Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Важным является следующее положение: дано уравнение (2.291, требуется выбрать такое вырожденное ядро ,(»,т), чтобы погрешность приближенного решения не презосхо. зила некоторого ззланного числа х. Оценка (2.33) позволяет судить ь быстроте схолиь»ости приближенных решений хшн(») к точному «(»1 — погрешность этих решений есть бесконечно малая порядка не ниже, чем и Как отмечается в работах (281-283), удачный выбор близкого вы- рожденного ядра требует известного искусства вычислителя и ззвисит т его опыта, Тзм же приводится оценка погрешности, когда ядро разбито нз сумму (уо(») ~ Х,з)О,Т)): йо(», т) ~ »(», т) + г(», т), (2.34) причем слагаемое «(»,т) имеет малую норму в метрике ьз)(О,Т) х ..
»О, Т)): ~ ~ 1«(», т)) д» дт < сз, оз гас г — достаточно малое число. Тогда решение уравнения х»(») — «1(», г) х»(г) дт = уо(») (2.35) Сущсгтяувт Прн ЛЮбОМ»ЛД») б».З)О. Т) И Гх(») — Т«~(») )! = О(З). Если ядро йо(»,т) удовлетворяет неравенству ~ ))г„'~(», т)) дт к, :Аь = сопьз, (2,36) а слагаемое г(»,т) разбиения йь(».т) = 1(», г) + г(»,т) удовлетворяет неравенствам тт т 1),(»,.)!'д д. <='.
1И».,)!'дт<.з ..= то справедлива равномерная оценка ))*(») — х»(») !) = О( ). Для уточнения оценки величины ))х(») — *»(») !)с(о,т) = О(с) введем обозначенигп Гь(», т) и Г»(», т) — резольвенты ядер»г~~(», т) и Ц».т), ))г)), ))Гь(».т)))„))Г»(»,т))! — нормы операторов с ядрами г(».г), Гь(», т) и Г»(», т), справеллнва оценка )281-283) ))х(») — хч(») )! < ))г)) (1+ !)Гь!)) (1+!) Г»)!) !)уо!) ° причем норма в последней формуле может быть взята кзк в»,з)О, Т), тзк и в С)О, Т). Если воспользоваться нормой в з.з)О,Т), то с учетом неравенства !)г)) < е формула принимает вид ))х(») — х»(») )!»:(ог. < = (1+ )! ь)!) (1+ )!»~)) !)уо))у,."~о»1 2.2,3. Основные направления применения полученных результатов лля решения задач синтеза регуляторов САУ.
Выше были изложены положения„не относящиеся по существу к рзссмотрению залачи синтеза. Были получены три формы математических моделей линейных нестзционзпных систем )271): ° первая форма — дифференциальные уравнения; ь вторая форма — интегральные уравнения; ь третья форма — уравнения с матричными операторами. Переход от дифференциального уравнения к двум лругим формам позволил построить простой алгоритм с соответствую»пим теоретическим обоснованием, реализующий основной идейный исток — теорию приближенных методов Л.
В. Канторовича применительно к интегральным уравнениям, опись»ваюп»им повеление несттшонарных систем автоматического управления. Алгоритм, о котором идет речь, позволяет проводить исследование САУ н, кзк будет показано ниже, решать залечи синтеза регуляторов в классе линейных и нелинейных систем управления с постоянными н переменными параметрами. Очевидно, задача исследования решена выше, поскольку ее содержание своднтся к применению рез)льтатоа решения уравнения (2.)) (см. формулы (2.24) и (2,27)) Пель приводимых ниже положений состоит в том.
чтобы показать пути применения полученных результатов для решения ключевой задачи — синтеза регуляторов. Запишем ЛУ системы в форме (.Р) '"(О = Х„б ( р)р"'(г). (2.37) ьжа Ь~а где ры рт...., р„ — параметры стационарного нлн нестациаиарного регулятора, численные значения которого находятся в результате решения задачи синтеза; х(Г) и р(Г) — соответственно вход и выход системы, Уравнению (2.37) эквивалентно интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода. которое приведено выше и а данном случае может быть записано так: х(Г.РН-",р.)+ ~й.(Г, т,р,...,р,) х(т,ры .„Рт) (т = О ! = ~ яз(г„т„ры ...,Р„) у(т) г(т. (2.33) В последнем выражении в формулы.
определяющие выходной сигнал и ядро интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода системы в качестве аргументов входят параметры регулятора ры рз, ..., р . Следующий этап — переход от ИУ к уравнению с матричным оператором. Уравнение (2.36) принимает внд С'(ры ".Р.)+Ао(р~," .Р.)С (зч," .Р.) А'(ры",р.) С".
(2.39) Для процедуры вычисления коэффициентов Фурье во многих ОИБ (например в тригонометрическом базисе. базисе из косинусов, базисе из щюгочленов Чебышева. базисе из функций Уолша) существуют ффсктнвные быстрые алгоритмы. Отсюда имеем: С'(р~,,р,) = (! -'Ао(ры..,р»)) А"(ры ...Р,)С", (24О) И наконец.
Лля вь.*хОднОГО сигнала системы имеет место зависимость 2»(г, ры..., р ) = Ф ' (г ) С'"(рн .... р„). (2.4) ) Основнымн объектами исследования проектировщика на этапе предварительно~о или эскизного проектирования являются структурная схема и сигналы, которые приводят к решению поставленной задачи. Анализируя указанные сигналы. Можно делать выводы о качестве работы системы. В данном случае таким сигналом является »т(Г,РН .., .Р, ).
н а каждом хонкРетном слУчае х1ожно говоРить о жсда- емом (эталонном) сигнале х,(г), который отражает заданное качество работы проектируемой системы, При такой постановке задачи, учитывая факт, что течение реального процесса на выходе системы хг(Г.РН ...,Р,) целиком определяется численными значениями параметров регулятора ры рз,..., р»., соответствующая степень близости реального сигнала л~(г, ры ...,р„) к эталону х,(г) может быть достигнута путем решения одной из задач параметрической Оптимизации: 6( ы-".Рт) = пщх (г,(Г) — л~(г, ры..., р„)( щ(п; ОСФСТ и- л" 7е(ры"..р-) = ~ [х4г) — х~(г,рп...,рь)~)~цг - щш, м*- ю Изложенные выше положения о~р~д~~~ю~ содержание э~да~и синтеза регулятора, Задача оптимизации реализуется с использованием многих алгоритмов, Широко применяется метод наименьших квадратов, В работе (254] собрана информация о задачах метода наименьших квадратов н пректнческих алгоритмах нх решения, разработанных главным образом в течение последнего десятилетия.
Эта информация будет полезна научным работникам, инженерам или студентам, связанным в своей работе с анализом н решением систем линейных алгебраических уравнений. Такая система может быть Определена. переопределена нли недоопределена; она может быть совместна нли несовместна. Она может сопровождаться ограничениями в форме линейных уравнений или неравенств. Специалисты конкретных областей разработали методы и терминологию для решения задач наименыянх квадратов из своих дисциплин.
Материал, представленный в книге, может помочь в преодолении этой разобщенности и достижении методогюгического и терминологического единства. ПО существу все Реальные задачи ислинейны Многие методы анализа нелинейных задач илн вычислений на основе нелинейных моделей включают в себя процедуру локальной замены нелинейной задачи линейной, В частности, различные методы анализа н решения нелинейных задач метода нанменыпнх квадратов предполагают решение последовательности линейных задач.
Важное требование этих методов — умение вычислять такие решения линейных задач наименьших квадратов (возможно, плохо Обусловленных), которые были бы приемлемы в контексте нелинейной задачи. Обратим внимание на следующее Переход от уравнения Вольтерра 2-го рода к уравнению Фредгольма 2.го рода порождает потерю точно. сти. если речь идет о пространстве С'О, Т1.
Действительно, прн доопределеиии ядра в общем случае оно становится разрывным. Исключение составляют, например, ядра аиде х(«.т) = (« — т)" ', которые имеют место в рассматриваемом случае„так как ««(г, т) = О при ! =- т. Изложенные положения очевидным образом обобшаются на случай, когда используется описание системы ДУ в нормальной форме Коши; тогда )(г) А(т), О < т < г; О «<~ т.
!(«) В(т), О < т' < «; '( О. < ~т. Сделаем некоторые пояснения по поводу изложенных результатов. Функции. с которыми приходится иметь дело инженеру, чаше всего являются решениями функциональных уравнений, в данном случае— дифференциальных. и, следовательно, над этими функциями должны производиться определенные операции, такие как дифференцирование н интегрирование. Подлинное значение представзений функций в ОНБ н аппара,«а матричного представления интегральных операторов заключается э том.
что онн имеют характер отображений, заменяюшнх функции 'О пространства «.-', О. Г1 и производимые над пими операции числовыми последовательностями и операциями с матрицами (алгебраизация вычислений), причем выполняемыс над кнмн операции значительно Ш)оц«е и нагпяднее исходных. Оператор А действует в вешественном унитарном пространстве Н (нормированное пространство Н нязь«яается рпазяарпым. если в нем можно ввести скалярное произведение, связанное с нормой соотноп«синем ()!.« = ь«(.г.«с) 2).
Пусть В(А) — область определения оператора А, н предполагается сушсствовакие единственного решения уравнения (2А4) (т.с. сушествоаанне обратного оператора А '. определенного на области значений Й(.4) оператора А, н включение )' б Н(Л)). Введем в рассмотрение две системы (89): О(«) = ! т«)(г) ' з(«) " "«(«) ) ; Р(«) = ( Л(«) Ь(«) Л(«) )', Первая из ннх Ф(«) называется координоп«ой, поскольку решение л(«) уравнения (2.44) находится в виде х«(т) = 2.. с: з («): (2,46) в=! вторая же система я'(г) — проекционная. В соответствии с методом Галеркина-Петрова решение уравнения (2,44) находится в виде (2.46), а коэффициенты разложения с,'„о = ), «, определяются зависимостью (8Я ,') с*„(Аьт, Ь) = (У, Ь), й = (, ( (2.4У) в.— ! По методу Галеркина-Петрова коэффициенты с,*„, о = (,(.
определяются нз требования, чтобы левая часть уравнения 2.3. Проеииионные методы: уравнении САУ С ПРОЕИЦИОННО-МаТРИ«4НЫМ ОПЕРаТОРОМ 3 алернина-Петрова «)((столы, в которых приближенное решение уравнения ишется в форме х«(г) = К е,',<л,.((), (2.43) обычно называют проекционными. Представим (2.8) в виде после подстановки в нее (2,43) вместо х(т) стала ортогональной к функциям г«(т).,6(т),...,Ят). В самом деле, подставляя (2,46) в (2.44): ',)" с~ ~ й,(т, т) !«),(т) ((т = ~ й„(Г. т) р(т) «(т (2,48) ((а! о и выполняя требование ортогональности (2.48) к функциям ч))(Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
