Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В этом случае, представив размерность пь к-й подсистемы в виде суммы 1 целых чисел пь! (! = 1,2, ...,1), для матрицы Ть преобразования Луенбергера х(ь! = Тьхйб получаем (см. (7.2)) Ть =(Вь()АьВ!'1" (Аь)нм Вь(~' " В~~!АьВ!',) ". (Аь)!"ы ~)В!',)1, где „— 1-й столбец матрицы Вь. После преобразования Луенбергера 0! каждой подсистемы, нужно произвести перегруппировку уравнений так, чтобы в каждую подсистему были включены только те уравнения, которые содержат компоненты локального управления соответствующей подсистемы.
!64 вл. 7. Системы большой азмерности. Векторная функиия .)7яа нова состоящая нз двух подсистем х(') = А ~ х(') + А1ах(~) + В1 м, х(~) = Аз| х(~) + Атх(т) + Вам, где х(') = (х1 хт)т, х(т) = (хз хе хз) н А|т = 102'О Ат = 2 -2 1 Требуется произвести децентрализацию. Ре ш е н н е. Произведем преобразование Луенбергера каждой подсистемы. Так как размерность первой подсистемы совпадает с размерностью вектора управления, то иы = пд = 1 н матрица Т~ преобразования Луенбергера хСО = Т(з(О для нее совпадает с матрицей Вы Т вЂ”  —, Т, Размерность второй подсистемы равна пт = 3. Положим ит| = 2 и отт = 1.
Тогда матрица Тт преобразования Луенбергера х(т) = Ттз(т) имеет внд Тт = '1Вт~ ) АтВт~ ) Вт( )], где Вт н Вт — первый н второй столбцы матрицы Вт. Так как О) (2) АтВт() = то Т '= —— Матрицы преобразованных уравнений зО) вв А~з(') + Амз(~) + В~п, з(т) = Аз~ з(1) + Азз(т) + Втм А, А, [ 1 О] о] в,= [ 12 -17 — 8 — 3 2 2 — б 10 1 7.1. Декомпозиция и де!4еие! изация имеют вид А =Т-!А Т = ! ! 1!1, А = Т 'А Т 112,5 32,25 131 ! ! ~ 4~' !2 ! !2 2 ~15 2,75 0 1 ' ] Аз = Тз А2Т2 = 0 5,78 — 3,44 1 0,56 0,89 6 — 0,22 — 2,5 в,=т в,= о 0 Аз! — — Тз АюТ2 -! В скалярной форме уравнения в новых переменных принимают вид й! =-22+1122+12522+32,3524+!Зев+и!, 22 = — 422 + 1,5зз+ 2,75а4+ 222+ мз. 2з = 2 ! — 0,7822 + 5,7824 — 3,4422 + и!, 24 = 0,4422 + аз + 0,5624+ 0,892ю зь = 0 2222 + бзз — 0,2224 — 2 бзь+ из. Разобьем полученную систему на две подсистемы Я! и Яз.
В подсисте- му о! включим уравнения, содержащие управление и!, а в подсистему Яз — все остальные уравнения. Тогда получим Я! . 'й! = — з! +! 122+ 12,5зз+ 32,3524+ 1322+ и!, зз = з! — 0,7822+ 5,7824 — 3,44зь + и!, Яз: 82 = — 422+ 1,522+ 2,7524+ 2зь+из, 24 =04422+22+05624+0,89зь' зь = 0,22зт + бзз — 0,2224 — 2,56зь + из. Для упорядочения переменных произведем еще одно преобразование: з! з! 22 23 зз з2 24 24 зь = зь. Я! . 2! = — У! + 12 522 + 1! 22 + 32 3524 + !Зать + 44!, 22 = з! — 0,78ЗЗ + 5,7824 — 3,4422 + и!, Яз: Уз = 1,522 — 422+2,75з4+ 2зь+из, з4 = 72+ 0,4422 + О,ббзь+ 0 89зь' зь = 672 + 0,22зз — 0,2274 — 2,562ь + из.
1 — 0,78 0 0,44 0 0,22 Тогда уравнения подсистем примут внд '1 !бб Га. 7. Системы большой размерности. Векторная функция Ляпунова Задачи Х1 = Х2+ и! + ИЗ. а) хг =хз+ию ХЗ = Х1 + Хг + и1! < х! = хг + хз + им В) Х2 = ХЗ+и1, ХЗ = Х2+ ХЗ+ иг~ < х! =хз+ию д) хг =хг+хз+и! хз = х1+ хз+ и!+ ИЗ Х1 = Х2 + И1 + И2, Ж) Х2 = Х2+ХЗ+И2, хз = хз + и1; Х! =Х2+ХЗ+и!, и) хг =хз+и1, хз =хз+иг; 7.2. Произвести преобразование, содержит по одной управляющей коо х! = хг + и! + Иг, а) х2 =хз+иг+из, хз = х1+ х2+ И!1 ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~! х! = хг + хз + и! в) хг = ха+и!+из, хз = х2+ хз + И2+ ИЗ; Х1 = ХЗ+И2, д) хг =хг+хз+и1+из, хз = х! +х3+ и! +Из; х! = хг + и1, ж) хг = хг + хз + иг + из, хз =хз+из; х1 = х2 + хз + и1, и) х2=х2+и1+из, хз хз+ из+из х! = хг+из, б) х2 = х2+хз+и1+ И2.
ХЗ = Хз+И21 < Х1 = Х2+хз+ и! ° г) х2 =хз+И2, хз = хз + и! + И2!' ~~ ~~ ~ ~ ~ ~ !~ Х! = Х2+иг, е) Х2 = ХЗ+и! хз = х! + хг + и! + Иг!' ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ !~ Х! =2Х2+ХЗ+ И1. з) хг = Зхз+И1, хз = х2+ хз + И21 х! =Хз+И1+из, к) х2=х2+хз+И2, хз = х! + Хз + И1. при котором каждое уравнение рдинате. Х1 = Х2 + И2 + ИЗ, б) хг=хг+хз+И!+из, ХЗ = хз+И2 х! = хг+хз+иы г) хг =хг+иг+из, ХЗ = хз+из Х! = Х2+И2, е) хг =хз+и1+из, хз = х1+х2+И1+ И21 х1 = х2+хз+ и2+из, 3) Х2 = ХЗ+И1 +И2, хз = х2+хз + И2; Х1 = хз + и!+ и2, к) х2=х2+хз+И2+из, хз = х! + хз + и1. 7.1. Определить матрицу Т преобразования Луенбергера, при котором 1-е и 3-е уравнения преобразованной системы содержат управляющие координаты, для следующих систем.
7.2. Веке!о ные функции Лялуноеа. 'естояннеость системы 167 7.3. Произвести декомпозицию на две децентрализованные подсистемы 2-го порядка следующих систем. х! = х2+ и2, а) Х2 = Хз+и! ХЗ = Х4, х4 = и!+ и21 х! = хз + иь хз =ха+и!, б) ХЗ =Х4 х4 = — хз — хе+ и!+ из; Х! = Хз, в) хз = хз + и! + иь хз = х4+им х! = хз+из, г) хз = хз + и! + из, хз = хе+и!, х4 = -х1-хе+и!+из; х4 = х2 хз+и2 х! = Х2+ и!+ из, х! =ха+из, х2 = хз+и1, х2 = хз+и2, хз = хе+ и! + и2, е) д) х4 = — х2 — хз — х4 + и1; ж) к) и) 7.2. Векторные функции Липунова.
Устойчивость агрегированной системы После анализа и синтеза подсистем ил объединяют в одну систему с учетом отброшенных взаимосвязей. При этом возникает задача исследования устойчивости объединенной системы. Прн решении этой задачи используется метод векторной функции Ляпунова. Согласно этому методу на основе векторной функции Ляпунова, которая формируется из функций Ляпунова подсистем, строится система сравнения, с помощью которой исследуется устойчивость агрегированной (объединенной) системы. Эксионенциальная устойчивость.
Теорема Красовского. Пусть система описывается уравнением х=Х(х,т), Х(0,2) =О И ~) Зо, хЕ Л". (7.3) Х1 = Х2+ ХЗ + 142 х2 = хз+ и1, Хз = Ха +Х4 х4 = — хе+и!+из, х! = 2хз+из, Х2 Хз + Х4 + и! + и2 хз = х4 + и1, 21 = — 2хз — хз + и! + из, ХЗ =Хе, Х4 = — 2х! — х4+ и! + и21 х! = 2хь Х2 = хз + и! + 142, хз =хе+и!, Х4 = — Зх! — хз+из, х! = 2хз + хе+ и! + из, хз =хз+иь хз = Зхз+х4+и! +им х4 = — хз+ хе+ и!. 163 Гл. 7.
Системы большой размерноспш. Векторная функция Ляпунова Правая часть является гладкой функцией: она непрерывно дифферен- цируема в области !х! < р, 0 < 1 < оо (р = сопаг или р = оо). дХ; Частные производные — * удовлетворяют условию дх,. ! дХ;1 — '1 < Х, 1,.1 = 1, 2, ..., и (Ь = сопзс). дк,1 Решение уравнения (7.3) при начальном условии х(го) = хо, как обычно, будем обозначать х(хо,г): х(хо, гв) = х ). Определение 7.1.
Положение равновесия, или невозмущенное движение х(Ф) = О системы (7.3) называется экспоненциально устойчивым, если существуют положительные постоянные а и М такие, что при 1хо~ < р)М возмущенное движение х(хв,т) удовяетворяет условию ~х(хо,г)~ ~ М~хо/е "1' "1 уг > 4о. Если это условие выполняется при любых начальных условиях, то положение равновесия системы называется глобально экспоненциально устойчивым или экспоненциально устойчивым в целом.
Линейная стационарная система, если она устойчива, то она экспоненциально устойчива в целом. Теорема 7.1. (Н.Н. Красовский (13)). Если положение равновесия системы (7.3) экспоненциально устойчиво, то существует функция Ляпунова Ь'(х,г) и положительные постоянные сс (1 = 1,2,3,4) такие, что выполняются неравенства с~~х~ < У(х,Ф) < сз1х~, У(х,й) = зу(х,й) ~ ~сз~х( дУ(х, т)1 1 < слоях~. В случае экспоненциально устойчивой линейной стационарной или нестационарной системы существует квадратичная форма р"(х) = = к~ Вх или У(х,8) = к~В(г)х, удовлетворяющая условию теоремы Красовского.
В случае экспоненциально устойчивой нелинейной системы соответствующая функция Ляпунова может быть не квадратичной. Теорема 7.2. Если положительно определенная квадратичная форма Ъ'(х) = хт Вх является функцией Ляпунова системы (7.3), и производная от нее по времени в силу уравнения (7.3) принимает 7.г. Ввкто ныв функции Лллунова. Устойчивость системы 169 вид У(х) = чо(х) = — хтСх, то в качестве констант с; (1 = 1, 2, 3, 4) можно принять с! = Лч„, сз = Л$, сз = Л,„и сч = 2Лзг, с и гдв Лн и Лф — минимальное и максимальное собставенныв значения матрицы В и Лс — минимальное собственное аначвние матрицы С.
Норма матрицы. Пусть А — произвольная прямоугольная (т х х и)-матрица и задано преобразование у=Ах, хеВ", уЕВт. В пространствах В" и В определены нормы 1(х)! и !)у)! соответственно. Норма матрицы А определяется следующим образом [7): !!А!! = зпр !! А 1! в ьз Здесь !!Ах)! — норма вектора Ах в пространстве В Норма матрицы А определяется как самой матрицей А, так и теми векторными нормами, которые введены в пространствах В" и В При изменении норм в этих пространствах изменяется норма матрицы.
Если в пространствах В" и В™ введены эвклидовы нормы: !!х)! = !х! = з/хтх =, 2,' х~, !!у(! = )У) = ~/уту =, 2 ут, то норму у' ь=! )! ь=! матрицы А будем назйвать эвклидовой и обозначать также 1А1 Из определения нормы следует неравенство (!Ах!! < )!А(! )!х!!. Для (пз х и)-матриц А и В при одном и том же определении векторных норм справедливо неравенство )!А+В)! < !!А!(+ )!В!!. Пусть Л вЂ” число. Справедливо равенство !)ЛА!! = !Л~ (!А!!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
