Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 18
Текст из файла (страница 18)
И. Лурье [15]. Он широко используется при рассмотрении задачи об абсолютной устойчивости, о которой речь пойдет в следующей главе. 4. Метод Красовского. Этот метод состоит в том, что при рассмотрении устойчивости автономной системы х=Х(х), Х(0) =О, хе В" в качестве кандидата на функцию Ляпунова рассматривают квадратичную форму Ь(х)=Х ВХ.
Симметрическую матрицу В нужно выбрать так, чтобы сама квадратичная форма была положительно определенной, а ее производная по времени в силу заданного уравнения системы — отрицательно определенной. В качестве примера рассмотрим систему х1 = ха, хэ = — Ьх~ — ~р(хэ), Ь ) О, у(0) = О. Матрицу В выберем диагональной: В =. ~ ~. Тогда кандидат (бп О] на функцию Ляпунова примет вид У(х) = быхэ+ бээ(-бх1 — ~р(хэ))'. Производная по времени в силу заданных уравнений имеет внд ду . У(х) = 26пхэйз + 2бщ(-Ьх~ — у(хэ)( — Ьх~ — — хэ) = дхэ ду = 2[бх~ + р(хэ)](бээб — Ьп)хэ — 26ээ — р[бх~ + <р(хэ)]э.
дхэ 4.2. Теоремы об устойчивости Положив Ьы = Ь и Ьтт = 1, получим 'г'(х) = Ьхт ~+ (Ьх1 + 1о(хт)~, У(х) = -2 — ~Ьх~+<р(хт)~ . д1о 2 дхт Как нетрудно убедится„У(х) является положительно определенной функцией и У(х) - оо при 1х! — оо. если др/дхт > О при хз тз О, то производная У(х) является отрицательно полуопределенной и обращается в нуль на многообразии о(х) = Ьх~ + <р(хз) = О, т.е. на множестве, определяемом указанным уравнением. Зго множество не содержит целых траекторий, так как йтвба(х)х(х)) 1 1 „— — ьхт т~ О вне начала координат на указанном многообразии.
Поэтому по теореме Варбашина-Красовского положение равновесия рассматриваемой системы будет асимптотическн устойчиво в целом. 5. Метод Вокера — Кларка (Юокег-К!агк). Пусть система описывается уравнением или в нормальной форме х~ =ха, хт = хз, х„= -Дхы хт, ..., х„). В качестве кандидата на функцию Ляпунова прн этом методе рассмат- ривается функция е хт У(к) = Дхихл, ..., х )бх ~ + — + Р(хихт, ..., х ), о где неизвестная функция Р(хи хт, ... „х„) выбирается так, чтобы производная У(х) в силу заданных уравнений системы была отрицательно полуопределенной. Исследуем этим методом систему О + У(у, у) = О, У(О, О) = О нли х1 =хт, хт = -У(хи хе).
Га 4 Мваод 4О ммилй Лям мова В соответствии с методом Венера-Кларка в качестве кандидата на функцию Ляпунова принимаем хя р'(х) = ахи хт)Их1 + — т + Р(хп хт). 2 о Производная от втой функции по времени в силу заданных уравнений имеет вид (1 дУ ) .. дР. дГ. У(х) = Дхпхт)х~ + ~ — <Ь~ хо+ хтхт+ — х1 + — хт = ~~ д*, дх~ дхт о ( дУ дР дР = -,у(хм ът) ~ — 4х~ + — хт — — ~(хп хз).
~ дхт дх~ дхз о Если положить Р(хм хо) = О, то получим У(х) = Дхпхт)(Ь~ + — ~, У(х) = — Дхп хт) — аахм 2* ' ~дхт о о Отсюда следует, что положение равновесия х = О асимптотически устойчиво в целом, если выполняется условие х~Дхпхз) > О, ~(хпхт) — Их~ > О прн х тОО. Г д7' 1 д*, о Задачи 4.4.
Исследуйте устойчивость нулевого решения следующих уравнений: а) у+Зр+2р+жпу=О; б) у'+Зу+5р+З(е" — 1) =О; в) 'у+Зр+р+5р+созу — 1 = О; г) у+Зу+2р+4у+е" — совр = О; д) 'у+2у+2у+4у+ят у-2 саву+2 = О; е) У+Зр+2р+впу — уз = О; ж) 'Р" +Зу+2р+7впу+Рз = О; з) У+ЗУ+2У+Фй У вЂ” Ут = О; и) 'у+Зу+2у+вшу = О; к) р+2у+2у+б агсашу+уз = О. 4.5. Определить и исследовать устойчивость положений равновесия следующих систем: а) = ' ' б) 1 Е х~ = — х~(2+х() — Зхю ~ х1 =2х1+хт, хт = 2х1 +хо хт — — х~(2+х',) — Зхт; < х~ = — х~(1+ха) — 5хз, ~х~ =2х~+2хз, в) . ' ' г)(.
хз = 2х~ + 2хз, (хз = — х~(1+ х,) — 5хз, х~ = — х~(3+хе~) — 4хз, ~х~ =Зх~+хз, д) . ' ' е) 4 . хз = Зх~ + 2хз, '(хз = — х~(3 + х~~) — 4хз. 4.6. Исследовать устойчивость положения равновесия (хыхз) = = (О, 0) следующих систем: х~ =ха-х,, з з а) ' б) У ' в) ~ . 3 (хю =хз+Зх,, )'х~ = 2хз — хы хз=-х~ — 2хз; (ха = -х~+хз', 1хз= -х! — Зхз', з з г) ' д) . ' е) х~=Зхз+2х,, Ях~=4хз-хзы ~х~=4хз+2хь, ха=-х~+2х~~, (ха= Зх~ — 2хз, )(хе=--,з~+2х~з, х~ =2хз-хо ~х~ =хз+2хзм з )'х~ =хз-5хм з ~ з ха= .г~ — 5хзз, (ха=~~+ха, )(хз = — 2х~ — Зхзг, з з (.
з' к) ..' л) . ' и) Е х~ =5хз-Зх,, (х~ =хз-хзм (х~ =ха-х,, ха =-х~ — 2 аш хз', (ха = -х~+2 Фй хз, (хз =-х~ +2 1п(!-хз). 4Л. Показать, что положение равновесия (хпхз) = (0,0) следую- щих систем асимптотнчески устойчиво в целом: < х~ ~х~ =2хю ~х~ =хз, а) б) 4 в) 4 , хз = — х~ — 2хзз; (хз = — 2х~ — бхзз; (хз = -Зх~ — 2х,'; Е х~ = хз — 2хзм ( х~ = хз — Зхзм ( х~ = Зхз — 5хты ха=-хб ~ха=-2хб ),ха=-4хь 4.8.
Показать, что положение равновесна системы (рис. 4.2) с пе- редаточной функцией линейной части 14'„(р) = й/(рз+ ар+ 6) (й > О, а > О, 6 > 0) асимптотически устойчиво в целом при следующих харак- теристиках нелинейного звена (НЗ): а) кусочно-линейная карактери- стнка с насыщением (рис. 4.3, а); б) кусочно-линейная характеристика с зоной нечувствительности (рис. 4.3, б); в) кусочно-линейная характе- ристика с зоной нечувствительности и насыщением (рис.
4.3, в). Рнс. 4.2 4.9. Показать, что положение равновесия системы (рис. 4.2) с передаточной функцией линейной части Щр) = й/(рз+ар) (й > О, а > 0) асимптотически устойчиво в целом при НЗ с кусочно линейной характеристикой с насыщением (рис. 4.3,а). Гл.
4. Мееюд )50 нк й Лян нова в) а) Рнс. 4.3 4.10. Показать, что положение равновееия (х!,хз) = (0,0) приводимых ниже систем асимптотически устойчиво в целом. б ) Х! =Хз, хз = -2х!-Х2-337хз,. ~ ~ ~ ~ 3 ~ ~~ ~! Х! =Х2 !) . 3 хз = — х! — хз(! +хз); е) з ! Х! =Хз, хз = -х! — фхз — агсзйхз, з) й! =Хз, хз = — 4х! — Щ-2 агсзйхз, < Х! =Хз, к) 3 з хз = -х! — хз- хз(! +хз) . Х! =Хз, а). з Хз = — Х! — 3/Х22, Е Х! =Хз, з з хз = -х!-2хз — фхзз, с Х! =Хз, д) . з х2 = х! — 2хз — х2(1+Х22) ж) < Х! =Хз, хз = — 4Х! — Хз — 2 агсзйхз! ! Х! =Хз, н) 3 хз — — — 42:! -хз-2 агсзйхз, 4.11.
Исследовать устойчивость положения равновесия (х! хз хз) = = (О 0 О) следующих систем: с ( '( х! = Хз = ХЗ= х! = Зх! + хз + 5х!, 5 д) хз = -х! + 2хз — хз + 4хз, з хз = 7хз+хз+хз' з. х! = Хз = хз = х! = Хз = ХЗ = — Х!+Хз — Х,, 3 Х! Хз+х3 Хз 5 -Хз — ХЗ вЂ” ХЗ' з. Х! +Хз+ Х!, з — х! + Хз — хз + хз, 5 хз + хз + хз', з, х! = г) хз= хз = х! = Е) хз = Хз = -х! + 2хз — Зх!, з -Х!'- 4хз+ Зхз — 2хз, Ь вЂ” Зхз — 5хз — хз; з. -2х! + хз — Зх,, 3 -5х! — хз + 7хз — хз, 5 -хз — 4хз — 2хз' з, х ! + 5хз + хз!, — х! + хз — х3 + хз, Ь хз + 2хз + хзз,' Гл. 4 Меаод ф нк ий Лян нова х~ = -5хг — 1Ох,, з хг = х~ — 7хг — хз — хг, о) 3 хз = 8хг — 7хз., з, х~ = — бхг+Зх,, з *'г = х~ — из+ Зхг, з хз = хг+ из.
з '( 4 13. Прямым методом Ляпунова показать, что положение равновесия ниже следующих систем не устойчиво. х~ = — 2х~+хг — 4хп з хг = х~ + Зхг + хз + хг з хз =хг-бхз-хз' з, х~ = — х~+Зхг — хы 3 в) хг = 2х~ +хг+бхз+8хгз хз = хг — 4хз — 2хз' з. х~ = -7х~ + хг — 2хы з хг = х~ + 9хг + хз + 8хг Б хз = 5хг — 4хз — хзз; '( Ответы 4.1. а) положительно полуопределена; б) положительно полуопределена; в) положительно определена; г) положительно определена; д) отрицательно определена; е) отрицательно определена; ж) отрицательно полуопределена; з) отрицательно полуопределена; и) положительно полуопределена; к) положительно полуопределена;; л) отрицательно полуопределена; м) отрицательно полуоиределена.
4.2. а) допускает; б) не допускает; в) допускает; г) не допускает; д) допускает; е) не допускает; ж) не допускает; з) допускает; и) не допускает; к) допускает. 4.3. а) допускает; б) допускает; в) не допускает; г) не допускает; д) допускает; е) не допускает; ж) не допускает; з) не допускает; н) допускает; к) допускает. х~ = — х~ +5хг — 9х,, з хг = Зх~ + хг + 2хз + хг, 3 хз = 2хг — бхз — 7хз; з. х~ — — -х~ + 2хг — бхп з хг = х~ + 2хг+4хз+ Зхгз хз = хг — 5х — 9хз,. з. х~ =х~+Зхг+х~ з хг = — х~ + 2хг + хз + 7хг, з хз = бхг — хз — 4хз, з. хг = 12х~ + хг + 4хзм хг = — Зх~ + хг + 4хз + 5хг, Ь хз = бхг — 4хз — хзз,.
х~ = 2хг + Зхг + 5хзп хг = — х~+Зхг+хз+бхг, 3 хз = 2хг — хз — 4хз., з. х~ = х~ + 5хг + 10хз, хг = — 2хг + Зхг + хз + бхг, з хз = 2хг -4хз — хз,' з, х1 = бх| + бхг + 10хз, хг = — х~ + Зхг+ 5хз+ 9хз, хз = Зхг — 5хз — 2хз. з 4.2. Омлеты 113 4.4. а) устойчиво; б) устойчиво; в) неустойчиво; г) устойчиво; д) неустойчиво; е) устойчиво; ж) неустойчиво; з) устойчиво; и) устойчиво; к) неустойчиво. 4.5.
а) (хп ха) = (О, 0) асимптотически устойчиво; (хп ха) = (2, — 4) не устойчиво; (хна) = ( — 2,4) не устойчиво. 6) (хпха) = (0,0) не устойчиво; (хпха) = (2,— 4) асимптотически устойчиво; (хпха) = = ( — 2,4) асимптотически устойчиво. в) (хна) = (0,0) не устойчиво; (хпха) = (2,— 2) не устойчиво; (хна) = ( — 2,2) не устойчиво. г) (хпха) = (0,0) не устойчиво; (хпха) = (2,— 2) не устойчиво; (хна) = (-2,2) не устойчиво. д) (хихон) = (0,0) асимптотически устойчиво; (хм ха) = (3, — 9) не устойчиво; (хм ха) = ( — 3, 9) не устойчиво.
е) (хп хр) = (О, 0) не устойчиво; (хь хр) = (3, — 9) асимптотически устойчиво; (хп ха) = (-3,9) асимптотически устойчиво. 4.6. а) асимптотически устойчиво; б) не устойчиво; в) аснмптотически устойчиво; г) не устойчиво; д) асимптотически устойчиво; е) не устойчиво; ж) асимптотически устойчиво; з) не устойчиво; и) асимптотически устойчиво; к) аснмптотически устойчиво; л) не устойчив;и) асимптотически устойчиво. 4Л1. а) асимптотически устойчиво в целом; б) асимптотическн устойчиво в целом; в) не устойчиво; г) асимптотически устойчиво в целом; д) не устойчиво; е) не устойчиво; ж) асимптотически устойчиво в целом; а) асимптотически устойчиво в целом; и) не устойчиво; к) асимптотически устойчиво в целом; л) не устойчиво; м) асимптотически устойчиво в целом; н) асимптотически устойчиво в целом; о) не устойчиво. 4.12. а) асимптотически устойчиво в целом; б) не устойчиво; в) аснмптотически устойчиво в целом; г) асимптотическн устойчиво в целом; д) не устойчиво; е) асимптотическн устойчиво в целом; ж) асимптотически устойчиво в целом; з) не устойчиво; и) асимптотнчески устойчиво в целом; к) асимптотически устойчиво в целом; л) не устойчиво;и) асимптотически устойчиво в целом; н) асимптотическн устойчиво в целом; о) не устойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
