Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Общая методика исследования замкнутых систем. заданных своими структурнымн схемами, состоит в следующем; 1) находят матричные операторы А, каждого звена системы; 2) преобразуют схемы так, чтобы образовались соединения. последовательное. параллельное н с обратной связью; 3) рассчитмвают матричный оператор замкнутой системы, применяя формулы (2.199), (2,200) н (2.201). Пользуясь рассмотренными выше положениями„найдем матричный оператор замкнутой системы с переменнымн параметрами (рис.2.20) Ар = АВАеАз(1+ АВАаАз) ' к к Аз (1+ АТАЛАаАз(1+ АзАтАз) Ат) Ан Матричный О«юратОр замкнутом системы Определяется формулоЙ: А =- (1 — Ар) Ар.
2.16.3. Зквивалептный матричный оператор нели~ейного элемента и алгоритм его расчета. Для исследования и синтеза нелинейных САУ широкое распространение получили приближенные методы, осмоваиныс на линеаризэции входящих в систему нелинейных звеньев. Большую известность приобрела гармоническая линеаризация нелинейных элементов, которам базируетсв на предположении о том, что в исследуемой нелинейной САУ устанавливается некоторый периодический режим с заранее неизвестными амплитудами и частотамн колебаний — автоколебання или вынужденные колебания неизвестной амплитуды. Основы этого метода разработаны Н. М, Крыловым н Н Н.
Б юбовы и учили ра итие в работах Е. П. По в . БыхОдная координата нслииейнОГО звена си«:темы В случае автОколебаннй или вынужденных колебаний является периодической фумкцией времени и может быть разложена а рял Фурье, Зачастую ограничиваются 1юрвь«ми членами этОГО разложения, предпОлаГэя. что линейная «эсть системы является низкочастотным фильтром, »гася«цим» высшие 1армоннки в заь1ьнутой системе (50!, Другим подходом является исследование чувствительности первой гармоники к отбрасываемым высшим гармоникам на нходе нелинейного звена (50».
Б нэстояшей работе основное ю«имание уделяется изложению и применению дли решения конкретных инженерных задач метода экэнвалш«тных О1юратороя. ПО сравнению с метолОН Гармонической линеаризацми этот метод не накладывает ограничения на вид сигма.
лов и на класс систем (стационарные или нестацнонарные). Он обеспечивает достаточно Высокую точность. поскольку выходной сигнал линеаризованного элемента, описываемого эквивалентным матричным оператором. Является разложением процесса на выходе нелинейного звена по выбран~~~у «Гртонормирояэнночу базису. Таким Образом, число членов разложения на входе и выходе нелинейного элемента определяет точность аш«роксимации нелинейного оператора элемента эквивалентным линейным. Положим, что исследуемая нелинейная САУ задана се структурной схемой (ограничения на степень сложности не накладываются). Метод дс ерыинироаэнного эна энзэ расс)«этривэечого класса систеэ« предпО- латает замену каждого нелинейного элемента линейным с эквивалентным матричным оператором Критерий эквивалентности — равенство выходных сигналов нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного элемента, заданного матричным оператором.
при отработке конкретного входного сигнала (предполагается, что выходной сигнал линейного элемента задан его спектральной характеристикой в выбранном базисе, поэтому равенство является приблмженным. а ошибка Г ЙОжластся аппроксимапиеи ВыходнОГО сигнала нелинейнОГО эле««ентэ 11(1) э (1) ГК(1) -' — -р-Я вЂ”.р )«(г(1) ) .»(Т1»+ 1)(Т,.»1 1) л(0 Рис.
2.21. Структурная схема нелинейной САУ конечным числом членов системы Ф(х) = (Эр)(Г) рз(1) ... р«(Г)) где 1в число удерживаемых членов разложения). Пример 2.2. Для большей наглядности при рассмотрении содержания метода будем рассматривать систему, структурная схема которой представлена на рис. 2,21, Приведем параметры линейной ЧЭСТИ СИСТЕМЬ«' Та=0,01 с, Т« = 0,1 «д Тз = 0.15 с; Й = 5. Нелинейный элемент системы Е(г) (рис. 2.22) имеет слелуюц«ие значения параметров: Рмс. 2,22.
Характеристика мелиией. ного элемента Е(е) требуется построить реакцию системы на Входное воздействие у(1) =!. Заменим нелинейный элемент системы линейным с матричным оператором Азз. На перв~и этапе зада~~ся ~у~е~~е приближение сигнала »(Ц а форме разложения по выбранному ОНБ (в данном случае в качестве базиса используются полиномы Лежаш«ра). Положим, что !0,Т)=(0,5); 1.= 15; С;„=0,1.(111... 1)'. 1Э поскольку входной сигнал г(а)(1) = 2; с„'ГО,Р„(1), Являющийся ну. иж1 левым приближением, известен, то по формуле !Ь ер)О)(1) = Й'~Х: 4«О))'»(1) легко построить нулевое приближение процесса гн«О)(г) на выходе нелинейного элемента, а с помошью зависимости К»«О) — —, ="««1)(г) ф 0 «Гг ~ 10, Т), (2.204) гк)о)(Г) г«О)(1) Рнс. 223.
Схема, иллюстрирующая процесс замены нелинейного элемента эквнвалентнмн матричным оператором рассчитать эквивалентный переменный коэффициент усиления Кще) нелинейного элемента (рис.2.23), который в терминах проекционного представления снгналов и элементов системы является его точной математической моделью для данного воздействия с(р)(!). Естественно, зля другого сигнала коэффициент усиленна будет другим, поэтому его Охаем обозначим так; Кхо) (С О)(Н) = — ', со)(Ц ФО )У(6 )О,Т), (2.205) зн< )()) згн(г) ВажНЫМ яВЛястгя тОт фаКт, ЧтО раЗЛОжсиия СИГНаЛОВ Сг)О)(Г) Н чщ()) Кгпв)()) по выбранному базису Ф(З) равны.
Так как Кмо;()) является функцией времени, а операция преобразования сигнала )о)()) представляется в форме произведения двух функций: зк)О)(г) = г)е)()) . Кмо)(!). (2.206) го теперь достаточно воспользоваться формулой, определяющей матричный оператор, порожденный функцией Кжо)(1), Воспользовавшись форм)ЛОИ, Определяющей матрицу Оператора умножения на функцию (формула (2.!90)), можно рассчитать матрицу оператора умножения, порожденного !)жо)((): Ат ~К„„)(Г)1 = С,"н", (2,207) которая определяет нулевое приближение матричного оператора нелинейного элемента системы. Воспользовавшись формулой, определяющей матричный оператор двух последовательно соединенных звеньев системы, найдем зависимость для нулевого приближения выходного сигнала: С)о) = АзАт (Кмо)) С~го), (2.208) Аз = (Т)ТтТз1+ (ТзТз+ Т)Тз+ Т)Тз) А,+ + (Та+ Те+ Т,) А„'+ А'„) 'ЙА'„, (2,2(Е) А„— матричный оператор ннтсгрировакия.
Обратим внимание на тот факт, что матричный оператор А явно зависит от параметров системы. н этот факт будет широко использован как прн разработке методов синтеза регуляторов, так и прк решении задачи параметркческОЙ стагнстической Оптимизации в классе как лн" нейных (стационарных и нестацнонарных), так и нелинейных систем Теперь легко рассчитать первое прнблнжсннс спектральной харак. тернстнкн сигнала с((). Для этого достаточно воспользоваться форму- ЛОЙ (2,2!О» нли то же самое: Сг)) = С" — АзАт (Кмо)~ С~о) -- С" — АэАОС(о).
(2.21! ) Далее процесс повторяется, т.е. Находится первое приближение матричного оператора, аппроксимирующего нелинейный эммент, имеющий эквивалентный коэффициент усиления: К„()) = —. с())(1) ~ О )1г 6 (О.Т), (2.212) ся())()) с(0(1) ' с())(!) = (С())) Ф(с) Второе приближение С' рассчитывается с помощью соотношения С(гз) = С" — АэА, ~Км))1 С', С" — А)А,',С')).
(2.213) Очевидно, что общая формула имеет вид: Сбе)) = С" — АзАт (Кж))1С'; = С" — АзА'„С;, (2,2!4) где Ат (К„())~ — матричный оператор умножения на функцию сэ-(1)(1) Кж,) = (, Хн)(1) Ф О )УГ б (О, Т). (2.215) с(0(Г) В результате 12-ти итераций рассчитана одностолбцовая матрица С<м). С;„, = (0,0896! -О,!6342 0,23249 -0,280!5 0,27Е5 -0„17946 0,03756 0.07747 -0,10785 0.07003 -О,О!9(Е -О,Е)938 О,О!469 -О,О!008 0.00453 ) '. По известной матрице С')э) легко рассчитать спектральную характеристику выходного сн)нала х)(!): С()з) = С" - С))з) На ркс. 2.24 представлены графики переходного процесса системы, рассчитанные методом матричных операторов и, для сравнения. методом Рунге-((утта (на рисунке опн совпадают).
з(1) 1.2 гйб 0,4 (!.2 и 1 (» 2 261 3 26 Рис. 2.24. Графики переходного процесса системы 2Л0.4. О прнмвненнн суперкомпьютерных технологий, Из предыдушего изложения следует, что в книге широко используются основы матричного исчисления. Понятия вектора, матрицы, обратной матрицы н др. являются рабочими. Важным является тот факт„что современные ЭВ)(4 легко осушествляют основные матричные операции. Организация матричных Вычислений является предметом интам" снвмых теоретических и экспериментальных ис~ледован~Й.
Перех~д х верхнему уровню организации вычислений, образованному операцияыи над клетками матриц. приводит к дал(«нейшему увеличению степени внутреннего параллезизма реализуеыых алгоритмов, достижению более выгодного соотношения между объемом вычислений и накладными расходами иа организацию Вычислений. особенно на обмен даниымн [474[ Как отмечается в [476.
477[: ° дмначнчно разрабатываются матричные вычислительные системы, ориентированные па реализацию клеточных алгормтмов. а также мультипроцессорные системы„ в которых одновременно используется параллелизм различных уровней: от векторных опе. раций, реализуемых в вехторных проиессорных элементах (ПЭ). до клеточных операций. под которые выделяются отдельные кластеры ПЭ [73-76[, ° процессорные массивы с систолической организацией вычислений [472. 477[ та~же позволяю~ использовать как ~редне-, так и крупномасштабные уровни параллелизма за счет введения в состав ПЭ решаюпгего полн дополнительной локальной пачяти, что дает возможность решать задачи произвольных размеров на указанных процессорных массивах с фиксированным числом ПЭ.
независимыч от размеров ыассивов входных данных [429[. Клеточные методы решения задач больших размеров наиболее широно используются в линейной ал(ебрс [133[. одной из базовых операций которой является операция матричного умножения. Приведенные положсни». которые детально отражены в [РЗ--137, позволяют так реализовать организацию ° ьатрнчпых вычислений. Что исследование и синтез сложнььх автоыатичсских систем, содержащих десятки элементов с матечатичсскими моделями в форм~ матричных Операторов. Можно провести с помощью Весьма эффсктипного алгоритзьи'1ескОго и п)зОг)ьаммнО10 ООсшьсчш(ня. При реализаиии вычислительного эксперимента с испольмьванисы аппарата матричных операторов.
цель которого — построение математических моделей всех элементов сложной системы (например, (юр»- док которой — несколько дес»ткоя)» форм«матричных операторов. расчет с помощььо структу)пи«ьх преобразованиЙ матричного оператора системы а целом. синтез регул»тора и »шследование систеыы при детерминированных и вероятностных про1шссах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
