Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 29
Текст из файла (страница 29)
что финнтные базисные ф)нкцнн в ряде случаев легко можно приспособить к геометрии области, н тем самым устраняется одна нз трудностей, возникающих в разностном методе Кроме того, если при решении задачи надлежащим образом выбраны проекционный алгоритм и базисные функции, то дальнейший процесс построения рсшснкя задачи происходит ~автоматически .
Это говорит о том, что реализация проекционно-сеточных алгоритмов ориентирована иа применение ЭВМ. Этн н ряд других обстоятельств обусловливают широкую популяр. ность проекпнонно-сеточных ~етодов, применяемых в настоящее время для решения самых разных задач. Из сказанного выше делаем заключение, что проекцнонно-сеточные методы основываются на проекционных (а тоы числе н варнацнонных) принципах, а также на использовании в иих различного рода фииитных функций, нашедших сейчас широкое применение в теории аппроксимации.
В ранее рассмотренных ~ет~дах в основном речь шла о базисных функциях, ие обладавших конечными носителями, малыми по сравнению со всей областью. Однако, как уже отмечалось, олной из основных (к:обспиостей проекциоппо-сеточного метода являет!.я использование в качестве базисных функций с конечным малым носителем (финитных функций), Построение их, как правило, например для двух независимых переменных осушег.твляется слелуюшим образом.
Сначала область Й, в которой решается задача, некоторым полхоляшим способом разбивается на конечное число г!!' полобластей Й„которые называются конечными злементами Затем !ш Й, нли на объединении их небольшого числа (например, на объединении Й„примыкающих к некоторой точке й,. = (!1.Ьь)) строится фииитная базисная функция ьть с носителем. равным Й, или выбранному объединению, таким образом, чтобы она на каждой подобласти Й, нз своего носителя представ. ляла собой многочлен. Все линейно независимые функции такого вида принимаются а качестве базисных в выбранном алгоритме решения. б разбив тем самым Й = '1!!.
Ь~ на 1 полобластей Й, = (1, 1,Г,), ! = 1„1, конечных злемептов. Заладим иа ~аждом (1,.1,г,) характеристическую функцию (рис. 2.11) Рис 2.11. К построению базис. иой системы Набор таких функций (ья!) принимается в качестве базисных при решении соответствувщих задач. Линейную оболочку функций тт,(1), ! = 1,1, обозначим через И!. Функции ь!!(Г) линейно независимы, причем (ьт,„у ) =- О при ! ~ г, (зт„,!д ) = 6,, Далее рассмотрим наиболее распространенные финитные функции, нашедшие широкое применение в проекционно-сеточном методе, а именно кусочно-финнтные функции, которые часто будут называться функциями-крышками (рнс.2.12).
Пусть функции х(1), для которых мы решаем задачу построения пол- Отметим преимушества такого выбора базиса: так как носители его функций, как правило. гораздо меньше Й, то скалярные произведения (р„тт!.) будут ненулевыми, если )! — Ь( < М, где М вЂ” целое число, !1т' <к Ж, Это, в свою очередь, приводит к сильной разреженности матриц в рассматриваемом алгоритме.
которьм по виду будут напоминать матрицы в разпостных методах. Слеловательно. проекционный алгоритм с такими базисиыми функциями обладает олним из замечательных методов решения задач математической физики — он привалит к системам с ленточными или разреженными матрицами.
рассмотрим случай одной независимой переменной: Й = (и, Ь) С (т. Введем на (а. Ь) сетку а=го<1! <...<г! ! <11=6, !1, =! — 1, 1, Ь=!!!!1. Ь,. !'=Г1. г!+! 1е 1! 1 1! Рнс. 2.12. К построению базисной системы холяших аппроксимаций, определены на конечной области Й = (а, Ь).
Введем на (а,Ь) сетку а=1о~1! ~... ст! ! сгг=Ь, Ь,=т! — 1, !, Ь=п!вход„1= 11.1, и постланы В соответствие каждому узлу сетки функцию Очевидно, что зти функции линейно независимы и каждая из них отлична от нуля лишь в интервале ллиной порядка 2Ь. Линейнув оболочку ( -,,) обозначим !врез гг!. Функции (,) являются непре- ~ ~»(г) ',(г) «г .= ~, . < Рнс 2 13 триангглкцнч ооласти 11 рыанымн кусочно-лннейнымн функцнямн, обладаююнмн суммнруемой с любой конечной степенью первой пронзводной, Гслн взять 1д --- 2 с",р;(г) б Нп ~=! то, как нетрудно заметять, ю(Г,) = с,' н, стало бить, козффнцненты в этой линейной комбинации несут ясный смысл: коэффнцнент прн -,(г) равен значецню функцнн й)(г) в точке Г,. Отметнм, что фучкцнн (д(г)) почтя ортогональни, т.е. только для соседннх функций скалярные проязведення в Ез(Й) отлнчны от нуля: Рассмотрим проблему аппрокснмацнн с помогцью кусочно-линейных фнннтных функций в случае двух переменных а прямоугольнике Й.
Прн этом, как н в предыдушнх двух параграфах, сначюю нзучнм ненормнрованние базнсние функцнн, а затем вподправнмь нх, чтобы онн удовлетворялн условню рааномеркой лннейной незавнснмостн (267), Итак, пусть в прямоугольннке Й = (О <1< а; О < С < Ь) ставится задача аппрокснмацнн заданной функцнн х(г,с) е Ьт(Й) с С(Й) с помопгью кусочно-лннейных функцнй. Разобьем Й на подобластн Й„ прямымн а затем разделим каждый нз прямоугольннков Й днагональю, как это сделано на рнс.2,13 (т.е. осуществнм трнангуляцню области Й), Каждому узлу (Гь г,,), 1 = О.), постаанм в соответствие функцню Л;,(Кг,), равн) ю еднннце в данном узле н нулю во всех остальных н лннейную в каждом треугольннке. Каждую нз этнх функцнй л,"(1, ~) для введен- ной сеткн можно выразнть через стандартную функцню О<а<1, О < з < 1.
— 1~а<О, -1<ьь.,О, О~а~!, Функции ч~, (1,Д определяются завнснмостямн — фрнкг(пп Кррпнлгп. Дат~лько с функцнямн Куранта, а ~а~ж~ с другнмн базнснымн функцнямн можно познакомнться в (267). Ревгенме интегральных уравнений. Многие задачн приводят к реюенню ннтегральных урввненнй, к которым с успехом могут быть прнменены проекцнонно-сеточные методы.
Пусть, напрнмер. в гнльбертовом пространстве Ез(Й) со скалярным произведением н нормой, определяемимн нзвестнимн формуламн, рассмзтрнвается уравненне где А — ннтегральний оператор, определенный на всем пространстве, с ограннченной нормой Щ < оо. Предполагается, что это уравненне однозначно разрегднмо прн пронзвольном элементе 7 6 Аз(Й). Применим для регпецня метод Бубнова-Галеркнна.
Согласно этому методу, виберем в Ет(Й) некоторый базпс (р,) н будем искать прнблнженное рещенне в виде где с,* определнм нз снстемы алгебранческнх уравнений %, зт ) = (Ахи зт ) + У, чч), ' = 1.1. нлн„в матрнчной форме: Если элемеит с перемемными пзрзметрами описывается ДУ вида Вычисляя элементы матриц М, А' и компоненты вектора Ст. решая полу".4ет444ую вышт." смс'тему, можмо определить векто(4 С', а значит, и прттблттже4444ос решение .! 4(!). Одной из трудиостей а приведенном алгоритме является то обстоятельство.
что матрицы М м А„'. вообще говоря, плотные (если только в качестве базиса не выбрать собственные фуикции соответствующей задачи на собственпыс значения, предползгзя прм этом ортогональмость этих функций). и, до ТО4О как качать протюсс ре444ения, приходится затратить Некоторый объем времени ЭВМ на вычисление элементов матриц. И если базисные функции (~,» ме обладают конечыми иосител, н, то зздзчз мычис е НЯ М и А» Является достаточно трудоемкой.
В то же время если функции (Л, » финитны, то отмеченная выше проблема Нахождения элементов матриц М и А» упрощается. Если при рассмотрсммм многомерных задач. помймо трудностей, связаниых с вычислением элемемтов матриц М и АО, вознмкзет проблема их хранения 6 памЯти ЗВМ. То 44спользовзмтте фуикциЙ (А» с конечными носителями может помочь обойти эту трудность, так как если ззтпаты времени ЗВМ, Необходимы«для отыскания элементов матриц М и А,, приемлемы по объему, то можно вообще отказаться От мх х(юнсния, а применить для (н.пк".Ния подходящий итерационный процесс м вычислять элементы матриц М и А' заново в каждом итерации, В силу отмеченного выше уже можно сделать определенмые выводы об удобстве применения проекцнонно-сеточмых алгоритмов для ЧИСЛЕННОГО РЕЦ4Е44ИЯ.
2. $О. Мвтрнино-вычислительные технологии 2.10.1. Построение математических моделей замкнутых линейных нвствннонврных систем, заданных дифференциальными уравнениями нлм структурнымн схемвмн, в форме матричным операторов. Выше была показана эквияалеитность описамия линей. КОГО нестацмонзрноГО элемштта тремя фОрмами: я дифференцнзльиыми уравнениями (формула (2.1)); ° имтегрзльмыь4и ураанеммямм !формулы (2.6) и (2,О)); ° уравнениями с матричными Опсрзторзми (фо!тмтлы (2.2О) н (2 22)), Зависимости (2,20) и (2,22) о44редсляют алгебраическую форму описания лииейных днизмическнх сттстсхт. Такую фОрму будем Называть олзеброическоц, В дзльиеЙшем мзложсмми детально рассматриваются вопросы расчета мзтричных операторов сложных автоматических систем прм усло. ттми, что известны матричмые операторы се элсмеитов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
