Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 14
Текст из файла (страница 14)
3.8, б) с высотой с = я/2 и зоной нечувствительности а = 1, линейные зве- ньЯ имеют пеРедаточнУю фУнкцию Иг~(Р) = 5(1+ 0,2Р) и Ига(Р) = 2 = 2/(ра + 2р + р), внешние воздействия д = 0 и Ь = 10з)п1. Исследовать: а) возникнут ли з системе одночастотные вынужденные колеба- 3.3. Задачи 85 ння; б) если да, то определить амплитуду вынужденных колебаний на входе нелинейного звена.
3.$9. В нелинейной системе (рнс. 3.13) нелинейное звено имеет релейную характеристику с зоной нечувствительности (рнс. 3.8,б) с высотой с = я/2 н зоной нечувствительности а = 1, линейные звенья имеют передаточную функцию И"~(р) = 5(1+ 0,2р) н Ига(р) = г = 2/(рз + 2р + р), внешние воздействия д = 0 н Ь = 20з!и1. Исследовать: а) возникнут лн в системе одночастотные вынужденные колебания; б) если да, то определить амплитуду вынужденных колебаний на входе нелинейного звена. 3.60. В нелинейной системе (рнс. 3.13) нелинейное звено имеет характеристику идеального реле (рнс. 3.8,а) с высотой с = я/2, линейные звенья имеют передаточную функцию Иг~(р) = (р+ 1,5)/р н Ига(р) = 3/(2р+!), задающее воздействие д = 1.
Исследовать методом вибрацнонной лннеарнзацин устойчивость системы при следующих внешних колебаниях: а) Ь = О,! з1п 301; б) Ь = з1п 301; в) Ь = 10 зш 301. 3.61. В нелинейной системе (рнс. 3.13) нелинейное звено имеет характеристику идеального реле (рис. 3.8, а) с высотой с = я/2, линейные звенья имеют передаточную функцию И'~(р) = (р + 0,5)/р и Игз(р) = 2/(2р + 1), задающее воздействие д = 1. Исследовать методом вибрацнонной лннеарнзацин устойчивость системы прн следующих внешних колебаниях: а) Ь = 0,1 зш Зй; б) Ь = ма ЗФ; в) Ь = 10з1п 3(М.
3.62. В нелинейной системе (рнс. 3.13) нелинейное звено имеет характеристику идеального реле (рис. 3.8,а) с высотой с = я/2, линейные звенья имеют передаточную функцию И'~(р) = (р+ 3)/р н И'г(р) = 1/(2р+ 1), задающее воздействие д = 1. Исследовать метадом вибрационной лннеаризацнн устойчивость системы прн следующих внешних колебаниях: а) Ь = 0,1 зш 301; б) Ь = 10 яп 30$. 3.63.
В нелинейной системе (рис. 3.13) нелинейное звено имеет релейную характеристику с зоной нечувствительности (рнс. 3.8,б) с высотой с= я/2 и зоной нечувствительности а = 1, линейные звенья имеют передаточную функцию И'!(р) = (р+ 3)/р н И'з(р) = 1/(2р + 1), задающее воздействие д = 1. Исследовать методом внбрацнонной линеаризацнн устойчивость системы при следующнх внешних колебаниях: а) Ь =' 1,2з!пЗй; б) Ь = 5шпЗО!. 3.64. В нелинейной системе (рис.
3.13) нелинейное звено имеет релейную характеристику с зоной нечувствительности (рнс. 3.8, б) с высотой с = я/2 и зоной нечувствительности а = 1, линейные звенья имеют передаточную функцию И'~(р) = (р+ 1,5)/р и Ига(р) = 3/(2р+ !), задающее воздействие д = 1.
Исследовать методом внбрацнонной линеаризацнн устойчивость системы прн следующих внешних колебаниях: а) Ь = 1,01з!пЗй; б) Ь = 1,2з!п301; в) Ь = йа1пЗМ. 88 (л. 3. Мегнод гармонической линеариэации 3.66. В нелинейной системе (рис. 3.13) нелинейное звено имеет релейную характеристику с зоной нечувствительности (рис. 3.8,б) с высотой с = хг(2 и зоной нечувствительности а = 1, линейные звенья имеют передаточную функцию И'((р) = (р+ 0,5)/р и Игз(р) = 2Д2р+ 1)~, задающее воздействие д = 1.
Исследовать методом вибрациониой линеаризации устойчивость системы при следующих внешних колебаниях: а) Ь = 1,2з1пЗОг; б) Ь = 5в!пЗО!. Ответы 3.!. (!(А) = —,(!'(А) = О. хА' 3.2. фА( — ф — ( — ) . г(А(=0. Аг 2с! . Ь Ь /Ы 1 3.3. (!(А) = — агсзш — + — ! — ~ — ), д'(А) = О, А > Ь. хЬ~ А А ~А) 2к!я, а а /а~ 1! 3.4.
(!(А) = — — — агса!п — — — ! — ~ — !, д'(А) =О, А >~а. к~2 А А ~А) ~' /а ч 1, 2с(Ь вЂ” а) 3.6. 4(А)= — ! — д + ! — Д, д'(А)=— хА ~ 1А) ~А) ~' яАз А > Ь. 3.6. д(А) = — 1 — ~ — ), д'(А) = - —, А >Ь. яА ~ А) ' яАз' 3.7. ч(А) = — — +агсз!п ! — — +2 1 — — — 1 — 4 4йа/ а ч д'(А) = — ~! — — ), А > а. кА 1 А)' 3.8.
о = — агсзш —, (1= — 1 — ~ — ), д'=О, А>!е ~. 1г А' яА ~А) о с г' . а+ее . а — ео'( 3.9. оо = — ~агсз1п — аксаи ), о з о д= — ' ! — +' + ! ', д'=О, А>~ео~ З.З. Оавеиы о с( 6+со, Ь вЂ” ео 3.10. сг = — ~ахсвщ — вгсв!и у!, л! д= — 1 — + 1 —, ц'= — —, А>5+~ о~ 3.11. о' = Йе", д(А) =— — + агсв!и 1 — — + 1 — — х х ! — ! —— д'(А) = — — ~ ! — — !, А > а+ !е ~.
4йа / а'! о кА ~, А)' 3.12. Симметричные автоколебания с частотой ы = ! и амплитудой А = !О. 3.13. Симметричные автоколебания с частотой щ = 2 и амплитудой А = 4. 3.14. Симметричные автоколебания с частотой м = ~/3 н амплитудой А = 5. 3.16. Автоколебаний нет. 4.16. Автоколебаний нет. 3.17. Симметричные автоколебания с частотой м = ! и амплитудой А и 20. 3.18. Симметричные автоколебания с частотой и = 2 и амплитудой А ы 2,24, 3.19. Автоколебаний нет. 3.20. Симметричные автоколебания с частотой ы = у'3 и амплитудой А гк 14,93.
3.21. Несимметричные аатоколебания с частотой щ = тГЗ, амплитудой А = 5 и смещением ео = 0,2. 3.22. Симметричные автоколебания с частотой щ = 1 н амплитудой А = 10. 3.23. Симметричные автоколебания с частотой м = 1 и амплитудой А = !О. 3.24. Симметричные автоколебания с частотой щ = 2 и амплитудой А = 4. 3.25.
Симметричные автоколебания с частотой щ = 2 и амплитудой А = 4. 3.26. Симметричные автоколебання с частотой щ = 43 и амплитудой А = 5. 3.27. Симметричные автоколебання с частотой щ = 2 и амплитудой А = 4. 3.28. Несимметричные автоколебания с частотой щ = 2, амплитудой А = 3,51 и смещением ео = — 1,68. 3.29. Симметричные автоколебания с частотой щ = 1 н амплитудой А = 1О. 3.30. Несимметричные автоколебания с частотой и = !, амплитудой А = !О н смешением ео = — !. 3.31. Автоколебаний нет.
3.32. Автоколебаний нет. 3.33. Симметричные автоколебания с частотой ы = ~ГЗ и амплитудой А И 3,86. 3.34. Несимметричные авто- колебания с частотой ы = 43, амплитудой А гк 5 и смещением ео = 0,2. 3.35. Симметричные автоколебания с частотой щ = 2, амплитудой А = 2,24 н смещением ео = 0,2. 3.36. Симметричные автоколебания с частотой м = 2 и амплитудой А гд 2,24. 3.37.
Автоколебаний нет. 3.38. Симметричные автоколебания с частотой щ = у'3 и амплитудой А = 5. 3 39. Несимметричные автоколебания с частотой щ = БАГЗ, амплитудой А = 5 и смещением ео = 0,2. 3.40. Несимметричные автоколебания с частотой щ = 2, амплитудой А Ы 4,89 н смещением ео = — О,!2. 3.41. Несимметричные автоколебання с частотой ю = 1, амплитудой А ск 40 и смещением ео = — !. 3.42. Несимметричные автоколеба- 88 Га.
д Метод гармонической аинеариэаиии ния с частотой ш = 1, амплитудой А еа 20 и смещением ео = — 1. 3.43. Несимметричные автоколебания с частотой ш = чГЗ, амплитудой А еа 9,94 и смешением ео = 0,19. 3.44. Несимметричные автоколебания с частотой ог = ~/3, амплитудой А м 9,94 и смещением ео = 0,19. 3.45. Симметричные автоколебания с частотой ш = 2 и амплитудой А еа 4,97. 3.46.
Симметричные автоколебания с частотой ю са 3,47 и амплитудой А а 2,43 3.47. Симметричные автоколебания с частотой ш = 2 и амплитудой А и 4,97. 3.48. Симметричные автоколебания с частотой ш ы 3,47 и амплитудой А о' 2,36. 3.49. Симметричные автоколебания с частотой ю м 4 и амплитудой А М 2,24 3.50. Симметричные аатоколебания с частотой ш а 1,55 и амплитудой А и 4,03 3.51. Симметричные автоколебания с частотой ш и 2,15 и амплитудой А о' 1,59.
3.52. Симметричные автоколебания с частотой ш И 1,91 и амплитудой А и 5,42. 3.53. Симметричные автоколебания с частотой ш и 2,99 и амплитудой А си 1,47. 3.54. а) Да; б) А = 10. 3.55. а) Да; б) А = 10. 3.56. а) Да; б) А = 5. 3.57. а) Нет. 3.58. а) Нет. 3.59. а) Да; б) А = 9,9. 3.60. а) неустойчива; б) неустойчива; в) устойчива. 3.61. а) устойчива; б) устойчива; е) устойчива. 3.62.
а) неустойчива; б) устойчива. 3.63. а) неустойчива; б) устойчива. 3.64. а) неустойчива; б) устойчива; е) устойчива. 3,65. а) устойчива; б) устойчива. Глава 4 МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА Основы общей теории устойчивости были заложены А. М. Ляпуновым в его книге «Общая задача об устойчивости движения», которая вышла в свет в 1892 г. [16).
В этой книге им был предложен общий метод исследования устойчивости движения, который называется вторым или прямым методом Ляпунова. Этот метод основан на построении специальной функции, которая получила название функции Ляпунова. Прямой метод Ляпунова получил дальнейшее развитие з трудах российских и зарубежных авторов. И метод исследований, основанный на построении функции Ляпунова, включая прямой метод Ляпунова, стали называть методом функций Ляпунова. 4.1. Знакопостоянные и знакоопределенные функции В большинстве случаев функции Ляпунова являются знакоопределенными, а их производные — знакоопределенными или знакопостоянными функциями.
Рассмотрим функцию Ъ'(х), определенную в некоторой области Р С В", и функцию т'(х,1), определенную на прямом произведении Р х [О, со), т. е. при х е Р и 0 < 1 < со. Область Р содержит начало координат: 0 е .Р. Функции Ъ'(х) и У(х,з) являются непрерывными и обладают непрерывными производными по всем своим аргументам. Функция Ъ'(х) называется знакоположительной или положительно полуопределенной в области Р, если Ъ'(0) = 0 и Ъ'(х) > 0 всюду на Р, и знакоотрицательной или отрицательно полуопределенной в области Р. если Ъ'(0) = 0 и Ъ'(х) < 0 всюду на Р.
Функция У(х,т) называется знакоппложительной или положительно полуопределенной в области Р, если при всех 1>со (то>0) Ъ'(О,г) = 0 н Ъ'(х,1) > 0 всюду на Р, и знакоотрицательной илн отрицательно полуопределенной в области Р, если при всех т > со (»з > 0) Ъ'(О, т) = 0 и Ъ'(х, т) < 0 всюду на Р. Знакоположительные и знакоотрицательные функции в области .Р называются знакопостоянными функциями области Р.
Функция Ъ'(х) называется положительно определенной в области Р, если Ъ'(0) = 0 и Ъ'(х) > 0 всюду на Р, кроме точки х = О, 4"л. 4. Метод функ ий Ллп нова и отрицательно определенной в области Р, если У(0) = 0 и У(х) < 0 всюду на Р, кроме точки х = О. Функция У(х,С) называется положительно определенной в области Р, если при всех С > Со (Со > 0) У(О,С) = 0 и найдется такая положительно определенная в области Р функция У+(х), что при всех С > Со (Са > 0) У(х,С) > У+(х) всюду на .Р, кроме точки х = О, и отрицательно определенной в области Р, если — У(х,С) является положительно определенной в области Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
