Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ь"т(«). "" М(): Х' « «с ))(*Р, )м.( )~ «м)ь)'- Юж! =()~й,(«,т)р(т)Ь У,(!)8«, й= (,(, (2.48) оо получим (2.47), С учетом Обозначений С» =~ с» ст» ..- С» )'„. ~й.(1, ) (т)д =',((') зависимость (2,49) принимает внд АюС" =Ст, где Аю — матричный оператор Галеркина-Петрова. Зависимость (2.50) можно рассматривать как форму описания скалярной иестационарной системы уравнением с матричным оператором Галери нна- Петрова. Зависимости (2.1), (2.8) и (2.50) определяют три формы описания САУ вЂ” уравнения с дифференциальным. интегральным н матричным операторами.
2.4. Математическан модель САУ в форме уравнении с проекционно-матричным оператором Гзубнова-Галеркииа Если Д = »;л, то метод моментов называют методом Галеркана (в другой терминологии — Бубнова-Галеркина), Для зтого случая матричная форма описания скалярной СЛУ (2,44) имеет вид 169) Х г,. ( 4:...ть) = (У„'~). й = 1,1 (2,51) -1 Воспользовавшись рассуждениями, которые были приведены выше.
(2,51) можно записать в форме операторного уравнения с матричным оператором Алт: А„ЗС =С'. (2.52) гг Аье =: ~ ~)г,(1, т) ", (т)дт - "ь(Г)с(Г Работа Галеркина была опубликована в 1915г., строгое же математическое обоснование продолжалось несколько десятков лет. Метал Галеркнна был с успехом применен для решения большого чис,та линейных и нелинейных прикладных задач, в некоторых работах предмет исследований — равновесие и устОйчивость стержнеи и пластин.
Поскольку разработанный алгоритмический аппарат базируется на методе Галеркина, то инженеры.проектировщики при необходимости могут познакомиться с его теоретическим обосиованисьь изложенным в работах Ю В, Репмаиа, Г, И. Петрова, М. В, Келдь1ша, 11. И.
Польского и др. Важным являетсн и тот факт, что метод Галеркина обобшен на нелинейные уравнения. Зтп задачи рассиатривак~тсн в сгатьях М. А. Красносельского, И. И, Воропича и др, Флетчер (443) сделал попытку изложить целую серию вычислительных методов, разработанных на Основе представлений Гале(жнна. Важным является то обстоятельство. что книга предназначена в первую очередь ллн инженеров и научных работников.
иитсресуюшихсн рс' гненнем конкретных задач. В силу зтого в ией иолробио описывается техника применения методов Галеркина к решению конкретного спектра задач. Некоторью из приводимых приме(юв служат своеобразныын модельными задачами, методика решения которых позволяет наглядно выявить преимущества и недостатки различных подходов. Есть при. меры и другого рода, позволяющие оценить возможность применения методов к таким сложнейшим задачам, как исследование явлений турбулентности и атмосферных процессов. 2.$.
Проекционно-матричный оператор МНК Вновь рассматриваем уравнение где А — линейный оператор из Н в Н с областью задания 0(А), Х е Н. Предполагается, что существует А ' и что Г е Н(А), так что решение уравнения (2.54) существует н единственно, Метод наименьших квадратов (МНК) заключается в том. что при. ближенное решение уравнения (2.54) находится а форме н минимизирует функционал Щ )~АТ вЂ” Д~ = (Ал, Ал) - 2(Ал, () + ~СГ)", Тогда козффицненты г.',. сз, „., с,' удовлетворяют уравнениям 2, с'„(Азз, Лев) = (,Г.Ач"ь), й = ),(, (2.57) а соответствующее уравнение с матричным оператором имеет вид А,зС' = С", (2.58) 2.6.
Проеиционно-матричный оператор Ритце Этот метод применим прн больших ограничениях, чем МНК, но более прост с вычислительной стороны и является одним из наиболее распространенных проекционных методов. Пусть Н вЂ” полное унитарное пространство (пространство Гильбсрта). Положим в (2.53): )) оператор Л вЂ” симметричен, т.е. (Ли,д) =- (и,Ад] тги,д6 О(А).
где В(А) — область определения оператора А; 2) оператор Л положительно определен. т. е, существует такое пзо > >9, что 'ти С 0(А) (Аи,и) а ПЗО))н)) 3) Г ~ В(Л), где Л(А) — область значений оператора А. Из приведеикых условий вытекает существование ограниченного оператора Л '. заданного в Й(А). Если х(г) находится в форме (2.55), а функционал, подлежащий минимизации, имеет вид (89) 1(х) =- (Ах, х) — 2 (Г, х), х е 77(А), то козффициенты с,*, и = )„Е определяются из системы ~ -*, (Атз,чзь) =- (,7, ль), й = ),( 1 ко Уравнение с матричным оператором запишется так; А,иС" = С", где А,н — матри~ный оператор ритка.
Последняя формула показывает, что метод Ритца пркводит к тем же расчетным формулам и дает те же приближенньк значения для х~(Г), что и метод Галеркина. Однако дополнительные предположения 1)-3) позволяют установкть весьма сильные результаты. которые невозможно получить в случае общего метода Гзлсркина (например, легко показать однозначную разрешкмость системы (2.6! )). Функционал (2.59) называют фрн«иионалоч знергии Метод Ритка использует понятие знергегяичег«о и прогягранстаа ~89, 28)-283',. Если Й ~ — пополнение 77(Л) в метрике „,г( (и,и) (Н ~ — гильбертово.
его называют знеолетичвг«им ггрогтрангтаом оператора Л, »щ 㻠— (.4и, г) — зпсргетическое скалярное произведение: ~и( — ~/ (.4и. и) знергетичсская порча). Если 7. — замкнутая (в метрике Пл) линейная оболочка координатной системы. то имеет место теорема (89): для того чтобы .7~(г) гходилигь к х(г) в метрике И ь необходимо и достаточно, чтобы злемент х(г) принадлезгал Е . Сходимость х~(г) к х(г) в метрике Ил влечет сходимость в метрике И. 2.7.
Основные базисы, применвемые при построении нроеационно-матричных операторов 2,7А. Тригонометрические функции. )4аиболее популярной скстемой периодических функций является тригонометрическая система функций (407) которая образует на отрезке (-х. я( ортогональную систему, С помо- щью соответствующего линейного преобразования можно получить систему функций, ортогональную на отрезке (го, Т), но для удобства изложения будем рассматривать привычный для тригонометрической системы отрезок»-я, я). каждой 2я-периодической функции х(г) б Б㻠— я, я) мозкно поставить в соответствие тригонометрический ряд Фурье козффнциенты которого вычисляются по формулам: Частичная сумма ряда Фурье порядка 1 определяется зависимостью ао г1(Г) + Х Оьсовй!+ Ьья1пкг ~-1 2.7,2.
Полииомы Лежандра. Смеаениыми нз отрезок (~1о, Т) многочлензми Лежзндра называются мяогочлены, определяемые формулой Родрига (407): <ю Ро(1) гя 1; Рь(1) = — ~~ — 1 — 1 . й = 1,2.... ! (~2(1 — го) й!2 ф Т-, Многочлены Лежандра легко получать из известных рекуррентных формул: для й = 1. 2, ... (й+ 1)Р1-+1(г) = (2й+ 1)~ — — 1 Рь(1) — йРь ~(1). г 2(1 — го) Т-ге С помошью зтих формул можно вывести и явные зависимости для многочленов Лежандра: ! 1"Г! (-1)" (2 -28)1, 2(1-1.) 2" „~ й!(и — й)!(и — 2й)1 ~ Т вЂ” !о й(ногочлены Лежандра являвтся ортогональиыми на отрезке (1о, Т) с весовой функпней р(1) м 1.
Соотнопшни» ортогональностн; Для функпий х(г) ~ Ьт(!в„Т) козффициенты Лежандра определяются выражением Ряд Фурье-Лежандра„сходяшийся к функпии л(г) в метрике Ьт(1о,Т), имеет вид 2 сьРь(1). Частичные суммы порядка 1 ряда Фурье-Лежандра будем обозначать тем же символом зт(1), 2.7.3. Полиномзл Чебьпиеаа 1-го рода. Система полнномов Чебышева 1-го рода (Т„(з)), ортогональиых на интервале ( — 1,1) с весовой функднсй р(:) = (1 — .з) ':-, образует базис в пространстве Х.т(-1, !). Полиномы Чебышева 1-го рода определяются формулой Род- рнга (333,407) 1 а 1 „,т !/т,фв) Т.(=) = ( ( ' ) — — ((1 — -')"-'г'1 (2 70) (2п — 1)0 н могут быть вычислены по следующему рекуррентному соотношению: Т„1(з) = 2тТч(т) — Т„~(з); 7о(:) = 1, Т~(з) = з. (2.71) Явные выражения для первых восьми полнномов Чебышева 1-го рода имеют следующий вид.' То(з) = 1; Т~( ) = з' Тз(з) = 2зз — 1; 4 з Т4(х) = 8 х — 8зз+ 1; Тз(г) = 16зз — 20зз+ Ьз: Тз(г) = 32 в — 48з~+ 18хз — 1; Тт(з) = 64з~ — 112зз+ Ббзз — 7з Если рассматривать интервал !О,Т), то, воспользовавшись линейным преобразованием 21 = Т(г+ 1)„откуда г = 21/Т+ 1, легко получить систему смещенных полиномов Чебышева 1-го рода.
Учитывая, что дз = 2дгГТ. формулу Родрнга для смещенных полииомов Чебышева 1ою рода можно записать в следуюшей форме: тх 1/т Далее будем рассматривать промежуток Й = (!в, Т). Многочленами Чебыизеаа 1-го рода, смен(енными на оглрезок (ге, Т), называются миогочлены Т,(1) = соз !агссоз~ .п«-ы — 1, ! = 1,2,.... (2.73) Т-1е Получать многочлеиы Чебышева легко нз кзвестной рекуррентной формулы Ть+~(1) = 2~ — 1 Тз(1) -Ть ~(1), (2.74) ~2(1 — го) (, Т-г, справедливой при )г Э 1.
Так как То(1) = 1, Т~(1) = — — 1, то нз 2(! — !е) (г-- М формул (2,74) можно последовательно нзходить многочлены Чебышева Тз(1), 7 з(1)..., . Подробнее со свойствами многочленов Чебышева можно ознакомиться в монографии (407). 2,7.4. Полииомы Чвбьпмвва 2-го рода. Ортогоиальные на интервале ( — 1,1) с весовой функиией р(:) =- (1 — сз)нз миогочлены Чебы- шева 2-го рода являются базмсом в пространстве» з«-1, 1]. Они могут определяться с помощью рекуррентной формулы (333, 407): »уа(з):= 1; (»»(з) .= 2"; 0;,(з) = 2з(»„л(з) — !У„т(з), и = 2,3„... Для этой цели можно использовать формулу Родрига (» (з) ( 1) (1 3 )»е»( (1 з)»т (2п — 1)9»й'" «е/3« (»„(з) = 2; (-!)"~~— )(2з)" зз, 8=О, 1„ й здесь «п72) — целая часть числа, Первые восемь многочленов Чебышева 2-го рода ммеют вид: (уо(з) = ! Ц(з) =2гп Уз(з) =4зз 1: (»з(з) = 8зз — 4з; (ч(с) = «бз~ — !2 э+1; (»з(з) = 32зз — 32зз+ бз; (»в(г) = 64з — 80:~ + 24з~ — 1; (»т(з) = 128з~ — 192зэ + 80зз — 8з, Кроме многочленов Чебышева, определенных на интервале 1-1, 1), мыто используется система смещенных многочленов Чебышева 2-го рада ((»;,(х))„а, определенных на промежутке (О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
