Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 28
Текст из файла (страница 28)
что метод сеток породнл огромную литературу. в которой приводится глубокое теоретическое обоснование н пркмеры решення сложных техннче«кнх зздач. Широкому рзспрострзненкю метода сеток содейстзовалк его простота, универсальность, высокая эффектчаность. а также интенсивное рзззктнс с)~едств вычнслнтсльной техннкн, С бнблногрзфней ио методу сеток можно познакомнться в трудах (113. 267, 374, 375(. а современное состоянне отражено в монографнях н учебных пособнкх по чнсленным методам.
В разработку численных м«толов внесла вклад выдзккцкеся ученые. Названия методов: Ньютона, Эйлера. Лобачевского, Гаусса, Чебышева, Эрмнта, Кошн, Крылова — свнлетельствуют о том. что нх разработкой ззннмалнсь крупнейшне ученые своего времщи«Большой вклад в теоретическое обоснованно метода сеток н решение прнкладных задач внесли Л. В. Канторович н В.И. Крылов, Л, А.Люстерник, И.Г. Петровский, Р Курант. К,Фрндрнксон, Г.Леан.
Ш.Е. Мкксладзе, О.А.Ладыженская, С. А. Герщгоркк, М. Р. Шура-Бура, В облзстн апнрокснмзцнн, устой ~нвостн н сходнмостн разностных схем основополагающне работы былн выполнены С.К.Годуновым, В,С. Рябеньккм, А.А.Самарским, А. В.Фнлнкповым н др. Большой вклад в рззвнтне н нрактнческое прям«неннс чнсленных методов к задачам математической фнзнкн кнсслн работы А, А, Дородннцынз, М. В, Келдыша, В. И. Крылова. О. А. Ладыженской, Г.
И. Марчука, А, А. Самарского, С, Л. Соб««яевз. Методы решснкя некорректно поставленных задач разработаны А.Н.Тнхоновыы н развнваются другнмк учеиымн. Вычислительные методы в линейной алгебре разработаны благодаря исследованиям, проведенным В. В. Воеводнным. Л, В. Канторовичем, Д. К, Фаддеевым, В. Н Фаддеевой. Важные работы в области оптнмнзацнн численных методов выполнены Н. С, Бахааловык„А Н, Колмогоровым, С. Л. Соболевым и др.
Эффект от прнменсння ЭВМ н чнслснных методов достигается в результате: ° возможностн рещення трудных задач, к которым в теории управлення относятся такие задачи, как исследование н синтез систем с переменнымн параметрамн, нелинейных систем, оптимкзацня, ндентнфккацня объектов управления к др.; а расшпрсння круга пользователей ЭВМ. Сказанное послужнло одннм нз концептуальных положеннй разработки матричных методов расчета н ироектнровання САУ. Математическое обоснование матричных методов разработано крупнымн математнкамн с ориентацией на прнблнженное решенне, а первую очередь„операторных урзвненнй.
В работах указанных авторов выясняются условна схолнмостн н оценивается скорость сходнмостн; большое вннмзкне уделяется нахожденню она~о~ погре~п|юстей (зорко(зных н зпостерн- ~, А»»е' м 7», 1 = 1, 1. л(О) =- л(! ) -- О. к»(1) = ~ фру(1), орных) и выработке способов улучшения сходнмости приближенных решений к точным.
Расшнре»»ис круга ~~л~~о~~~~~ей, вкл»О1»а»ошего студе»»тов, ас»»и- рантов, инженеров.проектировшиков, создающих сложные автоматические системы, достигается инженерной направленностью изложения без детального рассмотрения громоздких и строгих процедур (которые читатель в случае необходимости может найти, например, в указанных выше изданиях), а основиос внимание в дальнейшем изложении будет уделять».'я Описа»»и»о идеЙ, изложеннк» алгоритмического гн»парата, ЯО- дробному рассмотрени»О реш»н»ня кшгкрстных технических задач.
2.9. Финитные нроеиционно-сеточные матричные операторы Выше были рассмотрены: ь метод проекционно-матричных Операторов, фундаментальная Основа которых проекционные методы; ь метод сеточно-матричиь»х Операторов, фунда~ентал~ная Основа КОТОРЫХ вЂ” МЕТОД СЕТОК. В работах академика Г. И. Марчука были подробно описаны проекционно-сеточные ме~оды. Их теоретическое обоснование и широкий спектр приложений 1267), Следуя (267), изложим основные положения.
Рассмотрим уравнение Выберем некоторый базис (тт»), от злементов которого потребуем, чтобы они обладали в~врой производной пот и удовлетворяли условиям (2.149). Будем искать приближение к к(1) в виде где козффицненты с „7' = 1, 1, Определяется нз условий минимизации функционала Как известно. Я»(1) будет обеспечивать 1(х) наименьшее значение, ТОЛЬКО ЕСЛИ С +АОС' = А"С", (2.156) АМ =- ~ ( — — +»р»т»»рц й, ~» = ~ Д1)»р»(1)й, 1,7' = 1„1, ф»-2(~Атч-»)-о,.п»»»»2~ » ьз~ц» Таким Образом, систему (2.150) можно записать в анде Решение последней системы позвОляет Определить с~, у = 1,1, н тем самым будет определена и функция х~(1) = 2; с»ттт»(1), котору»О принимая»т в качестве приближения к х(т) н называют приближенным решен~с~ рассмат1»иваемой вариационной задачи, Отметим, что к системе можно прийти другим путем, о котором уже говорилось выше и который широко используется при построении алгоритмов синтеза САУ. Будем искать приближение к к(с) в виде где постоянные с,' определя»отса нз условия ортогональности невязки Предполагая, что величины е«(й) малы, и отбрасывая их в (2.160), приходим к системе йа л, =У(1.), 1= ),1; (2.161) до=а«=0, компоненты решения которой а, при малых е, будут близки к значениям х(1,), Таким образом, решив систему (2.161), находим приближенные значения точного решения задачи в узлах 1«.
Описанный выше подход построения системы (2.!6!)„которую в Векторно-матричной форме можно записать в виде 2 1 л' ' ат л' 1 2 — — +1 ,г отражает идею построения приближенных решений мнш их задач с помощью разностного метода. Обратимся к рассмотрению важного с точки зрения повышения степени эффективности применения рассмотренных выше подходов (проекционного и разностного) для ре«пения задач синтеза регуляторов. Система (2,162) нмсст порядок 1 — 1, где 1 может быть значительно больше, чем в (2.153), матрица ее имеет ненулевыми элементами лишь дна«ональ. Надднагональ и поддиагональ. Очевидно, что для хранения матриц подобной структуры требуется гораздо меньший объем памяти ЗВ64.
Кроме того, для решения системы ти. па (2 162) найдены простые экономичныс алгоритмы. Таким образом, можно реп«ать системы вида (2 157) сравнительно больших порядков, получак при этом достаточно точные приближения к значениям х(Г,), « = 0,1. Отмеченные выше обстоятельства являются одной нз причин того, что разностные методы с развитием ЭВМ стали находить все более широкую область применения. Однако сразу жс стали провалиться н некоторь«е нз трудностей в ис. пользовании рамюстных методов.
Так. стремление уменьшить величины с,(й) за счет других, более точных, соотношений может привести к системе уравнений с несимметричной матрицей. А отсутствие симметрии может повлечь ряд пру~ их трудностей прн численном решении таких систем, Если рассматривается многомерная задача с криволинейной границей, то очевидно, что построение выражений у границы не всегда является простой задачей Кроме того, хотя оператор задачн— положительно Определенный, может Оказаться, что оператор разностной схемы это свойство теряет. Например.
пусты задаче г("л «1л — —,, + Π— = .7(1), О < г < 1, (2,!63) «Оз «О л(0) =- л(1) = О, функция 7(1) достаточно гладкая, а — неотрицательная постоянная. Введем в сетке г„= (й, 1 = 0,1, й = 1«1, разностные аппроксимации +-'х х(1«. «) — 2л(1,) + х(г,е«) М=~' ' йз «г'л х(1«+ «) — х(1«) — (1«) = — " + ет«(1«), «(1з ' й где е«,(й), ез,(й) — О при й — О. Тогда, используя (2.164) и (2.165), можно получить следующую разностную схему для задачи (2.163): — ~~-«+ 2х«+ я«+«х«+« — х« — +а — = У(1,).
хо = х« =О. « =!.1-1. (2.!66) Легко заметить, что если постошшая О и шаг сетки й таковы. что 2 < Ьа, то матрица системы (2.166) заведомо не является положительно определенной, хотя оператор задачи обладает этим свойством. Отсюда заключаем, что. по-видимому, пркнятая аппроксимация не совсем удачна н необходимо воспользоваться другими формулами. В вариационных и проекционных алгоритмах подобных ситуаций, как правило. не возникает (267). В силу сказанного выше привлекательным становится конструирование таких алгоритмов приближенного решения задач, которые, с одной стороны. по форме были бы вариационными или проекционными и обладали всеми их преимушествами, а с другой — чтобы эти алгоритмы приводилн к системам уравнений, подОбным ВОзникзющим в разностных методах (т.е, негяшчительное число элементов матриц этих систем были бы ненулевыми). Такими алгоритмами являются проекционно-сеточные алгоритмы, реализующие метод конечных элементов.
В работе (267) проведено глубокое исследование тех положений, о которых сказано выше. результаты этих исследований чрезвычайно важны для решения сложных инженерных задач, которые требуют исследования скалярных или векторно-матричных дифференциальных уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами, Приведем итоговое положение, которое я (267) сформулировано так: чтобы прийти к алгоритмам со свойствами, о которых указано выше, достаточно в проекционных метОдах В кзчест«к' базисных функций (эт~) брать функции с конечными носителями (финитные функпии), т.е.
такие функции, которые отличны от нуля лишь на небольшой части той области, на которой определено искомое решение задачи. Пусть рассматривается задача (2.146), (2.149) при 4 = 1, На !О, 1) вводится сетка и функции вида г-ц —, гб(т; ~,г), Ь Й~~ — Ф т 6 (гг тг-!) д О, 1 (х (Г, г, 1~ ~ ) „ Р=1Л " Ун-з) ' Л ~Ут г(!'* 2 Йу ),г $К 1 1 2Д 2Д 2Л О (2.172) 1 1 — +— т ! ! — — +- да 6 яг(1) = ) Фт) Ьз(1). Ь! где козффициенты определяются системой Элементы АО, 1,7' = 1,1-1, определяются формулами 2 4 у + — 1 6' ,4, = ! ! Ош + явит 1 1+1. д' 6' О, !7'-1!>1, < где 7; = )' ~ье; ~й, г = 1,1- !.
Матрица системы является трехдиагональо ной, и, следовательно, удобна для численного решения. Кроме того, матрица А будет заведомо симметричной. Применение проекцнопно-сеточного метода к решению (2.148), (2.149) приводит к системе, у которой матрица заведомо будет положительно определенной. Приближенное решение задачи с помощью функций (2.167) находится в виде Матричная запись имеет следующий вид: Матрица атой системы положительно определена независимо от соот- ношений между с и )г. Действительно, 4, яЬ Приведем некоторые выводы, относящиеся к алгоритмам, реализующим проекционно-сеточные метолы (267).
Свойство положительной определенности оператора задачи при применении проекционно-сеточного метода автоматически сохраняется. Проекцнонно-сеточный алгоритм обладает рядом хороших качеств, которые характерны для вариационного ревностного метода. Так. козффнцненты с', в системе (2.171) зачастую несут ясную смысловую интерпретацию. Например, в рассмотренной задаче козффнциент с,' равен значению приближенного решения в узле )„умноженному на козффнцнент ч%. Далее. оказалось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
