Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Тогда имеем Ы'~ Ы'~ — =х!, — =ха. г(х! ' Йхз Отсюда, после интегрирования, получаем 1 з 1 Р! = -хз!, Рз = -хзз, У(х) = е!(х!) + Гз(хз) = -хз!+ -хе~. 2 ' 2 2 2 Е.2. 7ео об стойчивости Производная по времени от функции кандидата на функцию Ляпунова имеет внд ас У(х) = — — хз — — -хз. 2 З Ч 2 2' Она отрицательно полуопределена н обращается в нуль вне начала коордннат на множестве, определяемом уравнением <р(х) = х2 = О. Условие (11.6) прнннмает внд — Х(х) ~ = (О 1)Х(х) ~ = ( — х1 — хз) = — хп фр ! з ах .,=о т=о т=о В этом соотношении правая часть обращается в нуль на прямой хз = О только в начале координат. Следовательно, по обобщенной теореме об асимптотической устойчивости положенне равновесия рассматриваемой системы аснмптотнческн устойчиво. Теорема 47 (Теорема об асимптотической устойчивостин в целом).
Положение равновесия х = О автоновиюй системы (4.2) асимлтотически устойчиво в целом (глобально асимлтотически устойчиво), если существует такая лояоясительно определенная функция У(х), допускающая бесконечно большой нижний предел, что ее производная ло времени в силу уравмения этой системы является отрицательно определенной функцией. Так как функция У(х) непрерывна н обращается в нуль в начале координат, то она допускает бесконечно малый верхний придел.
Поэтому теорема 4.7 вытекает нз теоремы 4.3. Теорема 48 (Теорема Барабашнна-Красовского об асимптотической устойчивости в целом). Пояожениеравновесия х = О автономной системы (4.2) асимляютически устойчиво в целом (глобально асимлтотически устойчиво), если существует такая положительно определенная функция У(х), допускающая бесконечно большой мижний предел, что ее производная ло времени в силу уравнения этой системы является отрицательно пазуолредеяенной функцией, и она обращается в нуль вне начала координат на множестве М, не содержащих целых траекторий.
В качестве примера рассмотрим систему нз примера 4.7. Было показано, что функцией Ляпунова для этой системы является у(х) = хя~(2+ х22/2, которая стремится к бесконечности прн ~х~ — оо. Т. е. эта функция н, как было показано, ее производная удовлетворяют условию теоремы Барбашнна-Красовского. Следовательно, положение равновесия рассмотренной в примере 4.7 системы является аснмптотнческн устойчивым в целом. Исследование устойчнвостм нелинейных систем по линейному прнблиншнню.
Проблему исследования нелинейных систем по нх линейному приближению впервые поставил н разрешил А. М. Ляпунов. !02 Гл. 4.Метод функций Ляпуноео Не всегда по линейному приближению можно судить об устойчивости исходной нелинейной системы. В качестве примера рассмотрим систему й! =ха+ах!, з хз = -х! + ахт. 3 Функцию Ляпунова будем искать в виде положительно определенной квадратичной формы У(х) = хз!+ хз. Производная по времени от этой функции в силу заданных уравнений имеет вид У(х) = 2х!х! + 2хзхз = 2а(хе!+ хез), н она является положительно определенной функцией прн гх > 0 н отрицательно определенной функцией прн гг < О.
Следовательно, положение равновесия х = 0 рассматриваемой системы неустойчиво прн а > 0 н аснмптотнческн устойчиво прн сг < О. Лннеаризованная система описывается уравнениями х! =хя, ха=-х! н х! =~~! агуху+Щх!,хз, ..., х„), Вг(0,0, ..., 0) =О, !'= 1,2, ..., и д=! нлн в векторной форме х = Ах + В(х), В(0) = О, (4.4) где н х н ° !+а ~В(х)! = ~ В~(х!,хз, ..., х„) < с~~х1) .
(4.5) г=! г=! Здесь с! — малое положительное число, с — положительная константа. Условне (4.5) означает, что разложение нелинейною члена В(х) в (4.4) в ряд Тейлора в начале координат начинается с членов, содержащих квадраты нли более высокие степени фазовых координат н нх произведения. Ее характеристическое уравнение Лт + 1 = 0 имеет два чисто мнимых корня. Поэтому, как было показано во второй главе, начало коордннат является особой точкой типа центр, н оно соответствует устойчивому по Ляпунову положению равновесия.
Таким образом, в рассматриваемом случае устойчивость лннеарнзованной системы не имеет ничего общего с устойчивостью исходной нелинейной системы: по линейному прнблнженню нельзя делать какие-либо выводы об устойчнвостн исходной нелинейной системы как прн а > О, так и прн п < О. Критерий устойчивости Ляпунова по линейному приближению. Пусть уравнения нелинейной системы представлены в виде 103 4.2. Тю и об устойчивости Теорема 49 (Критерий устойчивости Ляпунова по линей ному приближению).
Пол озсвни е равновесия х = О нелинейной системы (4.4) асимнтотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы х = Ах имеют отрицательную вещественную часть, и неустойчиво, если среди указанных корней имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью. Крюиический случай.
Итак, если линеаризованная система устойчива, т.е. все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то и исходная нелинейная система асимптотически устойчива. Если линеаризованная система неустойчива н хотя бы один корень ее характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то и исходная нелинейная система неустойчива. И, наконец, если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет корни на мнимой оси и не имеет корней в правой полуплоскости, т.е. она маргинально устойчива, то говорят, что имеет место критический случай.
В критическом случае по линеаризованной модели нельзя судить об устойчивости исходной нелинейной системы. В примере, который был рассмотрен в начале параграфа, был критический случай. Исследовать устойчивость положения равновесия П р и м е р 4.8. системы у+ 2р+ Ззшр = О. Решение. Разложение в ряд Тейлора синуса имеет вид тпу = = р — рз/3! +" . Поэтому для линеаризованного уравнения имеем у + 2р + Зу = О. Линеаризованная модель (аснмптотически) устойчива, так как все коэффициенты уравнения положительны, т.е. выполняется необходимое условие устойчивости, а для систем 2-го порядка необходимое условие устойчивости является и достаточным. Поэтому и исходная нелинейная система асимптотически устойчива. П р и м е р 4.9. Исследовать устойчивость положения равновесия системы у + Ьр'+ 4р + Зе" = 3.
Р е ш е н и е. Разложение в ряд Тейлора функции еэ имеет внд еэ = = 1+ у+ уз/21+.... Поэтому для линеаризованного уравнения имеем у + Зу + 4у + Зр = О. Характеристическое уравнение имеет вид Лз+ЗЛ44Л+3 О Ги 4. Метод ф нкиий Лял нова 104 Определитель Гурвица 2-го порядка положителен: дз =5 4 — 1.3 = 17. Так как выполняется необходимое условие устойчивости и единственный определитель Гурвнца с четным индексом положителен, то по критерию Льенара-Шипара линеаризованная система устойчива.
Следовательно, и исходная нелинейная система асимптотически устойчива. П р и м е р 4.10. Исследовать устойчивость положения равновесия системы х~ = ха — 2хп з хт -4х~ — Зхт.. з Решение. Уравнения первого приближения имеют вид х! =хм хз = — 4хы Характеристическое уравнение — ТЛ =Ля+4 =0 имеет два чисто мнимых корня.
Поэтому имеет место критический случай, и по линеаризованной модели нельзя исследовать устойчивость исходной нелинейной системы. Исследуем устойчивость нелинейной системы методом функций Ляпунова. В качестве кандидата на функцию Ляпунова примем квадратичную форму У(х) = ха+ ахз Производная по времени в силу заданных уравнений имеет вид У(х) = 2х~х~ + 2ахтхз = 2х~(2хт — 2хз) + 2ахз( — 4х~ — Зхз~). Если принять а = 1/2, то получим У(х) = -(4х~ + Зх~з). Таким образом, выбранная квадратичная форма является положительно определенной, а ее производная по времени в силу заданных уравнений системы отрицательно определенной.
Следовательно, по теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости положение равновесия рассматриваемой системы является асимптотическн устойчивым. Теорема 4.10 (Первая теорема Ляпунова о неустойч и в о с т и). Положение равновесия х = 0 автономной системы (4.2) неустойчиво, если существует функиия т(х) такая, что ее производная У(х) в силу уравнения этой системы являетсл лоложительно определенной функцией и е любой малой окрестности 105 в.2. Теоремы об стойчивости начала координат найдется точка х = хо, е которой функция У(х) принимает положительное значение.
П р и м е р 4.11. Исследовать устойчивость положения равновесия х = 0 следующей системы: х1 = -2хз+Зх1, з хз = х1 — 5хз + Зхз, з хз = ха+ха. з Решение. Рассмотрим сначала линейную модель: х1 = -'2хз, хз = х1 — 5хз, хз = хз. Ее характеристическое уравнение имеет вид Л(Лз + 5) + 2Л = О.
Корнями этого уравнения являются Л1 = О, Лз,з = ~рГ7. Таким обра- зом, имеет место критический случай, и по линейной модели нельзя судить об устойчивости исходной системы. Поэтому воспользуемся прямым методом Ляпунова. Будем искать функцию Ляпунова в виде квадратичной формы з У(х) = -(хз1+ахзз+1Ьзз). 2 Производная по времени в силу заданных уравнений имеет вид У(х) = х1( — 2хз+ Зхз) + ахз(х1 — 5хз+ Зхзз) +)1хз(хз+ хзз).
Положив а = 2 и 11 = 1О, получим У(х) = -ха+ хзз+ 5хзз, У(х) = Зхв1+ бхзз+10хз. 2 Согласно теореме 4.10 положение равновесия системы не устойчиво. Методы построения функций Ляпунова. Общего метода по- строения функции Ляпунова нет. Разработаны различные методы, ко- торые позволяют находить функции Ляпунова для определенного типа систем. Здесь мы рассмотрим некоторые из них. 1. Энергетический подход. При таком подходе в качестве кандидата на функцию Ляпунова принимают полную энергию, пред- ставляющую сумму потенциальной и кинетической энергий. 2. Метод разделения переменных.
Этот метод предложен Е.А. Барбашиным и состоит в следующем. Кандидат на функцию Ляпунова ищут среди функций, которые сами и их производные по времени в силу заданных уравнений системы представляют сумму Гл. 4. Метод ляяий Лялунова функций, каждая из которых зависит только от одной фазовой пере- менной: У(х) = ~~~ Р;(х;), У(х) = ~ фг(х;). 3. Метод Лурье-Постникова. А.И. Лурье н В.Н. Постников, рассматривая задачу об устойчивости нелинейной системы, содержащей одну нелинейность а = Де), испольэовали в качестве кандидата на функцию Ляпунова сумму из квадратичной формы и интеграла от нелинейной функции, т.е. функцию вида с У(х) =х Вх+ Де)бе, о где в общем случае е = стх. Более детально этот метод был разработан А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
