Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 24
Текст из файла (страница 24)
!). Смещенные многочлеиы Чебышева 2-го рода связаны с несмещен- мыми с помощью формулы 1 (»„(х) = - (»т., (чг~ ) †. х > О, и = 1,Н,... (2 77) 2 и определяются следующей зависимостью: (7,„'(х) = Х. (-1)"'~ — — )(4л)" "'. и =0.1,... (2,78) В=о Для получения ортогонального базиса, элементы которого определены на интервале !О, Т), необходимо сделать замену переменной Г';(») = Г,(..— — «). 2» 'Т (2.79) 2.7.$. Функции Уолша, В ряде технических дисциплин, в частности в теории информации, теории автоматического управления, радиотехнике и др., исключительно популярной является система функций Уолшз. Причина ее популярности в том.
что это — орта»армированная система функций, замкнутая в пространстве А-«0, !) (или, после п«жобразовзния. в любом пространстве йз'»о, Т«) и принимаощая лишь два гишчения: ~1, что позволяет легко аппаратно реализовывать функции этой системы. Для достижения рва»омер»ой сход»мости функции Уолща следует рассматривать лицзь пачками мз н = 2л функции. 2.7.$.1. Функ»!ии Миша а мил»е«эа»«ии 77эли. Существует несколько способов нумерации функций Уалша. »а»более популярными из которых являются нумерации Адамара. 1!эли и Уолща (30), Введем функцию Уалша в »и»более популярной в теории функций нумерации Пэ»и.
Для удобства изложения будем рассматривать функции. определен. иые на палуинтервале (0,1), С помощью линейного преобразования з =- (» — »а)»+»а систему функций Уолша можно рассматривать на произвольном полуиитервале !»а.Т), При таком преобрззовзнми все приводимые ниже результаты остаются справедливыми. Определим (30) функцию если» е !О, 1»2): ге(») = 1, -1, если» б (1/2.1), и продолжим ее периодически с периодом 1 иа всю числовую ось. Определим функции гз(») = га(2ь»), й = 1, 2, ....
которые представляют собой с~атия функции га(») в 2' х(») раз. Функции гл(») называются функчилми )задел»ахера Из определения функций Раде- махера видно. что гз(») имеет пе" 0 риод 2 е, постоянна на двоичных полу»»те»лазлах (го 2 ', (гп + «~ «~ з~ «ю -ь-$ еФ + 1)2 ' ), где тп — любое целое число, и принимает нз этих полу- интервалах попеременно значения Рис, 2.1. График функции Рзлемзхе- ! " 1, В то"кз" Разйыва рз з(») = г~(») гп 2 з ' функция гь(») определена справа. График функции г~(») приведен нз рис. 2.1. Отметим, что функции Радемахера иногда определяют формулой гь(!) = Ш8п (з!п2"+'з»), (2.8Ц 1, если» >О; О, если»=О; — если» < О. Разница между этим опрелелением и определением, приведенным выше, в том.
что при втором определении функции гь(») в точках разрыва равны, в то время как при первом определении, которое принимается за основное, функции Ралемахера в нуль нигде не обршцаются. Система функций Ув»ша в нумерации Пали»юлучается с помощью перемножения функций Радемахера. Положим ь»р(1) = 1. Для определения функции Уол»ца прн ц > 1 представим число н в двоичной форме записи: п "- ,"'»" ",2', »жо где г».
= 1, а прн 1 =- О,Й вЂ” ! имеем е» = О или с, = !. Очевидно, что 2ь г: „п < 2» ', где Й = Й(п). Положим 2Л.5.2. Приблизгсеаие часа»ичмыми суммами рядов Фурье-Ммиап. Пусть функция х(1) е».з) О, 1). Рядом Фурье-Уолша функции»г(1) называется ряд 2»'",ьз(1), (2,85) коэффициенты которого вычисляются по формулам ш,(1) = Ц (г (1))' = гь(Г) Ц ( (!))" . »=О Из определения вытекает, что функции Уолша принимают лишь два значения (т.(), а в ~очках разрыва искре(язвим справа. Приведенное определение позволяет рассматривать функции Уолша иа всей числовой прямой.
В то же время можно ограничиться периодическим случаем и рассматривать их только на полуиитервале (0,1) р (О Ц. Первые восемь функций Уолша описываются с помошью матрицы 1 ! — 1 -! †! -1 †! 1 1 — 1 ! -1 ! Простая структура матриц»ЙГь позволяет их эффективно рассчитывать последовательно. При атом известны так называемые быстрые алгоритмы расчета Элементов этих матриц — быспзрые алеори»пмы преобразования Уол»иа. Матрицы %'»- связывают первые 1 = 2" функций Уолша с блочноимпульсными функциями (БИФ) ранга 1= 2". Действительно, если ввести столбец из первых 1 = 2" функций Уолша зчг»(1) и столбец Ф!(1) из БИФ ра~~а 1 = 2"', то справедливо равенство Из соотношения (2.83) вытекает справедливость формулы обратной сиязи: Ф,(г) —:.
— ', %~»~ Ж,(1). (2.84) Формулы (2.83), (2.84) означают ли»»ейн1тю связь между первыми 2» функциями Уо.ица и БИФ ранга 1= 2'. 1 -! 1 1 — 1 -1 ! 1 ! 1 1 -! — 1 1 ! -1 -! ! ! 1 — 1 ! ! 1 -1 1 -! — 1 -1 1 ! — ! Коэффициенты, вычисляемые по формулам (2.88), называются козффициенжами Фурье-Уол»иа функ»!ии х(1). Система Уолша полив и замкнута в пространстве Ет(О, 1~. 2.7.6, Сплвймь». Известно, что весьма аффективным по точности аппаратом приближенна классов функций является сплаЙн-апп)юкси.
меция Помимо заме~ательных Экстремальных свонств, сплайн-аппроксимация обладает и высокой устойчивостью к погрешностям а исход. ных даниых. В теории приближений рассматриваются сплайны различного типа, которые отличаются порядком, степенью дефекта. расположением узлов, принципом подбора коэффициентов, способом выбора граничных условий н т.
и. Наиболее простычн в применении являются так»»азываемые локальные сплайны. Этот факт отмечен в монографиях (см. (41)), хотя в прикладных областях зо сих пор чаше используют интсрполяционные сплайны. Главное прсицуц»естио локальных сплайнов— в чрезвычайной простоте вычисления козффициеитов и более высокой по сравнению с интерполяционнымн сплайнами устойчивостью к возмуцшиням. Ио именно эти два треб~~~ния являются Основными при выборе базиса для применения проекционного метода исследования сложных технических систем, Помимо указанных преимуществ локальных сплайиов по сравнению с интерполяцноннымн, их можно трактовать и как базисные функции, и. таким образом, к ним можно во многом применять тот же подход, что и к Ортогональным системам фуикциЙ. Множество сплаЙиов иулсвоЙ степен~ можно Трактовать н как ортонормнрованиую систему, Такая трактовка очень популярна в технической литературе„ поскольку свойство ортогональностн позволяет упростить применение кусочно-постоянных аппроксимаций к решению различных прикладных задач.
Фиксируем натуральное 1 и разбиваем отрезок (!О, Т! на 1 равных Отрезков точками Блочно-импульснььнц функнаямн (БИФ) ранга 1 нли сплайнами ну. левого порядка называются функции ь,(») = 1, если»е Ь, =(», н»,); О, если» ч 1г»о.Т1~Ь„ Где функция ул(») доопределена в точке» = Т равенством Эт»(») =! ((-я БИФ изображена на рис. 2,2), Из определения функций,т,(») видно, что они имеют непересекающиеся носители и, следовательно, образуют 01ггогоиальную систему функций на отрезке (»0, Т).
Для функции х(») ~ Ьз(»о,Т) коэффициенты Фурье по системе БИФ определяются стедуюшнм Образом: Рис. 2.2. График БИФ к(») = ~ ТГ1(») зх(») = ,'Г Х,уц(»). были проекционные методы. 2.8. Метод сеток. "построение решении базового интегрального уравнении класса линейных систем с теоретическим обоснованием. Сеточно-матричные онераторы 2.8Л.
Общие положеммаь В предыдущих параграфах основой для построения математических моделей линейных систем, алгоритмов решения базовоГО уравнения Применение схемы Л. В. Канторовича позволим получить уравнение 2то рода с проекционио-матричным оператором. которое имеет вид С'+ АСС' = АГЬ К аналогичному результату приводит н метод механических квадратур (метод сеток), что является важным фактороь» достижения единообразия алгоритмической базы как прн исследованик, так и прн синтезе автоматических систем. Чрезвычайно большое зна ~ение имеет и то.
что в (113, 374, 375) отражено глубокое теаретнческое обоснование метода, включающее вопросы корректности. устойчивости вычислительных схем, оценки погрешности. Рассмотрим соответстаукхцне теоретические положения. История развития проекционных и сеточных методов Р.П. Федоренко в (435) описана так: ~Начать историю численных методов в вариационном исчислении нужно. видимо. с Эйлера. Именно Он предложил заменить искомую функцию сеточной, Правда, прн этом 01»еследовалнсь теоретн. ческие цели, проведение необходимых для решения задач вычислений в то время было нереально.
В далюьзйн»ем этот метод был забыт, и в расчетах использовались методы Ритца, Галсркина., Оии основаны на представлении искомоГо решения а виде суммы некотороГО числа базисных функции, умелый подбор базиса позволял обойтись двумя- тремя функциями н прив0дил к результату пеной не Очень большОГО объема вычислений, Появление ЗВМ сняло, до известной степени, остроту вопроса о числе операций, н на первое место снова вышел метод конечных разностей Эйлера, благодаря его универсальности и слабой зависимости от аналитической формы, л(злее рассматривается этот поахал для решения поставленных в кнше задач .
2.$.2. Квадратурные формуль», Введем общие понятия, Пусть »"(») — непрерывная на отрезке (О, Т) функция и»~ = О,»т, ..., »м = Т— некоторые точки на отрезке(О, Т) — узлы квадратурной формулы; А,— числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы; Л ~~ Π— целое число. Квадратуриой формулой называется приближенное равенство вида Т ~.»(») д» ~Г" А,Д»,). О ~ж1 Величина т м й = ~ »(») Г»» — ','Г А;»'(»,) (2.93) в называется погрешносп»ь»0 (или остаточным членом) каадрал»урной формулы. При использовании квадратуриых формул область непрерывного изменения аргумента заменяют конечным (дискретным) миохгеством точек (узлов), называемых сегякой, Вместо функции непрерывного аргумента рассматрнвагот функции, определенные только в узлах сетки, — геагочные функции. При такОм подходе функция .г (г) характеризуетск ее лискрстнычи значениями ((г1),,(щ, ..., у(Ги), а, например, производные заменяют нх разиостнымн аналогами — линейными комбинациями значений сеточных функций в у~~ах сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
