Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Пусть в = Ф(х) = (ус(х) 1ьт(х) ." 1сь(х)) гладкая функсуся, определенная в области П с В". Если якоби- йФ(х) (д<рс1 ан — = ~ — '~ является неособым, т.е. не обращается в нуль йх (дхь~ в точке хо е П, то фуюсция Ф(х) является диффеоморфизмом в некоторой окрестности 0(х ) этой точки (0(хо) С Й).
Пример 6.2. Определить, является ли векторная функция в= = Ф(х) = ! ' т диффеоморфизмом. хт Решение. Якобиан имеет вид = ~ ~, и он отличен йФ(х) 11 2хт1 йх !О 1~' от нуля при всех х 6 лст. Следовательно, данная функция является глобальным диффеоморфизмом. Определение 6.4. Множество линейно независимых векторных функций (7с(х),7т(х), ..., Ях)) называется инвалютивны.н, если скобки Ли любых двух функций Л(х) и Дх) из этого множества (не обязательно разных) равны линейной комбинации функций из этого множества, т.е. существуют функции а; ь(х) (й =!,2, ..., г)такие, что (Ях), Ях)) = ~ ~сц ь(х)уь(х).
ь=! Множество линейно независимых постоянных векторов всегда инвалютивно. Действительно, скобки Ли двух постоянных векторов являются нулевыми и они тривиально представляются комбинациями исходных векторов. Множество. состоящее из одного вектора, является инвалютивным, так как скобки Ли двух одинаковых функций равны нулю: (т(х), с(х)] = (%Т)т — (~7Е)Т = О. Определение 6.6. Множество г (г ( п) линейно независимых и-мерных векторных функций (7с (х), 7т(х)... 7„(х)) называется интегрируемым, если существует и — г независимых скалярных функций ас(х), ат(х), ..., а„„(х), удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений Час(х)71(х) = О, с = 1, 2, ..., и — г; !' = 1, 2, ..., г.
Скалярные функции а1(х),ат(х), ..., а„„(х) независимы в некоторой области Р (т. е, при х е Р), если векторы Час(х), (! = 1,2, ... ..., и — г) линейно независимы в этой области. Заметим, при г = и — 1 незввнсимость одного единственного вектора Час(х)означает неравенство этого вектора нулю: ~7ас(х) Ф О.
6.1. Задачи гзэ Теорема 6.2. (ГгоЬеп!цз [29]). Множество г (г < и) линейно независимых и-мерных векторных функйий (гз(х), гг(х)... У (х)) интегрируемо в том и только в том случае, если оно инвалютивно. При мер 6.3. Задана система дифференциальных уравнений да да 2хз — — — = О, д дх да да да — х1 — — 2хг — + хз — = О, дх~ дхг дхз где а = а(хи хю хз) — неизвестная функция. Требуется определить раз- решимость этой системы уравнений. Решение. Эту систему уравнений можно записать в виде йа йа — Т~ =О, — уз=О, ах ' ах где Г! = т1(х) = (2хз — ! О), !г = !г(х) = (-х1 -2хг хз) Чтобы ответить на вопрос, имеет ли данная система уравнений решение, согласно теоремы Фробениуса достаточно проверить инвалютивность множества (Еы Гг).
Скобки Ли двух функций этого множества имеют вид йуг ~Ж [Т,уг]= — Т,— — 1г= ах ах — 1 0 0 0 — 2 0 0 0 1 Как легко проверить, скобки Ли каждой пары функций из множе- ства (Тыйг) могут представлены как линейные комбинации функций этого множества следующим образом: [Гм Тг] = — 2Г~ + О!г, [1г, Е~] = -«Гы гг] = 2Г~ — Оуг, % Т1] = ВУг] =ОГ~+ОГг. Таким образом, множество (11,уг) ннвалютивно, и следовательно по теореме Фробеннуса рассматриваемая система интегрируема.
Задачи 6.1. Определить производные Ли 2-го порядка функции а(х) = х~ + + хгг по следующим векторным функциям: а) Г(х) = '; б) Г(х) =; в) Т(х) = Гл. 6. Ли из о6 яоя связью г) Г(х) = '; д) Е(х) =; е) Г(х) = ж) Цх) = '; з) Е(х) = '; и) Е(х) = к) Цх) = 6.2. Определить скобки Ли следующих векторных функций: 6.3. Определить скобки Ли 2-го порядка векторных функций, приведенных в задании 6.2.
6.4. Показать, что множество из двух векторов (6(х), аИГ6(х)) ннвалютивно при следующих функцняк 6(х) и т(х): а) Г(х) = язв и 6(х) = О -4+ з яз О б) Г(х) = аз~-алз и 6(х) = О *3 1 хт О в) г(х) = -х~ + хт и 6(х) = ! з О г) Г(х) = хт и 6(х) = 1 а) Е(х) = ' и 6(х) = в) Е(х) = ' и 6(х) = д) Е(х) = и 6(х) = ж) т"(х) = ' и к(х) = и) Г(х) = ' и 6(х) = б) Г(х) = и н(х) = г) Г(х) = ' и 6(х) = е) Г(х) = *' и 6(х) = з) Е(х) = 1 ~ и 6(х) = к) Г(х) = ' и 6(х) = б.2.
Линеариэация й связью ло состоянию 141 -х~ +*зт о д) Е(х) = хт н и(х) = 1 х1 + хз 0 хт 1 е) Е(х) = — хз — хт и я(х) = 0 — х 2 0 хт 0 ж) Е(х) = хзхз и я(х) = 0 -Х1 -ХЗ ! хт 1 з) Е(х) = хз н я(х) = 0 1 хт+ хт 0 и)Е(х)= 4 и я(х)= О -х~ — хз 1 хз 0 к) Е(х) = хз+х~ н я(х) = 1 ха+ха 0 6.2. Линеаризация обратной связью по состоянию Функция и = Ф(х,о), где и, и — входы (управления), х — вектор состояния, называется преобразованием обри~иной связью, если она разрешима относительно о.
Переход от нелянейной системы к линейной путем преобразования, включающего преобразование обратной связью, называется линеаризацией обратной связью. Лннеаризация обратной связью (ЛОС) является не приближенным, а эквивалентным преобразованием: в результате ЛОС получается система, эквивалентная исходной системе. При ЛОС управление н заменяется новым управлением в. Функция преобразования, кроме нового управления, включает вектор состояния (в частном случае только выходную переменную). Поэтому при этом преобразовании объект охватывается обратной связью. Отсюда и название, которое получило это преобразование, — преобразование обратной связью.
Пример 6.4. Задан объект, который описывается уравнением х=ах~+и, х,пЕВ, а>О. Требуется определить закон управления, прн котором замкнутая снсте- ма была бы асимптотнчески устойчива в целом. 142 Гл. б. Лияеаризаиия обраяиоа связью Решение. Синтез замкнутой системы, основанный на обычной линеаризации, не обеспечивает асимптотическую устойчивость в целом. Действительно, на основе обычной линейной модели х = и получаем закон управления и = -йх (й > О), при котором линейная модель асимптотически устойчива в целом. Однако при таком законе управления исходная нелинейная система х = ах — Йх асимптотичез ски устойчива только на интервале 1Х~ < !/Й7а.
Воспользуемся линеаризацией обратной связью о = — ах +о. з Прн этом преобразовании уравнение объекта примет вид х = о. При таком уравнении единственным разумным линейным законом управления является о = — йх (й > О). Подставив это выражение для управления в уравнение преобразования, получим и = — ах — Йх. з Уравнение замкнутой системы имеет вид х = — йх. Замкнутая система асимптотически устойчива в целом. Рассмотрим еще один простой пример. П р и м е р 6.5. Задан объект, который описывается уравнениями Х! = Х2 + СХ,, Х2 = П.
з Требуется определить закон управления, при котором замкнутая система была асимптотически устойчива в целом. Р е ш е н и е. Воспользуемся преобразованием обратной связью 3! = х!, 22 = х2 + сх!, ю = — Зсх!(хз+ сх!) + о. З 2 З В новых переменных уравнения объекта примут внд 2! = 22, 22 = о. Приняв закон управления о= — я!г! — й222, й!,52 >0; для замкнутой системы получим 2! = з2 22 = й!з! й222. Замкнутая система асимптотически устойчива в целом. В исходных переменных уравнения замкнутой системы принимают вид Х! = Х2+СХ,, з *'2 = — Зсх,хт — 3!Дх, — Й!х! — азха — Йзсх,. 2 Д З 3 В примере 6.5 преобразование обратной связью включает, помимо преобразования управления, преобразование фазовых координат. Прн этом, если в примере 6.4 более нли менее понятно, как выбрано преобразование, то в примере 6.5 выбор преобразования не очень понятен. б.2.
Линеаризация обратной связью но состоянию 143 Кроме того, в общем случае возникает вопрос, существует ли преобразование обратной связью, обеспечивающее линеаризацию той нли иной системы. Таким образом, в теоретическом плане при рассмотрении линеаризации обратной связью возникают два основных вопроса: 1) для каких систем лннеаризация обратной связью возможна; 2) как найти соответствующее преобразование. Рассмотрим нелинейную систему х = 2(х) + 6(х)и, х Е 22", и Е 22, (6.2) где 2(х), 6(х) — гладкие векторные функции. Начало координат при нулевом управлении является положением равновесия: Г(0) = О.
Определение 6.6. Система (6.2) называется линеаризуемой обратной связью по состоянию, если существует диффеоморфизм х = Х(х) и преобразование обратной связью и = а(х) + р(х)э такие, нто уравнение (6.2) принимает вид й = Аи+Ъо, где 0 1 0 " 0 0 0 1 000" 1 000 "0 Данная линеаризованная система имеет специальный вид — форму управления Бруновского (Вгипоозйу сопггоИег )огт) (29). Однако зто не нарушает общности, так как любая вполне управляаиая линейная стационарная система может быть преобразована к такому виду. Составим для системы (6.2) матрицу У = [6 айу6 ". ай" 16].
(6.3) В случае линейной стационарной системы, когда 2(х) = Ах, к(х) = Ь где А и Ъ вЂ” постоянные (и х и)- и (и х 1)-матрицы, для скобок Ли имеем ай йг йАх 6=Ь, айг6= — à — — 6= — — Ь= — АЬ, ах ах йх й2 йАх вф~6 = ай1(айг6) = — — 6 = — — ай26 = А Ь, йх йх йн — 1 1 ( р-2 ) ( 1)н-2 йн-2 ( 1)л-1Ап-3Ь Гл. 6. Л я обратной связью 144 Матрица (6.3) принимает вид У = !Ь -АЪ АтЬ " (-1)" 'А" 'Ь]. Теорема 6.3. (Теорема о линеаризации обратной связью по состоянию).
Нелинейная система (6.2) линеаризуема обратной связью по состоянию в некоторой окрестности П начала координат в таи и только в том случае, если в этой окрестности ее матрица управляемости имеет ранг н, т.е. деФУ ф 0 всюду на П (в начале координат деФУ может обратиться в нуль) и мноясество (6, айги, ..., ад" тй), составленное из п — 1 столбцов матрицы управляемости У, инвалютивно. Правило линеаризации обратной связью (ЛОС) по состоянию можно сформулировать следуюшим образом:: 1) Для заданной системы определить матрицу управляемости У = = (6аИГ6 " ад" 6) и вычислить деФУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
