Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 21
Текст из файла (страница 21)
детально!!у рассмотрения! вопро сок реализации алгоритмов на ЗВМ посвшцена иастояшая глава, 2Л. Базовая форма математической модели системы автоматического уп(эавлеиия — иитегральиые уравйеиия 2-Го иода Многие направления математики. такие как дифференциальные. разностные и интегральные уравнения.
функциональный анализ, тео. рия случайных процессов и др„являются математической основой теории автоматического управления (ТАУ), Естественно, при решении разных проолем указанной теории находят преимушествсмное применение соответствуюшие направления математики, которые и позволяют рец1ить нопые сложные задачи Вместе с тем теории дифференциальных уравнений (ДУ), размоет. иьж уравнений (РУ), интегральных уравнений (ИУ) и др. Направления математики не могут подменять теорию управления, которая имеет самостоятельный предмет и хаджи. При построении методов математического описания систем (матемазичсских моделей) нашли преимущественмое применение некоторые специфические разделы ДУ, РУ, ИУ, функционального анализа и лр„которые н позволили разработать новые инженерные полходы к решению задач синтеза сложных систем автоматического управления.
Основные теоретические положш1ия идеологии построения математических моделей элементов САУ и систем в целом изложим ниже. Сразу же необходимо указать. что по причинам. которые будут рассмотрены киже, основная форма математического описания систем н их элементов — это аппарат интегральных уравнений (271), В качестве примера далее будем рассматривать класс линейных местационарных систем, Положим, что элемент нестацнонарной системы нли система в целом описывается дифференциальным уравнением вида (2.1) Будем считать, что а„(1) = 1; тогда уравнение (2.1) будет иметь вид "(1)+ ~ о (1) '"(1) 2 Ь (1)у'ь)(1).
(2.2) Ие уменьшая обшности, будем рассматривать уравнение (2.2) при нулевых начальных условиях: хб!(О) = 0„1 = О,п-1. (2.3) Рассмотрим вопрос перехода от дифференциального уравнения прн нулевых начальных условиях (2.3) к эквивалентному интегральному уравнению Вольтерра 2-го ролан 1 1 х(Т) + ~ (г,,(Г, т) х(т) 1(т = ~ йа(Г, т) у(т) 1(т. (2.4) О О Интегрируя п раз левую и правую части уравнения (2.2). получим « 1 х'"!(т„) ут! ... 1(т„+ '! ~...
~ оь(т„) х"'(т„) г(т! ... !(т„= О О "' 1 О Ьь(т„) у!а! (Т„) г(т! . „1(т„. а=о о можно представить в форме Последнее выражение представляет собой обгцнй внд линейного ограниченного оператора в пространстве Гнльберта. причем строки и столбцы матрицы оператора — зто векторы, прииадлежац(ие пространству »': (2,12) ! ем= 11 Есь(А ьв» ). »-ААА1 где (А(»ть, (я ) — скалярное произведение в пространстве в ХР(О, Т) ) (Атть,ь~ ) = 1(4 "ь(»))Ю (!)(«» Отсюда следует ключевая зависимостьс см = ~ . "цььсь, и = 1,2,.-.
где а»ь = (А(»)ь. ут), с* =- (а),(!) ), 1 = П В самом деле, пусть л — произвольный злемеит в ХР(О,Т); тогда для любого а б Хт(О,Т) можно записать ю = )'„с(ь((ль. Аналогично, так как Ал б ХР«О, Т), имеем Ал рв = Х схьь«()ь. По определению, справедлива зависимость (АА А) (А(' А ЧА~ А). Поскольку оператор А непрерывен, т.е. если л л, то А А* (1~АА ~»А,А,), А ! А1) а также непрерывным является скалярное произведение: при а„л (1,*)- 1 (АА АА~А.)- 1~ (ЕЕАию). ь=-! и, кроме зтого, учитывая линейность скалярного произведения, найдем: ж г = (1;, (',...): ~' «с,.))т <:х.; »1(~'сот) = ( )" «!', — !.,) ~) Применительно к базовым функциональным уравнениям класса линейных стационарных н нестационарных систем положение об обц(ем виде линейного ограниченного оператора в пространстве Гнльберта позволяет получить важные инженерные результаты. ориентированные на регяение задач исследования и синтеза САУ с необходимым теоретическим обоснованием.
Запиц)еы уравнения, описывающие поведение нестационарных и стационарных систем. Оии имеют вид: Гч-) ( «)ь,«ь *(йА«1~ 1.А. !"()(1- )" '))*( )А= ~ йт(1, т) Р(т) А«т (2.13) ! »1)-) ( 1)ь «ь «ь *()-ф, „,"„—. (( - )")) ()А.- , Ь.О~.— '" = ~ »г„(1, т) р(т) !«т.
(2.14) Аналогичные уравнения можно записать и для стационарных и нестационарных систем с запаздыванием. Дословно повторяя все положения, относя(циеся к зависимости, определяю)цей обц(ий вид линейного ограниченного оператора в пространстве Гильберта, и учитывая следуюц(ее.* я интегральные оперзто~)ы уравнений (2,13) н (2.14) являются отображениями вида А: Е-(О. Т) — Хт) О„Т), ядра же их суммируемы с квадратом, позтому операторы ~~ран~~~~ы; я для всех функций, входяц)их я (2,13) и (2.14), имеют место приближенные представления: х((») =- Ф (!) С~; «»»(») = Ф (!) С"„ (2,15) 1)ф(дг) = Ф "(»)Ао Ф(т); Х~(», г) = Ф (»)А" Ф(г): ой+1 ою от1 отт+ 1 или, что тО же самое." С"= (с;ст„,ест, с,' = ~ л(т) тт;(() ~й„ С" Яс~т.„ф Г, сл 1р(Г) Вт(Т) й, з = Т;7; Фт(т) С'+ ~ Ф" (Т) Ао Ф(т) Фт(т) С*От = : ~ Ф~(Т) А" Ф(т) Фт(т) Св й", (2.)8) Поскольку ~ Ф(т) Фт(т) й = 1 — единичная матрниа, то иа (2.39) находим С'+АОС = А"С", (2.20) оу = « ~ й (т, т) у;(т) СГ (т) дат„'т, т' Т,Х Иэ (2,2О) находим является матрицей проекинойно-матричного оператора системы отиосйтельйо ортойормйроваййого бедиса Ф и Ф.
Релультат приведенных Выше положений можно представить В форме, реалиаувшей схему Л. В. Канторовича: рентение линейного уравнения с интегральным Опе(ИТОром сведейо и ресиеиию более простого лййеййого уравнений — уравнении с матричным Оператором Поскольку задача решения сложнОГО интеГральиОГО ураВиенин (2.24) с помогпью матричных ураайенкк (2.25), (2.26) сведена и ре. шению в форме (2,27), чем реалиаована схема Л.В.
Каиторовкча, то проехиионно-матричный оператор А будем называть оператором Канжороанчо. 2.2.2. Оцеик» погрешности. Для рассмотрения вопросов, связанных с оценкой погрешностей в решении (2.24), возникающих от замены ядра й,(Г, т) на выражение запишем уравнение (2.24) в форме интегрального уравнения Фредгольма 2-ГО рода; х(1) + ~ )г~'(т, т) х(т') )(т = ра(1), (2.29) ') )К~~(1, г) — Кх (1, г)~ г(т < )1.
1 б (О, Т), Гл(г,т), О<т<г; А~(т,т) = ~ Таким образом, имеют место два ядра интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода: я точное, определяемое зависимостью 1$ ! ( 1)ь ~:,, —, ~оь(г) (1 - т) -) ), О ~ т < 1; О, т>1; (2.Э)) в котором Аб определяется формулой (2.17). Теперь приведем теорему об оценке погрешности (113): 4 Х л пу)ямк ы л Гсоыя и зр лтокзке Однознйчно розрйшизго, Р '~~- ! -()+В)п и для его решения л(1) при асах 1 б (О, х) аыполняеягсл о)(анка ) )1) — ЯР)) 4 ))ХР)))а. (1+ В)т) 1- (1+ В))) Как отмечается в (1Щ при доказательстве теоремы об оценке погрешности нигде ие использовался факт, что ядро вырожденное. Позтому результат, сформулированный выше, в принципе применим к любым двум интегральным уравнениям с близкими парами, Но аффективной приведенную оценку погрешности можно считать, видимо.
лишь в случае, когда ядро й~(Г, т) вырожденное, так как только тогда вычисление В, )) и Щ( сводится к оценке ))звестных функций нли функций, которые реально можно построить: (х)(1), Г(Г,Т)», Оценка имеет апостериорный характер — сс правую часть можно вычислить уже после того, когда приближенное решение 2)(1) построено. Оценку В удобно находить в процессе построения приблнжеикого рецгения. Правая часть оценки погрешности, вообще говоря, мала, если мало числО )д Позтому емалостье )) может служить критерием близОсти ядер )ф1,т) и А-'~(1, т). Наконец.
Стоит заметить, что теорема гарантирует существование точного» решения ЛП) — этот факт заранее известен, п~~~~л~~у р~с~матр~в~~мо~ интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода (2.24), а следовательно, н . теграль ое уран нне Фредгольма 2-го рода (2,29) зквнаалентны дифференциальному уравнению, описывающему поведение системы управления В общем же случае, построив для ядра й «Г, г) близкое к нему вырожденное ядро небольшо) О ранга, часто мшкно получить Оценку нормы обратного оператора А ' Такая оценка бывает чрезвычайно полезна; в частности, как уже отмечалось, она позволяет получить оценку погрешности любого приближенного рецжния через его иевязку. Рассмотрим теперь случай, когда можно записать последователь- ность интегральных уравнений )212) х(») — ) й~~„", (», т) х(т) дт = уо(») о с вырожденными ядрами Йч»и (»,т), и = 1,2,..., Для этого случая справедлива теорема; Теорема 2.2.
Пусть интегральное уравнение (2.29) однозначно разрешимо, причем ))А"')) К С. Пусть при всех и выполняются оценки 7' ) ~й~~(», т) — й~„' „(», т) ) дт < и„, (2.32) о причем г»и — О. Тозда при до~т~то~~о больших и уравнения (2.32) также однозначно разрешимы. их решения хшн(») равномерно схо- дятся к решению .г(») уравнения (2.29) и справедлива оценка С"ъ ))х(») — х»(»))1,(з »1 ', ))уо!)с(от1. (2.33) Последняя формула позволяет получить априорную оценку, т, е. се правую часть мы можем вычислить до того, как построено само при- ближенное решение уши(»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
