!32) н его исследование. которое свелось к решению уравнения (2.132) с сеточноматричным оператором Эйлера. Можно продолжить рассмотрение вопроса на другом, достаточно сложном примере.
Рассмотрим двумерное уравнение Пуассона дкх(г,«) 'дтх(с,«) — = д(с,г). О < с, г < 1. (2.!41) с краевымн условнямн х(з, «) = д(с, П„(с. «) б Я, пркчем д(с, «) — оппезелена и непрерывна на Я (гранина единичной квадратной области ««). Будем использовать !эааномер" гх ную разностную сетку длн квадра~~~й Области. ;„«,» В )7 построена (рис.2,8) рва* номерная квадратная сетка с шагом Ь = «.?(Дг + !), где Š— дли(сь ««» на стороны квадрата «г. Для целых «и г' множество йл содержит точки сетки с координатами (;, «,'»::, = «Ь. «, = 38 для О < Ь «%с. Л -~-1, Ркс. 2,8.
Раакоиернзя разкосткая сетка длк единичной ккадраткай области Обозначим через 11З = 1(~11ь — множество Внутренних точек сетки, а через 5» = 511ПЗ вЂ” множество граничных точек. Конечноразностная аппроксимация уравнения Пуассона в точке сетки (аи1„1 В Йь записывается так. т 4г, — г,,! —.г, 1„,! ° »»з ч — — Ь ф",,1,1, Приведем теперь несколько точечных упорядочений и упорядочений по линиям в случае, когда М + 1 = 4 (рис.2.3).
В атом случае имеется девять неизвестных н Ь = 114. Здесь упоряяоченне неизвестных в векторе х определяется слезуюпзим образом: в первую очередь нумеруются точки сетки в области реаения задачи. Тогда пусть Ь.я компонента вектора х представляет собой неизвестное, соответствующее точке сетки, отмеченной индексом Ь. 16 И 32 гз $« Рнс. 2.9. Упорядочение точек сетки зля точечных разбиений: а — естественное упорядочение; 6 — «красно-черное» упорязоченне (х,' ., Следует зз х,, если 1' > У нлн» > !1 Для точечных разбиений естественное упорядочение неизвестных в векторе х определяется нумерацией точек сетки, показанной на рис,2.9,а, Пусть хь обозначает неизвестное в точке сетки Ь и все члены, соответствукнцие краевым условиям, перенесены в правую часть.
Тогда система разиостных уравнений для мого случая может быть ЗЗПИСЗНЗ В ВИЗЕ Другим упорядочением для точечного разбиения является «крзсночерное разбиение, Оно определяется так: пусть »красные» неизвестные образуют множество всех точек х, „, зля которых (!+Я четно, и пусть»черные» неизвестные образуют множество всех таких л», зля которых (! ь 1) нечетно.
11ри таком подходе красно-черным» упорядочением может быть любОВ такое !ПорядОчение, В кОтором любое »черное» неизвестное следует за Всеми «красными» неизвестными. «Красно-черное» упорядочение неизвестных для точечного разбиения определяется нумерацией точек сетки, изображенной на рис,2.9, б. В случае использования зтого упорядочения неизвестных разностное уравнение можнО записать а матричном Виде: -1 -1 О О О 4 -1 — 1 — 1 -1 ΠΠ— 1 -1 0 — 1 — 1 О 0 0 -1 -1 О 4 О О 4 О -1 -1 где я!, .,Зз — «красные» неизвестные ВЕСТНЬИ.', Если положить +дю-Ь' + у! — Ь' -Ьз +утт-Ь т + ут« — Ь' -Ьт — Ь' Ьз Ьз 4 о -! — 1 О -1 Д'В О зт -1 ха 4 ха х, 0 -1 О 4 О О 4 Π— 1 Π— 1 — 1 О -1 О 0 4 -! 4 О -1 у!! + д!з — Ь~ У!т у!3+ум-Ь' ум — Ьт з — Ь'- д!з — Ьз д!В+ утз — Ьз узз — Ьз Фзз + уьч «ст то из (2.143! Можно легко получить Нт р = в 0 0 -1 0 -1 0 — 1 0-1 0 -1 0 0 — 1 -1 Детальное обсуждение рассматриваемого подхода приведено в (2671.
Важным является тот факт, что связь между решением уравнения (2.141) н нсходнымн даннымк (правая часть н краевые условна) определяется операторными уравнениями с матричными операторами Эклера: А,зХ~ = Ъ'~ н А,зХз = Ъ'т, (2.146) В итерационных методах, основанных нз ~красно-черном~ разбиения, требуется на каждой нтерацян решать подскстемы вила Опхп = РЛ н ГупХп = рп. Объем вычислительных затрат. необходимых для решении этих подсистем, существенно уменьшается в случзе, когда блочно-днагональиые матрицы Ог~ н )Эп являются легко обратимымны Для некоторых фнзнческнх задач прнходнтся проводить тщательное исследование в целях получения подобных разбиений.
Более детально эта проблема обсуждается в (267). Итерационные методы обычно прнмекяются для решения задач с тремя простракственнымн перекеннымн; задач, включающих системы нелннейных уравнений; задач, возникающих прн дискретизации скстем уравнений в частных производных, а также для решения кестационарных задач с более чем одной пространственной переменной.
Прн кспользовакнн нтерзцнонных методов ключевым является вопрос ускоренна скоростн сходнмости. В работе 1267) рассмотрены приближения: полнномнальное, чебыщевское, адаптивное чебыщевское, сопряженных градиентов ускорения сходнмостн итерационных процессов. Пркмененне аппарата конечных разкостей, например вида (й полагаем равным 1) цтх(1, ) — = Ьтх(1,) ч яка~ = х (г; т) — 2х(1„+~) + хК) + е„ нлн. в общем случае: 4" х(г,) „",, к( — -- Ь"х(1,) + ецы — - ~ ( — 1)' ' х(1,+ь;), (2.147) гй" ' ' «"1 (1г — о)! может принести при большим значениях й к накопленню ошибок, поэтому целесообразно пользоваться аппаратом интегральных уравненнй, переходя от исходного ДУ высокого порядка к эквивалентному интегральному уравнению. В заключенке отметнм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
