Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 24
Текст из файла (страница 24)
2) Если десУ ф О, то проверить инвалютивность множества векторов, составленного из первых и — 1 столбца матрицы управляемости, т. е. множества ~й, айгй, ..., ад" тй). 3) Если множество (й, айгй, ..., ай~ зй) ннвалютивно, то определить функцию Т~(х) из соотношений ЧТ|аЮ~6=0, 4=0,1, ..., и — 2; ЧТ1аа" ~6140. (6.4) 4) Определить преобразование состояния и=Т(х) = !Т1(х) Тт(х) ". т Т„(х)), где Тз = йгТи Тз = й~~Тп -, Т„= й ~Ти и преобразование управления и= ( — й"Т~+о). 1 йй" 'Т е г ! (6.5) Пример 6.6. Задана система х~ = хю хт = хз + и, хз = х~ + схз. з Требуется произвести линеаризацию обратной связью по состоянию. Решение. В данном случае и= 3 и функции 1(х) и н(х) имеют вид з зт т т(х) = (хт хзз х~ + схзз), 6(х) = (О 1 0) Если отбросить перед четными столбцами матрицы У знак минус, который не влияет на ее ранг, то получим матрицу управляемости для пары (А, Ь).
Поэтому матрицу (6.3) называют матрицей управляемо- сти для системы (6.1), б.2. Линзаризация об отмой сзязью яо состоянию 145 1) Найдем матрицу управляемости У = (к Ыоц вф~). ~фи бУ ао(уд = — 2 — — к =— Ых Йс О 1 О О О Зхзз 1 О Зсзз (1) =-(о). О 1 О ОО Зх 1 О Зссз (о) - (о) . а(аду к) ас ас(з~й = аду(Ыон) = йс йс © — — ао(оц = 2) Первые два столбца матрицы управляемости являются постоянными, и поэтому образуют инвалютивное множество. 3) Соотношения (6.4) принимают вид (дT! дT! дТ!'~ дТ! О зУТ!б=( — — — 1 1 = — =О, ~дх! дхз дхз/ 1 дхз (дт, дт, дтс1 дт, 1 'РТ! ~,ц= — ( — — — ! О =- — =О, ~дх! дхз дхз/ дх! (дТ! дТ! дT! ~~ дT! О ЧТ,.Я„=-( — — — 1 О = — ФО. 1,дх! дхз дхз/ дхз Отсюда следует, что Т! зависит только от хз, и в качестве решения этих соотношений примем Т! = хз.
3) Найдем остальные два компонента преобразования состояния Тз и Тз: Хз Тз = йуТ! = ЧТ!~ = (О О 1) хз — х! + схз х! + '-"'з з хг Тз = ЙуТ! = ЙуТ2 = (! О Зсхз) хз = х2+ Зс!хз(х! +с""3) х! + схз Итак, преобразование состояния имеет вид 22 = Т2 = х! +схз, гз = Тз = х2+Зсхз(х! + схз). з 2 г! = Т!(х) =хз, Π— 1 О Матрица управляемости имеет вид У = 1 О О, и ее детерминант О О 1 отличен от нуля: с)аз У = 1. 1л.
6. Линаариааиия обратно!2 связью 146 Для определения преобразования управления нужно определить й ВТ! и йт~. О (Зсхзг 1 бсхзх, + 15,2х43) 1 = 1 О иТ33 = Х2 (Зсхз ! бсхзх! + 15сгхз) 4 х! +схз ЫгТ! = !3Тз =тУТ36 = 2 ЦТ = Уу(Ь'Т!) =Ь Тз = = Зсхзх2 + ХЗ + (бсхзх! + 15с хз)(х! + схЗ). Подставив зти выражения в (6.5), получим и = -1З~~зхг+ хзз+ (бе*за!+ 15 гхзИх! + ~зН+ о В новых переменных уравнения системы примут вид 3! =2М 22!;~э За=а.
3 ачи 6.6. Определить ранг матрицы, управляемости следующих управляемых систем: х! = В) Хг= хз = х! =Хг, б) хг = хг — хз, хз = — хг+и 2 < Х! =Х2, а) х2=хз, хз = — х!+и 2 х! = х! +Хгз Х! = — Х!+Хз 2 '( х! = Е) Хг= Хз = хг = а, хз = -Хг+ хзз Х! =Хг, ж) Хг = Хгх3, хз = — х! — хг+и Хг = хз = < Х! =Хг, К) Хг = Х,Х3, 2 Хз = Х!Хг +Хзи 6.6. Заданы управляемые системы а) б) < х! = хг+хгз, /х! =хг+хз+и, х2 = х! хг+х! +а; ) хг х! хг+хзг! хг =и, 2, ХЗ = -Х!, Х! =Хг, Х2 = ХЗ ха=-х,+и хм — х!+и, "'з! хг+и, -х! -хг, з, — Хг, ха+ хг, ,3 3 — х! — хг+ и; б.2. Задачи < Х! = Х2 + Х1, В) . 2 хз = -хз+ хз+ и х! = Х1+х, +и, з г Хз = -Хз+Х1Х2; х! = х2+ х1, з Хз =Хз+Хз, 5 хз = — хз — х1+тб '( < Х! = Х1 + Х1Х2, д) .
з х2 = х2+х1+ и Х! =Хз+Хз, з Х2 = ХЗ+ Х1, з ХЗ = — Хз+и Х! = Х! + Х2 + Хз, 3 3) Х2 ХЗ+Х1+ и. ХЗ = -Хз — Х1! х! — — х1 +хз+х, 3 «) хз =хз+Х31+и, хз = хз + х! + хз; Х1 = х2 + е *' + х21 хз =хз+х1+хз, з ХЗ = -ХЗ вЂ” Х2 + и; Х! =Хз+Х,, 3 л) Хз = ХЗ+ Хзз хз = хз+х4+х!, х4 = — Х4 — хз+ и; Х! =Хз+Х,, 5 хз = ХЗ+ *52, хз = хз+ х4+ х1хз, х4 = х4 хз+ и. х! =х1+хз+ха+и, хз = -хз+ хз+хз, 3 з.
< Х1 = Х1 + Хз + Х1, хз = 2х1+хз+хз, Фз = -хз — хз - х! Хз + и; 2 Е х! = х! + х! + хзхз + и, 3 2 Хз = Х2+Хз, 3 Хз + ХЗХЗ! х! =2х1+хз+х,, з хз = х! + Хзхз + х, + и, 3 5 хз = -2хз — х1+ х1хз; < х! =х1+хз+хз, 2 хз = Зхз+хз+ 2Х1хз+и, 5 хз = 4х! + 2хз + хз + х1хз! Х! =Х1+Хз, з хз = хз+ х, + и; б) Х! = Х1+Х1, з Х2 = Хз + Х! + Х1Х2, 2 хз = — хз — х! +и; 2 '( г) х! = х! + хз + х! хз, Д) х2=2Х1+хз+хз, хз = — хз — х1+ и' < Х1 =х2+х1+хзхз+и, 3 2 Ж) Х2 = Х2+Хз+ХЗ, 3 5 хз = хз+2хз+хз, 2.
е) 3) '( х! = 2х! + х1хз + хзхз + и, Х2 = ХЗ+Хз+ Хз, З 5 хз = — хз — Зхз+ хзхз, к) Показать, что они линеаризуемы обратной связью по состоянию. бЛ. Заданы управляемые системы Гл. 6. Лааеаразааая об атаоя саима 148 х! = 2х!+Зхр+хзз, хз = х! + х!хз + х!, з ХЗ = Х4+ ХЗХ4+ Х4 3 х4 = Зхз+4Х4+и.
х! = Хз+хз+ 2х!хю з хз =х!+х!ха+ха, 3 хз = Х4 + хз + Зх! хз + о 3 Х4 = — Х4 ХЗ+ХЗХ4; л) Показать, что они не лннеаризуемы обратной связью по состоянию. 6.6. Исследовать линеаризуемость обратной связью по состоянию следующих управляемых систем: 6.6. Определить преобразование линеаризации обратной связью по состоянию для следующих управляемых систем: а) х! =хз+хзз, хз = -х! -а+ха+ай б) х! =Хр+и, ха= — х! — хз+хз, з. в) х! = 2хз+х!, хз =ха+хат+хи з г) х! =х!+х, +и, ха =-хз+х!Хр; з д) х! =2хз+хр, хр=Зхз+х!, ха=-ха+о; е) х! = 2хз+ха!, хз = Зхз+хзз, хз = — х! — хз+и; ж) х! =Зхз+хзз, ха=ЗХЗ+2Х!хз, хз= — хр+и; 3) х! = ха+ха, хз =2хз+и хз = -хз — х$! Н) Х! =ХЗ, ХЗ=ХЗ, ХЗ=Х4+Х!ХЗ, Х4=о; К) Х! = ХЗ ХЗ = Хз ХЗ = и Х4 Хз + Х! х ! = 2хз+х!, з хз = — 4Х! — Зхз + и; в) Е х! = х! + х, +х,, з з г) хр = х! + 2хр + х! хз + ьн < х! = Хр + х! хз + Зхз, д) хр =х!+хр+Зх!хз, е)! хз = -хз+2хз — хзхз+зн х! = 5х! + Зхз + х! хз, ж) хз =2х!+Зхз+х,хз, з) хз = — хз Зх! Хрхз + и, х! = 2х! + Зхр + и, и) хз =4хз+Зхз+хзхз, к) ХЗ = 5ХЗ + 2ХЗХЗ + ХЗ', ~ ~ !~ х! =х!+хм хз = Зх! + 2хгхз + и' < х! = 2Х! + Зхз + 4х! хз + и, хз = Зхз + хз + хз! з з.
< Х! = ХЗ + Х!Хз, з хз = хз+ хзхз, з хз = — 2Х! — ха+ х!ха + зк < х! = хр + 2хз + хзхз* з хз = хз +хз + хзхз хз = 2х! — хз + хз +и; з з ~ ~ ~ ~ ~! х! = х!+5хз+х,, 3 Хз = Х! + Х! ХЗ + ХЗ з хз = хз+хз+и. 149 б.З. Ли иза ной связью яо выходу 6.3. Линеаризация обратной связью по выходу Пусть система описывается уравнениями состояния я выхода: х=у(х,и), у=Ь(х), х6В", иЕВ, у 6 В. (6.6) Рассмотрим задачу слежения за траекторией у (3), которая состоит в определеннн такого закона управлення, прн котором ошибка слеження е(Ф) = у(1) — у (Ф) со временем стремится к нулю: е(Ф) — О прн Ф вЂ” оо, а остальные переменные ограничены. Трудность решення данной задачи заключается в том, что переменная у не связана с управленнем и.
Однако может оказаться, что она будет легко разрешимой, если путем преобразования исходной системы удастся получнть прямую н простую зависимость между выходом у н входом (управленнем) и. Определение 67. Линеаризацией обратной связью по выходу называется такое преобразование нелинейной системы (6.6), включающее преобразование обратной связью, нри котором в преобразованной системе связь между выходом у и входом и получается линейной.
П р н м ер 6.7. Система описывается уравнениями х1 = хт, хт = хз(х$ + 1), хз = хатха + и, у = хн Требуется определить алгоритм управлення, обеспечивающий слеже- нне за траекторией у ($), а остальные переменные ограничены. Р е ш е н н е. Проднфференцнруем у столько раз, сколько потребуется для получення прямой зависимости между выходом н входом: у = х! = хт, у = хт = хз(х1 + 1), 'у" = хз(х~ + 1) +хзх| = х1хз(х~ + 1) + (х~ + 1)и + хтхз. Из последнего соотношения на основе преобразования 1 Я= (х~ + 1) ~-хатха(х~ + 1) - хтхз + о1 получим у = о.
Точна х1 = -1 для этого преобразования является особой: оно в этой точке не определено. Для определення требуемого закона управления воспользуемся методом обратной задачи динамики. Если потребовать, чтобы ошнбка слежения е = у — у„ изменялась в соответствии с уравнением 'е' + й~е + осте + йзе = О, то, найдя отсюда 'у" = у — й~е — йте — йзе н подставив в преобразованное уравнение для выхода, получаем !"я. б. Лине азалия обратной связью 150 о = у„— Й1е — Йзе — Йзе. Подставив зто выражение в преобразование для управления, находим искомый закон управления 1 и = [ — х1хз(х! + 1) — хзхз+ Уе†= (х!+1) Й1(У У ) Й2(р У ) Йз(р У ')] или, после подстановки выражений для выходной переменной и ее производных, 1 и =— (х1 + !) [(х! + 1)(х1х2 + Й1хз) + х2хз + Й2х2 + Йзх!— — У вЂ” Йср' — Йзр' — Йзр )].
,В данном примере число дифференцирований для получения явной зависимости между выходом и входом равно порядку системы. Возникают дополнительные проблемы, когда зто число меньше порядка системы. Рассмотрим пример. Пример 6.8. Пусть система описывается уравнениями х1 = хз + (хз + 2)хз, х2 = х, + хз, хз = х1 + и, у = х1. 3 4 Требуется определить алгоритм управления, обеспечивающий слеже- ние за траекторией у (2), а остальные переменные ограничены. Решен не. Продифференцируем у столько раз, сколько потребуется для получения прямой зависимости между выходом и входом: у=х1=хз+ (хз+2)хз, у'=(1+ хз)ха+ (хз+ 2)хз=(1+ хз)(ха+ хз) + (ха+ 2)х41+ (хз+ 2)и, или у = (! +хз)(ха+ хз) + (хз+2)х41+ (хз+ 2)и.
Из последнего соотношения на основе преобразования и = — [ — (1+ хз)(х1 + ха) — (хз+ 2)х, + о] хз+2 получим Как в предыдущем примере, воспользуемся методом обратной задачи динамики. Задав желаемый закон изменения ошибки е = у — у„ в виде е+ Й1е+ Йзе = О, (8.7) находим о = уи — Й1е — Йзе = у„ — Й1[хз + (хз + 2)хз] — Йзх1 + Й1у + Йзу . б.З. Линеаризациа обратной связью па выходу 151 Подставив это выражение в преобразование для управления, получим 1 — — (1 + * )(хз + х ) + (х + 2)х4+ ха+2 + й~[хз + (хз + 2)хз~ + йтх~ — у — й~у — йту ~.
При таком управлении ошибка слежения описывается уравнением (6.7). В силу устойчивости этого уравнения ошибка е(г) — + 0 при Ф вЂ” со. Однако пока нельзя делать вывод о том, что полученный алгоритм управления решает поставленную задачу. Это связано со следующим обстоятельством. Порядок синтезированной системы совпадает с порядком исходной системы и равен трем, так как найденный алгоритм управления не вносит дополнительный порядок. В то же время уравнение ошибки (6.7) имеет второй порядок, и оно описывает часть динамики. Для получения полного описания синтезированной системы необходимо к уравнению (6.7) добавить еще одно уравнение первого порядка, которое описывает так называемую внутреннюю (скрытую) динамику.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
