Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Эти ограничения определяют допустимые множества значений, которые могут принимать эти вектора. Поэтому указанные ограничения в общем виде могут быть записаны в виде ц(1) с (Гс, х(с) с Хс. Здесь с»с, Х, — некоторые заданные множества, зависящие, вообще говоря, от времени, причем Пс С Л" н Х» С Л", т.
е. сс, — подмножество г-мерного пространства, Хс — подмножество и-мерного пространства. 8. Д Постановка и классификация задач оптимального у веления 187 Первое соотношение называется ограничением на управление, второе соотношение — ограничением на фазовый вектор или фазовым ограничением. Выше ограничения на управление и фазовый вектор представлены отдельно, т.е. онн разделены. Однако они могут быть н не разделены. Поэтому в общем случае эти ограничения записываются в виде (п(1),х(1)) Е К,, 7; С Я"+", Краевые (граничные) условия — ограничения на фазовый вектор в начальный го и конечный 1г моменты времени — также могут быть представлены в виде включения х(го) е Хе, х(су) Е Ху, т" = Р+Ч где т = ту +тр(1) — масса ЛА; тр(1)— чреактивнаяь масса; о = (4 г))т — скорость ЛА; р = (р~ рт) — реактивная сила; Рис.
8.1 когда эти ограничения разделены, и в виде (х(1е),х(1у)) Е Ъ~, если они не разделены. Вектор х(Го) называют левым, а вектор х(1г)— правым концом траектории. Критерий оптимальности, который является числовым показателем качества системы, задается в виде функционала ,У =,7(х(со), х(су); п(1), х(Ф)]. Задача оптимального управления формулируется следующим образом:при заданных уравнении объекта, ограничениях на управление и фазовый вектор, краевых условиях и критерии оптимальности определить такие программное управление п*(1) (или управление с обратной связью п*(х(1),1)) и фазовую траекторию х'(1).
при которых критерий оптимальности принимает минималыюе (или максимальное) значение. Для определенности примем, что функционал г минимизируется. Задачу максимизации введением нового критерия г„= — г всегда можно свести к задаче минимизации. Управления и'(1) и и'(х(1), 1) называются оптимальными управлениями, траектория х*(1) — оптимальной травквюрией. Рассмотрим примеры постановки задач оптимального управления.
1. Задачи оптимального управления летательным аппаратом (ЛА). Запишем упрощенное уравнение движения ЛА в вертикальной плоскости следующим образом (см. Рис. 8.1): 188 г"е. В. Методы теории оятииаеьного улраеееиия 41 = (о~ дт)т — равнодействующая всех остальных сил (силы тяжести, силы сопротивления воздуха и др.).
Реактивная сила имеет вид Р = тте, 1'те~ = сопвс, где тт = = (пп глт)т — относительная скорость отделяющихся частиц, 14и~ = шт+ шт, ~т~ = ~т„~ — секундный расход реактивной массы. проекциях на горизонтальную С и вертикальную 41 оси неподвижной системы координат уравнение ЛА принимает вид тС=Р4+чз' т6=Р2+чт. Введя обозначения х! = 6 хз = 41, хз = 4, х4 = г), п~ = р1/т, ит = рт/тп, (8.1) в=в/ . %=а/ ь.
последние уравнения можно записать в нормальной форме х4 ™2+ Чт Х4 =Ха Х2 =Х4, ХЗ =П1+Я4, или в векторном виде х = Ах+ Вп+ 4. (8.2а) Здесь 0 0 А= хз Х4 (8.26) ч1 Ф! Отношение реактивной силы к массе ЛА принимается за управление. Траектория ЛА не должна пересекать земную поверхность. Поэтому должно выполнятся ограничение на фазовый вектор хт > О, которое на решение многих ниже рассматриваемых задач не влияет. Теперь рассмотрим различные постановки задачи, связанные с ЛА.
Пример 8.1. Сформулируйте задачу 1 вывода ЛА из заданной точки хо в заданную точку хг фазового пространства за минимальное время при условии 1р'1 ( р Решение. Уравнения объекта имеют вид (8.2), ограничение на управление— ~ц~ ~ ~пт'пт = рт/т, краевые условия— х(со) = хо, х(11) = х1 н критерий оптимальности 0010 0001 0000 0000 0 0 0 0 1 0 ' 0 1 8.
Л Лостаноека а класса акация задаю оптнаальнозо ноя 189 где го — начальный момент (будем его считать фиксированным, т. е. за- данным); 12 — конечный момент — момент достижения ЛА точки хт, который заранее не известен, т.е. является не фиксированным. Требуется определить управление, при котором критерий оптималь- ности прмнимает минимальное значение.
Заметим: так как [и| = ~/из1+ из, ограничение на управление мож- но представить также в виде (й1 + ит) < из . Пример 8.2. Сформулировать задачу 2 перевода ЛА на макси- мальную дальность. Ре ш е н не. В данном случае важно учесть конечность реактивной массы, так как дальность полета зависит прежде всего от количества реактивной массы (топлива). В силу того, что |и[ = [р|/гп = ~|гп) [тч!)/гп, конечность топлива накладывает на управление следующее ограниче- ние: О (и|й = В1, В1 = )чт[1п(гпо/тпг). и Здесь гпо = гп(то) и гпу = гп(тг). Ограничение такого типа называется изопериметрическим. Конечный момент зу определяется из условия хз(1у) = О (высота равна нулю), дальность равна х1(Фу) — х1(Го).
Так как ~п[ = ~/й1+ит, то последнее ограничение можно заменить на более удобное О где С вЂ” положительная константа. Задача перевода ЛА на максимальную дальность формулируется следующим образом: при заданном уравнении объекта (8.2), фазовом ограничении хт > О, ограничении на управление— О (из1+ изт)аз = С, краевых условиях х(со) = хо, хз(1Г) =О и критерии оптимальности ,/ = — [х1(1У) — х ~ определить управление, при котором заданный критерий принимает минимальное значение.
Гл. 8. Методы теории онтииильноео управления Здесь фазовое ограничение для облегчения решения можно исключить. При этом задача будет иметь дополнительное нереализуемое решение, которое легко будет распознать. Сделаем ряд общих замечаний. Естественно, реактивная масса всегда ограничена, но тем не менее это ограничение не учитывалось при формулировке задачи 1. Принималось, что топлива достаточно для достижения поставленной в этой задаче цели. При формулировке задачи 2 принималось несущественным и не учитывалось ограничение на величину управления, хотя оно всегда имеет место. В то же время в задаче 1 его нельзя не учитывать, так как это привело к нереализуемому оптимальному управлению п*(т): при и„, — оо максимальное значение 1п'(т)~ стремилось бы к бесконечности, а критерий оптимальности,7 - О. Точно так же нельзя не учитывать ограничение на топливо при формулировке задачи 2, так как в противном случае, как это ясно из физических соображений, существует бесчисленное множество управлений, при которых 1 = †.
2. Задачи оптимального управления двигателем. Уравнение двигателя постоянного тока можно записать в виде Ц = („йвФ вЂ” М„ где 1 — момент инерции вращающейся части двигателя, у — угол поворота вала двигателя, 1, — ток в якорной цепи, йв — конструктивная постоянная, Ф вЂ” магнитный поток, М, — момент сопротивления. Ис-' пользуя обозначения й=йвФ~1, х~=1о, хз=<р, п=(я,' па=Мс/1, приведенное выше уравнение двигателя можно записать в нормальной форме х~ =хт, ха=оп — ис или в векторном виде х = Ах+ Ви+с(, (8.3а) где х= ', А=, В=, д= . (8.3б) Здесь для получения простой модели объекта за управление принима- ется ток в якорной цепи.
Пример 8.3. Сформулировать задачу 3 поворота вала двигателя на заданный угол с последующей остановкой за время Т при минимальном расходе энергии. Решение. Энергия пропорциональна интегралу от квадрата управления (силы тока). Так как постоянный множитель перед функ- 8.1. Постаноека и классификация задач октимального унраеления !91 ционалом не влияет на решение вариационной задачи, за критерий оптимальности примем интеграл ег ,У = мааг, м где го, 11 — фиксированы и 11 — 1о = Т.
Ограничение на управление не накладывается: оно косвенно учитывается выбранным критерием оптимальности. Задачу 3 можно сформулировать следующим образом: при уравнении объекта (8.3), краевых условиях х(Го) = хо, х(11) = х1 определить управление, при котором приведенный выше критерий оптимальности принимает минимальное значение. Классификация задач оптимального управления. Задачи оптимального управления классифицируют по виду ограничений на управление и фазовые координаты, по краевым условиям и критерию оптимальности. !. По виду ограничения задачи оптимального управления различают: а) классического типа, когда ограничения задаются в виде равенств уь(х, ц,г) = О, к = 1,2, ..., пз; б) неклассического типа, когда среди ограничений имеются ограничения в виде неравенств ась(х, ц,г) < О, й = 1,2, ..., т.
К классическому типу относятся также задачи с ограничениями вида гг 1„+1(х, ц,1)й =11, 1 = 1,2, ..., 1. м Такие ограничения называют изолериметрическими ограничениями, а вариационные задачи с такими ограничениями — изолериметрическими задачами. Введением дополнительных переменных от изопериметрических ограничений всегда можно избавиться. Достаточно вместо изопериметрических ограничений в условие задачи ввести следующие уравнения и краевые условия: 2„.„1 = 1„+ (х,ц,г); х„+1(го) =О, хе~а(11) =Ь1, 1=1,2, ..., 1. Формально задачи неклассического типа введением дополнительных переменных можно преобразовать к задачам классического типа. Дей- 192 Гл. В. Методы теории оптимального управления ствительно, приведенные выше ограничения в виде неравенства можно заменить ограничениями вида 1аь(х, п,г) + и~~+а —— О, й = 1, 2, ..., тп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
