Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Полученный алгоритм управления применим, если внутренняя динамика устойчива. В противном случае координата, характеризующая внутреннюю динамику, и управление могут принимать недопустимо большие значения, что может сопровождаться перегревом двигателей или возникновением сильных вибраций механической части (30]. Относительный порядок. Основным методом получения прямой зависимости между выходом и входом (управлением) является повторное дифференцирование выхода, пока не получится явная зависимость выхода от входа, и последующее преобразование обратной связью. Число дифференцирования выхода, необходимое для получения явной зависимости между выходом и входом, называется относительной степенью или относительным порядком.
Для вполне управляемой системы относительная степень г не превышает порядка системы п: г < и. Пусть система описывается уравнениями х =1(х)+6(х)и, у = Ь(х), хб Н", и 6 В, у 6 г1, (6.8) где г"(х), к(х) и Й(х) — гладкие функции в некоторой области Й с Л". Проднфференцируем выход у по т: У = — х = — [т"(х) + 6(х)и] = Ь7й+ (Йзй)п. дй. дй Их с(х Если Ьзй = 0 для всех х 6 П, то дифференцируем выход еще раз: Гл. б. Линеаризаиия об атиса связью Если ЬеЬ/й = О, дифференцирование продолжаем, пока ЬеЬг/ 'а эа О.
Затем, применяя преобразование обратной связью 1 и = ( — Ь/~6+о), Г Уг-1~ У / (г) получим линейное уравнение у = о. Как отмечалось, число г дифференцирования выхода, необходимое для появления управления и, называется относительной степенью (или относительным порядком) системы. Поэтому для системы (6.8) это понятие можно определить следующим образом. Определение 6.8.
Одномерная система (6.8) имеет относительную степень г в области й, если для любых х е й ЬеЦЬ(х) = О, ! = О, 1, ..., г — 2, (6.9а) ЬеЬ" 'Ь(х) та О. (6.96) ~ Приведенное определение согласуется с интуитивным определением, связанным с числом дифференцирования, и с определением относительной степени (или относительного порядка) линейной системы как разности между степенями знаменателя и числителя ее передаточной функции. Внешняя и внутренняя динамика.
Если относительная степень г меньше порядка системы п (г < п), линеаризация обратной связью разбивает уравнение системы на уравнения внешней и внутренней динамики. При этом внешняя динамика имеет порядок г и характеризуется г независимыми переменными, а внутренняя динамика имеет порядок и — г и характеризуется п — г независимымй переменными. Обозначим вектор переменных внешней динамики в(~1 = (гм гз, ..., г,)г, а вектор переменных внутренней динамики в(т) = (г,.+и г„ьт, ..., г„)~. Рассмотрим, как можно выбрать эти векторы.
Согласно теореме 6.! для того чтобы переменные з; (! = 1,2, ... ...,и), связанные с исходным вектором состояния х соотношениями г; = ~р;(х) (( = 1, 2, ..., и), могли служить новыми переменными состояния нужно, чтобы градиенты Ч~р;(х) (1 = 1,2, ..., п) были линейно независимы, или якобиан был отличен от нуля: д<р~ д др1 ду~ дх~ дхт дх„ й1- дат ду>и д~р| дх~ дхт дх„ д~~в д~Оя дФя дх~ д*т дх б.д. Линеариэ я обратной связью яо выход 153 Если система (6.8) имеет относительную степень г < п, то она может быть преобразована к нормальной форме вида 21=аз, йтг вз, ..., э„1=э,., з„=а(хр),з(~))+Ь(хд),х(т))и, (6.10а) й(з) =то(з(~), х(~)), уе к1. (6.!Об) Как легко убедиться, уравнения внешней динамики примут вид (6.10а), если в качестве переменных ее состояния принять выход и его произ(в-1) водные у,у, ..., у э1 = у = Ь(х) = Тг~Ь(х), эт = у = Ьгй(х), (в-1) э, = у = Ь| 'Ь(х).
Градиенты этих преобразований линейно независимы. Так как система из одного вектора д инвалютивна, то по теореме Фробениуса существуют и — 1 независимых функций Ль (Ь = 1,2, ... ..., п — 1), удовлетворяющих системе уравнений ТэЛь(х) =О, й = 1,2, ..., и — 1, Ух 6 й. (6.11) Напомним, что скалярные функции Ль (Ь = 1,2, ..., п — 1) независимы, если их градиенты линейно независимы. Так как функции х; = Т,у 1Ь(х) (1 = 1, 2, . „, г — 1) удовлетворяют этому уравнению (см. (6.9а)), и их градиенты линейно независимы, то они могут быть использованы как функции Лэ (1 = 1,2, ..., г — 1). Другие и — г функций, удовлетворяющих (6.11), примем за перемен- НЫЕ г +1, ..., Э„. После нахолсдения (и — т) решений уравнения (6.11), для того чтобы использовать их в качестве переменных внутренней динамики, нужно убедиться, что их градиенты линейно независимы между собой и с градиентами остальных переменных, т.е.
выполняется неравен- УЕЛ Уд;Л ство аез ~ — ) = 1!еь ~ — ) ф 0 (1, Ь = 1, 2, ..., и). 1,ах) ),дхь) Если полученное реобразование представить в виде з = Ф(х), то оно, являясь диффеоморфизмом, преобразует систему (6.8) в нормальную форму вида (6.10) с а(зО), з( )) = ЦЬ(х) = Т~Ь[Ф '(х)], (6.12а) Ь(х(0 х(з))=Ы," 'Ь(х)=Ы," 'Ь[Ф '(з)]. (6.126) Ги б. Линеаризация об а1яной связью Пример 6.9. Система описывается уравнениями — хз 0 х= х1хз + ! ю, р=й(х)=хз. Х2 0 Произвести линеаризацию обратной связью по выходу. Р е ш е н и е. Так как р = хз = хз, у = хз = х1Х2 + и, то относительная степень т = 2. Позтому в качестве первых двух новых переменных примем выходную переменную и ее производную: 21 = р = хз, 22 = р = хз.
Третью переменную найдем из уравнения д д дЛ дх2 Этому уравнению, в частности, удовлетворяет функция Л = х1. Примем зту функцию в качестве третьей переменной: 23 = х1. Убедимся, что выбранные переменные являются независимыми: = -1 ф О. Итак, найденное преобразование имеет внд х = (хз хз Х1)т, а обратное преобразование — вид х = (23 22 21)~. В соответствии с формулой (6.12) имеем а(я) = ЬуЬ = Ьу(Ьуй) = Хухз = (О 1 0)У = х1хз = зззю ь( )=т ьт)з=ч д=(010)д=1. Так как 23 = х1 = -х1 — — -23, уравнение в новых переменных в нор- 2 2 мальной форме принимает вид (см. (6.10)) 21=22 22 м ЯЗЗ2+и 23= 23 дм Х1 ° 2 Используя преобразование обратной связью о = — гааз+ о, получим 21 = 22, 22 = о, 23 = — 33. 2 Задачи 6.10.
Показать, что преобразование линеаризации обратной связью по выходу управляемой системы х1 =хз, х2 =хзхз, хз =хз+хз+и, д х1 имеет анд 1 21 =х1, 22 =хз, гз =хзхз, и= — [ — хзхз — хз(хз+хз)+о|. Х2 б.З. Эадача 6.11. Показать, что преобразование линеаризации обратной связью по выходу управляемой системы Х! ХЗ* ХЗ ХЗ+ХЗ ХЗ = Х!Х2+и Щ = Х! 2 имеет вид 3! = х!, 22 = хт, ЗЗ = хз + хт, м = х!х2 — 2хз(хз + х2) + ю. 6.12. Показать, что преобразование линеаризации обратной связью по выходу управляемой системы Х! = ХЗ, ХЗ = Х!ХЗ, ХЗ = Х! + Х2 + И, Р = Х! 2 имеет вид 1 Е! = Х!, 22 = ХЗ, ЗЗ = Х!ХЗ, Ю = — ] — Х2ХЗ вЂ” Х!(Х! +ХЗ) +Э]. х! 6.13.
Показать, что преобразование линеаризации обратной связью по выходу управляемой системы Х! = ХЗ, Хз = Х!ХЗ, ХЗ = Х!Х2 + ХЗВ, Р = Х! имеет вид 2 1 з! = Хм 22 = хм зз = х!хз. и= — ( — 2х,хтхз — х!х2+о). з Х,ХЗ 6.14. Показать, что преобразование линеаризации обратной связью по выходу управляемой системы ХЗ = хз(х! + х2), хз = -х! — Хз+ о, Х! =ХЗ, имеет вид 2! = Х!, 22 = Х2, 23 = ХЗ(Х! +Х2), 1 и = — ](х! + ХЗ) — хтхз — хзз(х! + хз) + о]. Х! +ХЗ 6.16. Показать, что преобразование линеаризации обратной связью по выходу управляемой системы *'2 =хт(ха+1), 23 =ХЗ+н, ф=х! 2 Х! =ХЗ, имеет вид 23 = ХЗ(хз+ 1), и = [ злз ХЗ(х! 1 2 ХЗ 3! =Х!, 32 =Х2, Гл.
б. Пинеаризация обратной связью 6.16. Показать, что преобразование лннеаризацин обратной связью по выходу управляемой системы х! = х2, х2 = х!(хз + 1), хз = х! + и, р = х! 2 2 имеет вид гз = х,(хз + 1), и = — 2[-2х!хз(хз + 1) — х! + о~. 2 л хз г! =хи ге=хм 6,17. Показать, что преобразование линеаризацин обратной связью по выходу управляемой системы х! = хь хз = (х! + хз)хз, хз = -х! +и, р = х! 2 имеет вид г! ж Х!, 22 = Х2 гз = (х! +х2)хз 1 и= [ — хзхз — (х! + хз)хз + (х! + х2) х! + Х!+Хз 6.16.
Показать, что преобразование линеаризацнн обратной связью по выходу управляемой системы х! = хм хз = (х, +хг)хз, хз = — хз+и, р = х! 2 2 имеет вид г! — х! гз = Хз, гг = (Х! +Х2)ХЗ, 2 и = [ — 2х!хззз (х! + хз)хз+ (х! +хз)хз+ о1 Х! +Х2 6.19. Показать, что преобразование линеаризацнн обратной связью по выходу управляемой системы х! = хз, хз = (х! + хз)хз, хз = -х! — хз + и, р = х! 2 имеет вид г! = х!, 22 = хь гз = (х! +хз)хз 2 ,1 — [ — хзхз — 2х2(х! + х22)х + (х! + хз)(х! + Х2) + 91.
6.4. Нуль-динамика и синтез алгоритмов управлении Линеаризация обратной связью по выходу разбивает уравнения нелинейной системы на уравнения внешней и внутренней динамики. При этом внешняя динамика описывается дифференциальными уравнениями, содержащими управление о, линейно связанное с выходом. Поэтому легко синтезировать управление е так, чтобы р изменялся нужным образом. Однако синтезированный таким образом закон 6.4. И ль-динамика и синтез а иоритнов управления 157 управления представляет интерес, если внутренняя динамика будет устойчива и соответственно ее координаты ограничены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
