Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Из изложенного ясно, что А,: С',О,Т) - И~, где Йм — Ф-мерное пространство дискретных значений х(~). т.е. Х» =- '.г(г~),г(гт) г(г».) 1 ~-, йч: Элемент Хч ш ( х'((1) х'(Фт) * х'(тм) ) ч И~ х(г,) = х»ч У(тг) = Д, йя(т;„т ) = й;~, а также полагая Вт(х) малыми н отбрасывая их, получаем линейную систему алгебраических уравнений причем Ргг = АВИУм, Обозначив )г„(тн ту) = йзу, запишем Хм = (1 — АЦ 'А" Ущ = А...-.'Аэи»У'и = А„Ъ'и, л, 1 — А(й„О -А(йт( 1 — Азктт О 0 или, что то же самое: Х ге Т швх 1к,(г,г)( < 1, Ось.кт )й(О)( < —, шах ~О(("'(1)~ ((» — ~ ».««ч) (! — » ««) «ю$ ЛЛ хн 3'н Поскольку матрица Аи в уравнении (2,10$) является треугольной, то представляется возможность найти зависимости, определякинне В явной фОрме х(,хз,,...хм: х( = ~((1 — А(йы) хз = ® - А(ймх() (1 - Атйзз) при условии (1 — А(»ги) та О.
1 =: ГУ. Поскольку В скалярных интегральных уравнениях с операторными ядрамн й„= О, ( . ГМ. то соотношения (2, 106) упрощаютсги н(=Л' лт = уз — А(хз(х(,. М ( хм =,Ь вЂ” ~ Аз»г„х~ ую! Применение формулы трапеций с постоянным шагом и приводит к следукицим соотношениям: — Г0,5 при, =1. где(=1,У. Л,=~ прн (> 1. Проекционные и сеточные матричные операторы, имеюц(ис место в полученных соотйоц(ениях, часто имеют Одну н ту же теоретиче.
скую базу. Например. проекцнонно-матричные операторы в базисах блочно-импульсных функций. кусочно.линейных функций, локалынях сплайнов 2-го порядка совпадают с сеточно-матричными операторами (уравнения (2.104» и (2,105)) прн использовании а качестве квздратурных формул соОтветстВенно формулы прямоугольников, формулы трапецнй, формулы Симпсона, 2.8.6. Оценка погрешности решения. Следуя (89), получим априорные оценки для решения интегрального уравнения (2.90) на конечном временном интервале (О, Т» с использованием квадратурной формулы Симпсона. Для облегчения некоторых дальнейших оценок сделаем предполОжеиие Е Прн вычислении «В(х)(11 для квадратурной формулы Симпсона 6 известна оценка остаточного члена в предположении, что О(1) имеет в (О,Т) четыре непрерывные произ.
ВОДНЫЕ. Воспользуемся зтим результатом; предположим, что в интегральном уравнении (2.90) ядро»г,(1, г) имеет четыре непрерывные производные по каждому из аргументов и что функция 1'(1) также имеет четыре непрерывные произоздные. Используя теоремы об интегралах„завися(дих от параметра, можно показать. что х'(1) имеет четыре непрерывные прОизводные, Вычисляемые по фОрм((ле С помо(дью (2.108) и с учетом оценок для максимумов модулей производных функций 1.((,г) н г(1) можно оценить пронзяодныс точного решения х'(»). С помошью же (2.109) оценим четвертую производную по т функции й (», т) х'(т): ! — (»г,(»,т)х'(т)1 ~ М, »,г б (О,Х).
(2,110) Ди Таким образом, находим ! ~»» (»,г)х'(т)дт — ~4" А»й„(»,г ) х'(т;)1< — М, » б (О,Т), о »ж» Для меры аппроксимации имеет место неравенство Т' "»м(х") ~ — М вЂ”. 160»4»4 Эффективная оценка лля ~н(х') позволяет установить правомерность аппроксимации оператора А оператором Ам именно на элементе з'(»), являющемся точным решением уравнения (2.зО).
Для приблнксннога решения хз»(!) е С(О.Т) оценить -»»» (хи) не представляется возможным. Оператор Ам задается матрнцей Ан. Аи =1 — Ам, А4м =- (А„»4,(!».т»)),»„,. Для нормы А~м получаем (прн равномерной норме векторов соответствующая корма матрицы равна максимальной сумме модулей ее элементов в строке) »е »т (А~х)! = шах ) )А,»г (»»,т)! < ~ А, пзвх )й, (т,г)) = = Х гаах )й,(», т)) = т < 1.
вс».ткт Тогда 1 Т' 1 !)х~ — А,х")!пя < !1А~'))зм(х') < — — М вЂ”, ! - х 160 )4»» ' Последнее неравенства означает, что таблица значений точного реимния уравнения (2.105) х'(») на сетке (»4),", аппраксимируется таблицей чисел х, с погрешностью порядка 1»»т». Так как )~А»т!) < 1 е )1А,„(), то н процесс нахождения каркасов приближенных решений оказывается ~~ устойчивым Выберем теперь определенным образом оператор восполнения А,, Допустим, чта А,хм есть непрерывная функция хн(»), совпадзкяцзя с х, в точках»;, » = 1, Ж, и линейная в каждом промежутке 1»„»,»»), » = 1. Ж-1, Нетрудно вилеть.
что !~А,)1 = 1 (% = 2. 4,...). Поэтому Х' !)А.!(()А, )!;,,( '1, — — М вЂ”. 1- з 160 Ж»' Теперь следует оценить ))А,А,х — х )~ = )!хн(») — х'(!)1) !от). На каждом из промежутков ха»(!) линейно интерпалирует х (»). Па известной оценке погрешности линейной интерполяции )х (г) — ххм(г)) < пьвх ~ — 1 < — Мз(х"), (»4+» — »,)' 1дтх'(»)1 Т' 6 пс»с»,, ~ д»т 1 6»4»т ! е (т,.
»,+ »), Мз(х') = шах Т вЂ”, ))А»А х — х )) = Рз» вЂ” х*()с!в,т) < й„уз Жх ). Далее если А»х»т х (!) то 1 Т' 1 Тз . 1 ))х х ((с!от! ~~ М + Мз(х )" ж О Т 1-д160 й»» 6 л ~й» ~ ' Для рассмотренна вопроса об устойчивости процесса нахождения приближенных решений следует отметить, что ))А,)) = !)Аг~! = 1, н поэтому ))А.!! !(;!! =)(А.)) ))А-' Ч~1 < ()А,(( ~1А-.')) ))Аг() ))П = =))Ам(~ Ы~ —,' 1Л Обе последовательности»4 (А»г) и (!А,»1 !!х)» !! ограничены — процесс нахождения приближенных решений й„(»„т,'! = й,", устойчив.
результаты, полученные лля случая, когда применяется формула Симпсона„обобшаются следующей теоремой. Теорема 2.3 !8й1. »гуся»ь уравнение (2.0у) решаея»ся з»ел»ода»» кводрол»рр с использование»» форз»р.»ы Сиз»асано и ария»оз»: 1) т = Т тах ~»» (», т)! < 1: В уравнении (2.114) н л н в р а 3 ее р и у той ф о р и е (2,111) р', Рт Рт Рм В последних соотношениях ь к л пупков. н д Ьгааь к лр. 1 Т' !)г~ —.4,х !!ил к,: швх !л, — х*(1;)1< — — м —, и . ' ' . 1- 1ОО,У~ !!хж -х"й .1от! = швх ~хи(Г) — л"(!)! < 1 Уе 1 2е , 1 (11 < — — М вЂ” + — Мт(х') — = О ~ —,~: -1-Х !80 Х~ 6 Мт ~М) 4) проиесс нахождения при6литсениых решений о-рсгпойчиа, Приведенная теорема носит частный характер, поскольку относится только к квадратурной формуле Симпсона.
Нетрудно получить аналогичнув теорему, если применяется другая формула квадратур, для которой известна оценка остаточного члена. 2,$,7, Реаенме векторно-матрмчнаях интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода методом квадратур. Рассмотрим применение метода квадратуриых формул для решения аеюлорно-малтричных интегральных уравнений с операторными ядрамн: Р(!) — ~ Кт(1, т) 'У(т) дг + Хо'„ (2.112) с Ых(г, г) = А(г)1(!)*, Ктг(Ф, т) = В(т)1(г). соответствующих описанию линейной иестационарной системы в нориальиой форме 1(оши; При применении каадратуриой формулы лтрапгдий с постоянным шагом Ь схема решения уравнения (2.111) имеет внд Х(сг) = Д - О,Ь Ь Кх (1,, тД ~ Р(1;) + Ь ~) .4,Кх(г„г~) Х(! ), (2,116) ( О,Ь, у = 1; где 1; = (! — 1) Ь; 4! = ~, ' ! = 1, М; Аж =- 1 — Ам — еди- у>1, яичная (и к п)-матрица.
Проведя рассуждения, аналогичные скалярному случаю, приходим к следукицей системе линейных алгебраических уравнений, О О -0,5 Ь Кхх! $ — 0,5 Ь Кхтт О -ОЬЬК а ЬК ат т-ОВЬКхаа -05ЬКхж! -ЬКхит -ЬКхма " Х-05ЬКхиж О 0 О 0,5 Ктз~ 05Ктгзз О 0.5к,з, К,т О,бк; х' Хо Ко где Къ гз Кт (1» тз); тз»ь Т(зь) Тогда компактная запись для системы (2.11$) будет выглядеть так; гзе Ах = ~А,ч) Все рассмотренные выше теОретнческие пОложення Относительно корректности и устойчивости решения задачи, а также опенки погрешности решения лля скалярного случая справедливы н для решения векторно-ьштричных интегральных уравнений методом квадратур. 2.8,$.
Сеточпо-матрмчнззе Операторы, полученные методом квадратур. Мс»тол может быть обобщен на случай, когда система ззззнз структурнОй схемон. В таком случае. ИспОльзуя матричные шшрзторы интегрирования, лнффсренйнрования н умножения нз функннн, с помошьш аппарата структурных преобразований ~ожно легко получить матричный оператор системы Ак.
Введем я рассмотрение сеточно-матричные Операторы интегрнрОаа" яня, лнфференпировання н умножения, получив расчетные формулы яетолом хвз»трату)х 2.$.$,1. Маацтичнмй онерагпор инатезрироаанил. Для интегриру- вшего звена имеем х(1) = «р(т)дт. где х(1) — выход Интегрирующего звена; р(г) — входной сигнал, Для каждого дискретного момента времени 1, н » л(С,) = ~р(т)(6.
= ~ Азр(сз), 1= 1, М, о у»»! где А„— матричный оператор интегрирования. 2.$.$.2. Мшнриеимд онераиш)з дифференцировании. Машричный оператор дифференцирования Ах определяется выражением 2.$.$.3. Маюричнмз) Онераягор улиихженил на функцию. Пусть О(С) — некоторая функция н или, в более компактной форме: Хи = Аг(а) тз'и, где Аг(а) — матричный оператор умножения ца функцию а(г). Пе(юйдем к рассмотрению конкретных примеров. Пример 2.1. Решим задачу детерминированного анализа системы, описываемой ДУ вида 0.$596 1,8918 2,$825 1,7855 0,6277 00909 0„71И 2,3643 3.2220 2,1975 0,7568 0,1065 0.3717 1.2333 1,6449 1,1038 0,3728 0,0507 0,1002 0,3278 0,4300 0.2627 0,0930 0,0122 0.0140 0,0449 0.0576 0,0369 0,0118 0,0015 0,0008 0,0025 0,0031 0,0019 0,0060 0,09007 9(1) = (85.7661 + 3385984 г + 497,0437 гз + 406,9496 1з+ + !86,93541'+ 46,78(вез+ 4,8258!а) .-", Построим выходной сигнал х(1) на интервале (О: 2,5) с при нулевых начальных условиях методом квадратур.
Для перехода к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода перепишем (2.123) в следующем виде: 01(1) + ) а„(1) .1Ю (1) = йвр(З), (2. !24) где А" = А~', или О,ОООО 0,0003 А" = 0,0042 0,0211 0.0667 где Дискретные значения в табл, 2.1. Пз рис. 2,7 изображены аз(1) =— аз(1) аз(1) а~(1) а~(1) = —; аз(1)' Запишем интегральное ное (2.124); аз(1) = =; аз(1) аз(1)* аа(1) -- =; ао(г) аз (1) уравнение Вольтерра 7" (1) = ~й„(г,т) р(т) г(т, 4 ( 1)ь й~(1, т) = ! - — —, ~аь(1)(1 — т)~); 4.' Ит" з 1 !)ь,(ь й„(1, ) = ,'à — ', —, (Ь (1)(1 — )'). При решении используем квадратурную формулу трапеций. Реше. иие проведем для различных значений шага дискретизации й:= 0,05, 0,1 и 0,2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
