Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Если определены нормы (гп х 1)-матрицы А, (1 х н)-матрицы В и их произведения АВ, то справедливо соотношение !!АВ!! < !)А(! )!В!1. Утверждение 7.1. Эвклидова норма матрицы А равна квадратному корню из максимального собственного значения Лзг произведения матриц .4тА. !А! = !7'Лм.
170 Тл. 7. Системы большой розмв ности. Векторная ф нкция Ляп нова Устойчивость агрегированной системы. Рассмотрим систему, которая после декомпозиции описывается уравнениями Пусть каждая из этих подсистем обладает функцией Ляпунова 1»(х®, 1), которая удовлетворяет следующим соотношениям: сы ~х( 1~ < 1»(х( 1,1) < с»т ~х( 1/ $5»(х1~1,1) < — с»з ~х(~1~ ! д)7»(х®,С) ~ ! 1»1~ дх1»1 (7.6а) (7.66) (7.6в) В (7.66) К,(х®,1) являются производными по времени в силу уравнений (7.5).
Так как эти производные отрицательно определены, подсистемы Я» (й = 1,2, ..., г) асимптотически устойчивы. Кроме того, в силу условия (7.6а) функция в»(х!»1,1) имеет бесконечно большой нижний предел. Поэтому подсистемы Я» (й = 1, 2, ..., г) асимптотически устойчивы в целом. Теорема 7.3. (Ва1!еу Е. Х.). Пусть подсистемы (7.5) обладают функциями Ляпунова У»(х®,1), удовлетворяющими соотношениям (7.6), и элементы матрицы Р = (д»!) (й, ! = 1,2, ..., г), составленные из констант с»и входящих в соотношения (7.6), и звклидовых норм матриц взаимосвязи Ны из (7.4), имеют вид с»з 2с»з ' (сы)т ~ (Н»1( 1=! уф» (7.7) 2с»зсц Тогда, если положение равновесия в = 0 системы й=Рх, хбН" х® = Х»(х!»1, 1) + ~ ~' Н»вхО) 1= ! (7.4) уф» (Х"(0,1) = 0 У1 > то), Й = 1 2.
-" ° г, где Н» — числовая (и» х п,)-матрнца. Если пренебречь взаимосвязями, то получим г независимых подсистем Я, (й = 1,2, ..., г), которые описываются уравнениями х(~! = Х~(х(~1,1) (Х~(0,1) = 0 И ) то), й = 1,2, ..., г. (7.5) 7.2. Векторные функции Ляп нова. гстойчивость системы 171 асимптотически устойчиво, то полоясение равновесия х = = ((х01)т(хбй) °" (х1"1) ) = 0 агрегированной системы (7.4) асимптотически устойчиво.
Матрица 17 уравнения системы сравнения обладает специфическим свойством: все ее элементы, расположенные вне ее главной диагонали, являются неотрицательными. Такие матрицы называются М-матрицами. Критерий Севастьянова — Котелянского. Если (и х и)- матрица С = (с; .) является М-матрицей, т. е. с; . > 0 (1,2 = 1,2, ... ..., п 1 ф 2), то для того чтобы вещественные части всех ее собственнык значений были отрицательны, необходимо и достпаточно, чтобы выполнялось условие с1~ сш " сиь ь сз1 стз " сзь > О, й = 1, 2, ..., и.
ст сьз " сьь Если вещественнме части всех собственных значений квадратной матрицы отрицательны, то такая матрица называется устойчивой. Поэтому критерий Севастьянова-Котелянского является критерием устойчивости М-матриц. Последние неравенства называют условием Севастьянова-Котелянского [5) .
Необходимое условие устойчивости М-матрнц. Для того чтобы М-матрица С = (с; ) была устойчива, необходимо, чтобы все ее агементы главной диагонали были отрицательны: сн ( О, (1 = 1,2 ", п). П р и м е р 7.3. Исследовать устойчивость системы, состоящей из следующих двух подсистем: х~ = -Вх~' — 10яз' +0,2хз, 1 х) = — (4+ ип Й)х! — х2 йз 1 = — 2х1 1 — (2+ е ')хз1 1 + 0,2х1 1. Решение. В векторной форме приведенная система уравнений принимает следующий вид: .ц~ . х01 = А~х01+ Нщх121, яз: х00 = Атх1з1 + Нм х01. !72 7я. 7.
Систаиы большой рааие ности. Векторная функция Дяаунова Здесь *~о= ( !,). А ~ ~ ~о]. и =]о ь~]. ,ц ($") д <-(4+ю'в -в ] ]о о] Если пренебречь взаимосвязями, то получим У~: х~ц = А)хП>, Вз. х<т> = Азха>, Для подсистемы Я~ функцию Ляпунова будем искать в виде квадра- тичной формы К~ =(хц1)тВ~х~'>, В~ = ~ ~, а1 >О. Г1 б) (О а~~ Производная по времени функции $~~ в силу уравнения подсистемы 3~ имеет внд К = 2(х~б)тВ1х(В = 2(х®)*В1А1х~ц = -(ЫВ)гС~х~ц, где Преобразуем и выразим производную К1 с помощью симметричной матрицы: К = — (х~б)тС~хр> = — -(хП>)т(~"~+С, +Ср — ~э,)хб> = 2 = — -(х~ 1) (С1 + С~ )х~ ~ — — (х~ >) (С~ — С~ )х~ >.
Второе слагаемое в полученном выражении равно нулю, так как (хц>)'(С,-С',)хр1=((хц>) (Г,-Г',)хб>] =-( В>)т(С, -Г',)хб>. Поэтому имеем (хЫ ))тС,хб1 где 2(~1 ~~ ) бган 1бо1 1б 10о~ 1б+ бг ~ 2бц 7.7. Венею ные функции Ллл нова. естойчиеость системы !73 Для того чтобы производная К была отрицательно определенной, согласно критерию Сильвестра необходимо н достаточно, чтобы бес С! = ~ = 220а! — 100 — 25а! > О. 1б 10+ бсс! !О+ 5 20 Это неравенство будет выполнено, в частности, прн а~ = 1.
При этом имеем О ! ' С !5 20 г(ет(С~ — 1Л) 15 — Л 15 1 15 20-Л ~ ~ = Л вЂ” ЗбЛ + 95 = О. Корнями этого уравнения являются Л~ = 2,9 и Лт = 33,1. Следовательно, миннмальное н максимальное собственные значения матрицы С~ равны Л~' = Л~ = 2,9 н Лсм' — — Лт = 33,1. Таким образом имеем сы = 2Лм — — 2. в, сы =Лв, 1, сы=Лм =1, с!з=Л~' =29 в, Для подсистемы Ят функцию Ляпунова будем искать в виде квадра- тичной формы Ъз =(х! !) Втх! 1, Вт =, ат >О. тт т 1101 ~0 4' Производная по времени функции йт в силу уравнения подсистемы Зт имеет внд !с = 2(х!т!) Втх1~! = 2(х1~!) ВаАтх! ! = =2( !т!)т ~! 0~ ~-(4+тп т) 1 ~ !2) '(О ат! '1 — 2 — (2+с ')! = — 2[(4+з!пт!)(х!т!)т+(2ат — 1)х! хт +(2+с )ат(хт ) ] Если положить ат = 1/2, то производная тт принимает внд 'тт = — 2 (4+гйпт!)(х1~ !)т+ -(2+с ')(хт! !) 2 Так как матрица В~ является диагональной, то ее собственные значения совпадают с днагональными элементами.
И, следовательно, ее минимальное н максимальное собственные значения равны еднннце: Лв' = Л ' = 1. в м— Найдем собственные значения матрицы Сь Ее характеристическое уравнение имеет внд 174 2л. 7. Системы большой размерности. Векторная нкция Ляяунова 2 (4+а1п22)(х1~2) + — (2+е ')(х2~1) >2 (х~11) +(х211) 1 то 2 2 02 < 2 ~ 121~ Поэтому имеем с21=ЛВ'=1/2, с22=Лф=1, с22=2, с24=2Лф=2. Чтобы определить элементы матрицы Р системы сравнения, необходимо найти нормы матриц взаимосвязи Н;,. Эвклидова норма матрицы Нь равна корню квадратному из максимального собственного значения произведения Й„. = (Н21)тН,зя Так как Й 2 (Н 2)тН12 Й21 (Н21)ТН21 О 021 0.2 01 0,2 01 0 0,21 Р.М 002 О~ Лй" = 0,04; М ~Н12~ =Лыа — — 0,04, (Н21) =Л~и =0,04. 2 Йа 2 Й22 По формуле (7.7) для элементов матрицы Р находим: с1з 29 411 = — — = — — ' = — 1,45, 2с12 2 сзз 2 2122 = — — = — — = — 1, 2с22 2 2112 = )Н12! = — 0,04 ск 0,055, (сы)2 2 4 2с1зс21 2 9 й„= — )Н21! -0,04 а 0,04, (с24) 2 4 2сззс11 4 ' Матрица Р принимает следующий вид: — 1,45 0,055 Матрица Р является М-матрицей.
Проверим выполнение критерия устойчивости. Ь1 = ( — 1)( — 1,45) = 1,45 > О, Ь2 = ' ' ~ = 1,44 > О. -1,45 0,111 О,ОВ и она является отрицательно определенной. При этом матрица В2 Г! 01 принимает внд Вз = ~ ~, и ее минимальное и максимальное (о 1!г~' собственные значения равны Лф = 1/2 и Лщ — — 1. Так как 7.2. Векторные функции Дял нова. Устойчивость система 175 Критерий устойчивости выполняется. Следовательно, система сравне- ния н соответственно агрегированная система устойчивы. Устойчивость агрегированной системы с нелинейными взаимосвязями. Рассмотрим агрегированную систему, которая описывается уравнениями хйй =А»х1"1+ЬОО(х0> х(" 0 х1"40 х1"1) (7.8) х("1 Е В"', Й = 1,2, ..., г. Здесь Ь(»1(0, О, ", 0) =О, т.
е. начало координат х=((х01) (хрй) ". (х("1)т) = 0 является положением равновесия. В данном случае взаимосвязи между подсистемами описываются нелннейнымн функцнямн. Этн функции удовлетворяют соотношениям ~Ь(~1~ < ~~~ Ь»,~х1'1), й»1 > О, й = 1,2, ..., г. (79) 1=! еФ» дн»~х1»1~' < у (х00) < Лны»~х1»1)з, У»(х(~1) < — Л„," )х( 1), ! ~ ! ( ь" )*">) д/ х(»1 (7.11а) (7.116) (7.1 1 в) где л„,1, лф — минимальное н максимальное собственные значения матрицы Вы л,"„» — минимальное собственное значение матрицы С».
Теперь рассмотрим теорему, которая позволят определить, как строить систему сравнения для агрегированной системы (7.8) с нелннейнымн взаимосвязями, удовлетворяющими условию (7.9). Теорема 7А. Пусть квадратичная форма У»(хРО) = (хРО)тх хВ»х(»1 является функцией Лялунова для подсистемы (7.10) и эле- Если пренебречь взаимосвязями, то получим г независимых подсистем Яю которые описываются уравнениями х(~1 = А»х®, х(~1 е В"", й = 1, 2, "., г. (7.10) Пусть положение равновесия хРО = 0 подсистем Я» устойчиво. Тогда прн любой положительно определенной (л» х л»)-матрнце С» существует матрица Вю удовлетворяющая уравнению Ляпунова А»тВ» + В»А» = — С».
Квадратичная форма ЪЦхрй) = (хрй) В»хРВ является функцией Ляпунова для подсистемы Я». Она в соответствии с теоремами 7.1 н 7.2 удовлетворяет соотношениям 176 Тл. 7. Системы бслыиой азм ности. Веет ная ф нк Лянуноеа менты матрицы Р = (й „) имеют вид Лс, — й=(, 2ЛНь ' (Лиь)2 Е !)З„.[2 1=! )фа (7.! 2) Лс» Тогда, если нулевое решение системы з=Рз, зеЯ" П р и м е р 7.4.
Исследовать устойчивость системы, состоящей из следующих трех подсистем: | ~ ~ ~~ ~ 2 1[ | ~ | | ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | | 2 | 2 ! > 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ а > ~ ~ | 2 | 3 ~~ х(1" = -*',"+х("+0,05а1 х('), х( ) = — 2х( ) + 0,05(1 — соа 2х( ) ), - (2) (2) (2) (яа) ) хз = х) — 4х +0,1(е [Я~ — 1); хз( ) — — 5х( ) — бхз( ) + 0,05 тп 2х('). Решение. Запишем приведенные уравнения в векторной форме: Я~: х(') = А1х(') + Ь1(х(2), х(з)), Яз. х(2) = Азх(2) + Ьз(х('), х(з)) Вз: х(з) Азх(з) + Ьз (х('), хйй) Здесь 1 () 005 ашх, (2) — 2 0,1(е [Я~ ! — 1) Ь(2) 1 0,05(1 — соа2х1 ) ~ ((,>), А, [ (ь). А-[ (и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
