Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Разлялим промежуток (О,Т) иа Х равных полынтервалоа (п,гз). (гз,гз1,.... (1н и гч). Где т1 = О, гх — т, й = 1,+г — г, (рис,2.3), Для вычисления значений определенного интеграла в вычислительной математике пользуются квадратурными формулами вида (2.92). Наиболее простыми являются формулы прямоугольников и трапеций. формулы прямоугольников с левыми и правыми ордннатами (рис. 2.4 очевидным образом изменится) соответственно имегот внд: .)'(з) г(з = 6 ~ — +,~з + ~з + ... + ~гг ~ + — ~ .
(2.%) ~2 (Ь УН1 Если плошадь злемеитарной криволинейной трапеции заменить п.югиахью фигуры. располгакенной ноз параболой. проходяигсй через точки кн инг |ут и и„, то для етого случая имеет место формула Симпсона: т ~~(()г(г=-~Л+Чзуз+2Л+4Ьуз+ 2,6+...+ б + 2,Ь ~+4,Ь,~уз+~®1 = йГ Ф М-! -з(Л+г +~К! ~ +г Е У~ 096~ В числениых методах примеияготся квад)затуриые формулы инте(з" поляциоиного типа (частные случаи — формулы Ньютона-Котеса), формулы Гаусса (частный случаи — формула Эрмита) н др. 2.3,3.
Равенне скнлярмьгх ннтегральмьзх уравнений Вольтеррв 2-го рода методом квадратур: вычислительная схема. Далее метод квадратурных формул будем применять для регления интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода 26 Ля = А, = ... = Аэ,д., 3' Т г,=й(1 — 1), 1=Т,У; й= —, М-!" — для формулы Симпсона при Х = 2ги + 1, гп = 1,2, Прйведем Общие положеййя, связайиые с ре1пением урав~ен~я (2.97), следуя (89), Перепишем (2.90) в виде к-$ ( 1)ь (ь й (Г,т) = — 2' —, — (аь(т)«1 — т)" ~1. (и-1)1 Ить Ф)=)йэ(г )р( )г( ° О ~ь ( 1)ь )гэ(т,г) = ) — — (оь(т)(1 — г)" ~1, ( -1)1 Ь~ при этом будем пользоваться следуВшимй 060зйачейиями: г~ — фиксй рованные абсцйссы ~трез~а 10,Т); А; — чйсловые коэффициенты, при этом 2 А = Т; отРезок Разбит на (и-1) частей, а точки аз Явлвютса 1 равиоотстоящими.
т.е. следующими друг за другом с шагом Для этого случая числовые коэффициенты А„, точки г, и шаг й опре- делеотся формулами: Т Л,= —; М вЂ” 1' — для форм)лы трапеций; Ь Л~ = Ае 8' где х и à — элементы метрических пространств Х и Г (в общем случае бесконечномерных, например Х С(О.Т), Г =. С(О.Т1)„.А: Х - Г— оператор, действующий из Х в Р.
Введем пространства Хи и г'и, аппроксимирующие в известном смысле, т, е. с использованием сеточного представления функций, пространства Х и Е Связь между парами будем считать заданной операторами Л,: Х Хм, Аг: Г. Рм и Ав. -Хй Х. Тогда уравнение (2.98) заменяется на приближенное где Ах; Хя Гй — оператор, аппроксимирующий оператор А. Из предыдуших рассуждений следует, что Хм = У"и = 1Р, Теперь введем следующие понятия. Допустим, что (2.99) имеет единственное решение л Е' Хя, Этот элемент не принадлежит Х, поэтому нет оснований называть его приближенным решением (2,98), Будем называть его каркасом приближенного решения, а приближенным решением (2.98) — элемент Так как роль Я(Г) +1 к„(Г, г) х(т)Иг = уе(Г) заключается в конструи- О роааиии приближенного решениЯ по его каркасу или в восполнении каркаса приближенного решения, А, будем называть оперппгорой восполнения.
Операторы А и Лг — олерагяоры сноса (89). Пусть гл — метрическая функция в Х. В дальнейшем положим Х = Г = С10, Т). Близость приближенного решения лм к точному х" измеряется величиной и =гх(лм,х ) = 1)ам -а"Ь' часто представляет интерес и величина - гт., (х«,А,.г') ~~г1„.г' — гхк(, Если пк - О.
то говорят, что имеет место сходимость приближенных решений в Х; а если тк — О, то имеет место сходимость каркасов приближенных решений а Х;. Рассчитывать на сходимость приближенных решений уравнения (2.99) к точному можно. только если уравнение (2.99) в указанном выше смысле приближает (анпрокснмируст) уравнение (2,98). Точный смысл такого приближения может рассматриваться только с учетом того, что это — уравнения в разных пространствах.
Говорят, что уравнение (2.99) аппроксимирует уравнение (2.98) (нли что оператор Ам аппроксимирует оператор А) на элементе х б 0(А), если мера аппроксимации ;;(г) = ()АгтА,х — А7Ах)(н, стремится к нулю при 7лл — зс. Соотношение Пте(х) О (7л' — зс) называют условием аппроксимации В рамках введенных понятий рассмотрим интегральное уравнение (2,90) и соответствуюший ему дискретный эквивалент .г, — 6',» А,й„х, =Л, 3 — 1 где х, = х(г,). )з, = й ((„ т ), Л = Дт,), коэффициенты А определяются типом используемой квадратурной формулы.
Интегральный оператор Вольтерра в рассматриваемом случае заменяется линейным оператором Агг в конечиомерном пространстве )(и, тогда (2.(00) можно переписать в виде А»гам = )гп Роль операторов сноса играют операции дискретизации. Оператором восполнения А, может бмть, например, оператор интерполирования полученного сеточного решения. Выполнение условия аппроксимации вполне очевидно. Покажем зто: 2.8.4.
Корректность (89! При решении уравнения (2. (00) приходится считаться с наличием погрешностей разного происхождения. Погрешности первого рода связаны с теь1, что при составлении уравнения (2.97) могли быть допуишны искажения как в правой части 7, так и и операторе А, Иными словами. вместо уравнения (2.97) мы фактически решаем некоторое др»ч ос уравнение (2. (0() где Ъ:! — искажение в операторе, а з7 — искажение в правой части. Искажения в уравнении могут быть вызваны тем. что оно недостаточно полно описывает изучаемый физический процесс из-за неполноты теории, неточнОстей измерений илн вычислений при построении оператора А или правой части 7. Погрешности второго рода появляются в процессе решения уравнения (2.(ОО) (не имеет значения, является ли оио точным или искаженным).
Эти погрешности можно разделить на две кате~ории. Погрешности метода возникают из-за того. что ирнмсняемыЙ метод даже в сл»'- чае его точной реализации дает лишь приолиженное решение уравнения (2.)00). Вычислительные погрешности имеют своим источником различного рода неточности при реализации метода — в частности. это погрешности округления при провелеиии арифметических операций. Оператор Л называется корректным. если область значений )(( !) = = х и сушествует ограниченный обратный оператор А-'; уравнение называется корректным, если корректен оператор Л. Если уравнение некорректно. то даже малые искажения исходных да~~~~ ~о~ух прив~ст~ к значительном» )худшению то~~о~ти найденного решения нли к неустойчивости алгоритма, г(то касается рассматриваемых интегральных уравнений Вольтерра 2.го рода, то задача их решения, в отличие от уравнений )-го рода, является корректно поставленной 2,8.5.
Устойчивость. При составлении уравнения (2.)00) обычно допускаются искажения, в Результате чегО фактически Решается урав- = ~~ ~л~-л~~л*Ол,,~*~) — Ю+ (ЬЧН ) ~ И !! пил 1 = ~1~8,((„т) х(т)УТ вЂ” 6,'» Аз)чзхз~~, ! =!.Х. о Таким образом, мера аппроксимации ограничена нормой остаточ. ного чл~на квадратурной формулы, который. Иак известно, стрем~~с~ к нулю при М вЂ” зс. Отсюда следует, что при )»! - Ос интеграл сколь лтоаио точно приближается суммой. н; т(х) — О.
(Ам + ЬАх) хм = .Ь + Ь|х. (2.(02) где,ЬАгс — операторы из Хп в Йм. Наличие погрешностей второго рода ведет к тому. что найденное значение каркаса приближенного решения з'. + лзх . удовлетворяет лишь тождеству где бм — невязка. Можно включить иевязку в искажение правой части (2. (02) и в дальнейшем не учитывать ее наличие. Будем называть процесс нахождения каркасов приближенных решений о.усягойчиаызг, если стремление к нулю относительных погреш- аналогично — каркас приближенного решения. Вводя обозначения (- Айы О -А~ йз1 1 — Азйхг О О А~йяы О " О А ф Азкхзг " О костей ))ЬА» ф)ЛМ)) и )~сЪ~И1ф,')» ~! в данных задачи для уравнения влечет разрешимость уравнений (2.)02) и стремление к нулю относительных погрешностей каркасов приближенных решений (89). Необходимым и достаточным условием устойчивости пропессз нахождения каркасов приближенных решений является ограниченность последовательности чисел обусловленности мзтрипы Ам, Обратимся ко второму этапу вычислений.
Положим, что найдены приближенные значения каркасОВ хч е Ьх„. Допустим, что и Оператор восполнения А„Вычисляется с по1ршпностью, так что фактически применяется ис этот оператор, а оператор А„+ ЬА,. Таким образом, ВМССТО ЭЛЕМЕНТЗ Угс вычисляется элемент Если х' Ф' О. то имеет место сходимость приближенных решечий; если пропесс нахождения каркасов приближенных решений ,»-устойчив. То для о-устойчивости процесса нахождения приближенных решений необходима н достаточна ограниченность последовательности (ггт): ом = )!Аэ!1. )аахм(1. ВОСПОЛЬЗОВЗВШИСЬ ИЗЛОЖЕНИЫМН ВМШЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИМИ ПОЛОЖЕНИЯ»|и, построим каркас решения уравнения (2.97). Запише~ приближенно~ уравнен~~ аппроксимирующее интегральное уравнение (2.97) с использованием ЯВЗДРЗтУРНОй ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬИНКОВ: После замены в последней зависимости интеграла квадратурной фор- чулой, получим х(Г1) — ~ Атйэ(т;, гэ) х(гу) = Дтч) + Щх)„(2АОЗ) Где Я, 'гг) ОстзтОчный член (Ошибка), порождающий погрешнОсть решения, Обычно при получении (2.)ОЗ) предполагается непрерывность ядра и свободного член» В заданных треугольнике и промежутке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
