Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Задачи оптимального управления неклассического типа могут иметь ограничения вида Введением дополнительных переменных эти ограничения могут быть заменены соотношениями х„+, = У„+,(х,п,1); хп+,(го) =О, хп+,(гг) ( С„з = 1,2, ..., р. Как не трудно заметить, при преобразовании изопериметрических ограничений вводимые дополнительные переменные представляют собой фазовые координаты, а при преобразовании неизопериметрических ограничений вводимые переменные играют роль дополнительных координат векторного управления. 2.
По виду краевых условий различают задачи: а) с фиксированными (закрепленными) концами, когда каждое из множеств Хо и Хг состоит из одной точки (все фазовые коорди; наты в начальный и конечный моменты заданы, т.е. фиксированы); б) с подвижным правым концом (Хг состоит более чем из одной точки), с подвижным левым концом (Хо состоит более чем из одной точки), с подвижными концами (оба конца подвижны); 3. По времени начала и окончания процесса различают задачи; а) с фиксированным временем, когда начальный Го и конечный $г моменты фиксированы; б) с нефиксированным временем, когда хотя бы один из моментов времени 1о или 1г не фиксирован. 4.
По критерию оптимальности различают: а) задачу Больца: критерий оптимальности имеет вид ьг ,У = до|х(Го),х(1Г),Го,гГ)+ Уо(х ц,г)й; б) задача Лагранжа: критерий оптимальности имеет вид Уо(х, и, 1)й; 8.д Задачи 193 в) задача Майера: критерий оптимальности имеет вид Задача Майера в частном случае, когда функционал имеет вид ,7 = де[х($~),1«), т.е. зависит только от конечного состояния и, быть может, от конечного момента времени, называется задачей гверминального управления; когда имеет вид,У = (су — Ц) — задачей максимального бысл»родейсв»вил. Задачи Больца, Лагранжа и Майера эквивалентны в том смысле, что путем преобразования переменных каждую из задач можно преобразовать в любую другую задачу.
В рассмотренных примерах задача 1 является задачей Майера, неклассического типа, закрепленными концами и нефиксированным временем; задача 2 в задачей Майера, классического типа, закрепленным левым и подвижным правым концом и нефиксированным временем; задача 3 — задачей Лагранжа, классического типа, закрепленными концами и фиксированным временем. Задачи 8.1. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу вывода летательного аппарата (ЛА) из начала координат на заданную высоту Ь за минимальное время при ограничении на управление (из + из) ( и~„.
8.2. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу вывода летательного аппарата (ЛА) на заданную высоту Й за минимальное время при ограничении на управление (из1 + итт) < из и условии, что запуск ЛА производится из другого ЛА, летящего в вертикальной плоскости (~,П) на высоте Ьо по направлению оси ~ со скоростью о. В момент запуска х~ = хе. 8.3. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности~ задачу вывода ЛА из начала координат в заданную точку (х~,х ) «геометрического» пространства (~,»1) при минимальном расходе топлива и ограничении на управление (из + изз) < и~ . 8А. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу вывода ЛА в заданную точку (х~,ха) «геометрического» пространства (~,г)) при минимальном расходе топлвва и ограничении на управление (из1+ итт) < и~ и при условии, что запуск ЛА производится из другого ЛА, летящего в вертикальной плоскости (~, и) под углом е/2 к направлению оси ~ со скоростью е, в точке (хо, х ).
8.6, Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу вывода ЛА из начала координат на максимальную высоту при ограничении на управление (и~~ + и~~) ( и~, и заданной реактииной массе. Гл. 8. Методы теории оптимального управления 8.6. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу вывода ЛА на максимальную высоту при заданном реактивной массе и условии, что запуск ЛА производится из другого ЛА, летящего в вертикальной плоскости (~, г1) под углом я/2 к направлению оси ~ со скоростью о, в точке (хы хз). 8.7. Сформулировать (записать краевйе условия и критерий оптимальности) задачу перевода ЛА на максимальную дальность при заданной реактивной массе и условии, что запуск ЛА производится из другого ЛА, летящего в вертикальной плоскости (~,гг) под углом я/4 к направлению оси ь со скоростью о, в точке (хоп хз).
8.8. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу перевода ЛА на максимальную дальность при заданной реактивной массе и условии, что запуск ЛА производится из другого ЛА, летящего в вертикальной плоскости (~,ц) по направлению ОСИ ~ СО СКОРОСТЬЮ Ю, В тоЧКЕ (ХО,ХОз). 8.9. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу перевода летательного аппарата (ЛА) на заданную дальность И за минимальное время при ограничении на управление (и1 + из~) < м~ и условии, что запуск ЛА производится из другого ЛА, летящего в вертикальной плоскости ((',9) на высоте Й по направлению оси (' со скоростью о. В момент запуска х1 = хо.
8.10. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу перевода летательного аппарата (ЛА) на заданную дальность а за минимальное время при ограничении на управление (мз, + паз) < мз и условии, что запуск ЛА производится из другого ЛА, летящего в вертикальной плоскости (~,ц) на высоте А под углом к/4 направлению оси ~ со скоростью о в точке (хо,хо). 8.11. Записать ограничения, краевые условия и критерий оптимальности в задаче поворота вала двигателя на заданный угол а без остановки за время Т при минимальном расходе энергии.
8.12. Записать ограничения, краевые условия и критерий оптимальности в задаче поворота вала двигателя на заданный угол гг с последующей остановкой за время Т при минимальном расходе энергии. 8.13. Записать ограничения, краевые условия и критерий оптимальности в задаче поворота вала двигателя на заданный угол гг с последующей остановкой за минимальное время при максимальном токе з„= в 8.14.
Записать ограничения, краевые условия и критерий оптимальности в задаче поворота вала двигателя на заданный угол а без остановки за минимальное время при максимальном токе з„ = м 8.16. Записать ограничения, краевые условия и критерий оптимальности в задаче поворота вала двигателя на максимальный угол без остановки за время Т при максимальном токе з„ = и 8.16. Записать ограничения, краевые условия и критерий оптимальности в задаче поворота вала двигателя на максимальный угол с последующей остановкой за время Т прн максимальном токе з„= и а2.
г4етод мнохитглгй Лагранзга 8.2. Метод множителей Лагранжа (методы классического вариационного исчисления) Правило множителей Лагранжа для задач оптимального управлемия с закрепленными концамн и фиксированным временем. Если концы закреплены и время фиксировано, то задачу оптимального управления классического типа можно сформулировать как следующую задачу Лагранжа классического варнационного исчисления: х; =Ях,п$), 1= 1,2, ..., гц 1гь(х,п,з) =О, 1=1,2, ...,1; хг(зо) =хо, х,(12) =х], 1=1,2, ..., ен гг ,У = Ях, и, 1)аз — + ппп. (8.4а) (8.4б) (8.4в) (8.4г) называется функцией Гамильтона или гамильтонианом, ф; (1 = =- О, 1,2, ..., п) и Ль (й = 1,2, ..., 1) — множители Лагранжа.
Предполагается, что функции Ях,п,з) (1 = 0,1, ..., и) и 1гь(х,п,з) (й = 1,2, 1) являются непрерывными и дифференцируемыми по всем своим аргументам, управление п($) принадлежит классу кусочно- непрерывных функций, а траектории х(1) — классу кусочно-гладких функций. Функция п(1) называется кусочно-непрерывной на интервале [1о, 1у], если она (т.е. каждая его координата) непрерывна всюду на интервале [1о, $у], за исключением конечного числа точек, где она имеет разрыв первого рода (существуют конечные пределы слева и справа).
Функция х(1) называется кусочно-гладкой на интервале [1о, зу], если на [го, зу] она сама непрерывна, а ее производная кусочно- непрерывна. Управление п(1) из класса кусочно-непрерывных функций называют допустимым улравлением, а траекторию х(1) из класса кусочно-гладких функций — допустимой траекторией. Пару (п(1), х(1)) называют допустимой, если допустимыми являются п(1) и х(1). В каждой конкретной задаче на допустимые управления и траектории могут быть наложены дополнительные ограничения. Поэтому при рассмотрении определенного класса задач эти понятия могут уточняться. Функция »"л.
8. Методы теории олтимал»ного аеления Уравнения дН ф«= — —, 1=1,2,...,л; (8.5а) дх, — =О, з=1,2,...,г дН (8.56) ди» называются уравнением Эйлера-Лагранжа. Уравнения (8.5б) представляют собой условие экстремума гамильтониана при каждом фиксированном $ е [Го, 11[, и их называют условием стационарности. Правило множителей Лагранжа закрепленными к о н ц а м и и ф и к с и р о в а н н ы м в р е м е н е м.
Если долустимая лара (п($),х(1)) является решением задачи оптимального управления (8.4), то найдутся такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа, что эта лара удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа (8.5). В соответствии с этим правилом, чтобы найти оптимальное управление и оптимальную траекторию, надо решить совместно уравнения (8.4а), (8.4б) и (8.5) при краевых условиях (8.4в). Если оптимальное управление и(Ф) имеет разрыв первого рода в каких-либо точках, то оно само и соответствующая ему траектория х(1) должны удовлетворять указанным выше уравнениям лишь в точках непрерывности управления. В точках разрыва управления, которые называются угловыми, должны выполняться условия где индексы «-» и «+» обозначают левый и правый пределы соответствующих функций. Эти условия называются условиями Вейерштрасса-Эрдмана.
Множители Лагранжа определяются с точностью до постоянного множителя. Действительно, они входят в уравнения Эйлера-Лагранжа линейно и однородно, и этн уравнения не изменятся, если все множители умножить на одно н то же постоянное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
