Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Положительно определенные и отрицательно определенные функции в области Р называются знакоопределенными функциями в области Р. Очевидно, знакоопределенные функции являются частным случаем знакопостоянных функций. Функции, которые не являются знакопостоянными функциями в области .Р, называются знакопеременными функциями в области Р. В качестве примера рассмотрим следующие функции: , +(хз+хз) ] 2 Х2 ХЗ 2 2 х| + — + „, „„1. У2(х) = — ~х 1'з(х) = х~ + ха+ха, У4(х) =— у~(х) =хз+х22 Среди этих функций в пространстве 112 функция Ъ~(х) является положительно полуопределенной, функция 12(х) — отрицательно полуопределенной, функция Уз(х) — положительно определенной н функция У4(х) — отрицательно определенной. Функции У~(х) и У2(х) являются знакопостоянными, а функции Уз(х) и У4(х) — знакоопределенными.
В пространстве В~ функция У1(х) является положительно определенной, а функция У2(х) — отрицательно определенной. Функция У(х, С) называется функцией, допускающей бесконечно малый верхний предел, если как бы мало ни было положительное число е', найдется такое положительное число б', что ~У(х, С)~ < е' при всех С > Со, если )х~ < 6'. Функция У(х,С) называется функцией, допускающей бесконечно большой нижний предел, если как бы велико ни было положительное число Е, найдется такое положительное число 42, что Щх, С)~ > Е при всех С > Со, если ~х~ > Ь.
Иначе говоря, функция У(х, С) называется функцией, допускающей бесконечно большой нижний предел, если при любых С > Са (У(х, С)( -+ оо при ~х~ — > оо. Например, функции У(х,С) = (х~ +хз+хз)яп С и У(х,С) = (хз+ +х22+ хзт)е ' являются функциями, допускающими бесконечно малый верхний предел, а функции У(х,С) = 10зщ [(х~1+ х22)С) и У(х,С) = = 10(х~~+ х )е' таковыми не являются. В пространстве 44~ функция У(х, С) = (х, + х22+ х~)(яп С+ 1) является функцией, допускающей бесконечно большой нижний предел, а функции У(х,С) = (хт+хз)х 91 4.1. Знаколостоянные и знакоол оделенные функции х(юп 2+ 1) и У(х,2) = [х1/(1+ хз) + х~~/(1+ х22) + х~~/(1+ х~)]х х(гйп2 2+ 1) таковыми не являются.
Если У(х) является знакоопределенной функцией, то существует такое положительное число 21, что все поверхности У(х) = с, где (с~ < 21, являются замкнутыми относительно точки х = О поверхностями; если У(х) является знакоопределенной функцией и !У(х)! — оо прн ~х~ — ~ оо, то все поверхности У(х) = с при любом с являются замкнутыми относительно точки х = О поверхностями [3).
Покажем на примере, что не при всех знакоопределенных функциях У(х) все поверхности У(х) = с при любом с являются замкнутыми относительно точки х = О поверхностями. В качестве примера рассмотрим в пространстве 222 положительно определенную функ- х21 х2 цню У(х) = + . В этом случае при с = г2 уравнение !+х', 1+х' поверхности У(х) = с принимает вид х21 Х2 2 — + = г нли (1 — г )х1+ х2 = г . 1+ х2 1+ х21 Это уравнение при г < 1 представляет уравнение эллипса хз х2 у г2 — '+ — 2 = 1 а2 = Ь2 = г2 о2 Ь2 1 1 г2' прн г = 1 — уравнение прямой х2 2—— 1 или х2 = Ы, и при г > !в уравнение гиперболы х2 х2 у г2 2 ! ! Ь2,2 12 ГМ- ~- —, 1) Таким образом, в данном случае поверхности (кривые) уровня У(к) = с являются замкнутыми только при г < 1 (рис.
4.1). Рис. 4.1 гл. 4. Метод ф нкций Ляпунова Положительно определенные квадратичные формы. При построении функции Ляпунова широко используются квадратичные формы и У(х) = ~! дгьхгхь дгь = ды сь=! или в матричной форме У(х) = х~Ях. Любую квадратичную форму в матричной записи можно представить так, чтобы в ней матрица была симметрической. Поэтому, как правило, всегда предполагается, что матрица, используемая при записи квадратичной формы, является симметрической. Так как симметрические матрицы в методе функций Ляпунова играют важную роль, то кратко остановимся на их свойствах. Симметрическая матрица Я называется положигпельно (отрицательно) определенной матрицей, если квадратичная форма У(х) = = х~1~х является положительно (отрицательно) определенной функцией, и положительно (отрицательно) полуопределенной матрицей, если квадратичная форма У(х) = хт 9х является положительно (отрицательно) полуопределенной функцией.
Симметрическая матрица ьг обладает следующими свойствами. 1) все ее собственные значения, т. е. корни Л;(! = 1,2, ..., и) ее характеристического уравнения йе٠— ТЛ) = 0 являются вещественными числами; 2) если она положительно (отрицательно) определена, то все ее собственные значения являются положительными (отрицательными): Л, > 0 (Л«0); если она положительно (отрицательно) полуопределена, то все ее собственные значения являются неотрицательными (неположительными): Л, > 0 (Л; < 0); 3) определитель от симметрической матрицы равен произведению ее собственных значений: аеСЯ = Л!Лз" Л„.
Дальше часто будет использоваться одно свойство квадратичной формы. Сформулируем это свойство в виде леммы. Ле м м а 4.1. Квадратичная форма У(х) = хт Ях удовлетворяет неравенству Л )х1з ~ хт!~х < Л )х(з, где Л вЂ” минимальное, а Лм — максимальное собственное значение матрицы О. Если квадратичная форма У(х) = кто положительно определена, то она неограниченно возрастает при стремлении точки х к бесконечности: У(х) = х~(;!х †« оо при ~х~ †> оо. Рассмотрим условие, при выполнении которого квадратичная форма является положительно определенной функцией, или симметрическая матрица является положительно определенной.
е.1. Задачи 93 ~! = я!!, ~2 = , ..., доз Я !чз! 422 были положительны. Пример 4.1. Дана квадратичная форма У(х) = хз + 5хз~ + Зхз з+ 4х!хз — 2хзхз, х Е Вз. Исследовать, является эта форма положительной определенной функцией. Решен не. Если записать данную квадратичную форму в матричной форме, то элементами соответствующей матрицы Я будут ды = 1, ди = уз! = 2 9!з = дз! =О, дзз = 5 узз = дзз = — 1 узз = 3.
Определи- телии )92! 922~ )2 5 1 2 О 2 5 — 1 Π— 1 3 Ян Чи ч!з Чы йзз Чзз Чз! узз йзз все положительны. Следовательно, по критерию Сильвестра данная квадратичная форма является положительно определенной функци- ей. Задачи 4.1. Определить, являются ли положительно определенными, положительно полуопределенными, отрицательно опэоеделенными илн отрицательно полуопределенными в пространстве В следующие квадратичные формы: а) У(х) = х!+хз~+Зхз~+2х!хз, б) У(х) = хз+хзз+Зхз з— 2х!хз, в) У(х) = 5х!+2хз~+хз ~— 4хзхз, г) У(х) = 5хз+2хзз+хзз+2х!хз; д) У(х) = — 4хз — 2хзз-хзз+х!хз; е) У(х) = — 4хз! — 2хз з— хзз+4хзхз, ж) У(х) = — хз-4хз+4х!хз-хз., з) У(х) = — хз — 4хз+4хзхз — х,; 2 3.
з 3 2. и) У(х) = 2хз!+9хзз+хз — бх!хз — 2х!хз', к) У(х) = х!+хзз; л) У(х) = — 2хз — 9хз — хз+бх!хз+2х!хз; м) У(х) = — хз з— хзз, Критерий Сильвестра. Для того чтобы квадратичная форма У(х) = х! Ях была положительно оиределенной функцией, необходимо и достаточно, чтобы все оиределители Гл. 4. Менад нкций Ляпунова 4.2. Определить, допускают ли бесконечно малый верхний предел следующие функции: а) и(х,1) = 1Я+ха зшс; б) и(х,1) = з1п(1~/хт+хтт); в) и(х,1) = е )/х~ + хт, г) и(х, 1) = е (х~ + хз); д) и(х,с) = (х~+х~~)(яп 1+е '); о(х,1) = х~~+хз+яп 1+е ~; ж) и(х,1) =(х~+хз)яп Й+е; з) и(х,1) =(хз1+х~)япз1+хзе ', и) и(х,с) = (х~~+х~)+яп~1+хт1е т"; к) о(х,с) = (хз~+х~) +хташтс+х~е т~.
4.3. Определить, допускают ли в пространстве Вз бесконечно большой нижний предел следующие функции: а) и(х,с) = (хз1+ хат+ хзз)ев+(ха~+хат) зшз1; б) и(х, Ф) = хт~ + хат + хз тяпа 1+ (хз~ + х~)е'; в) и(х,1) = (х~ +ха+ха)е '+(х1+х~~)з1п 1; г) и(х,1) = (х1 + х~)е1+х~а1пзс; д) и(х,1) =х~+хз+ххзе'+хзз1п 1; е) и(х,1) = х~+х~+хз~е '+х~аш~1; ж) и(х, 1) = (хз + хт) е' + хае ' + хз вш 1; з) о(х,1) = (х~ +х~)е +х~зе'+х1яп 1; и) и(х,с) = (хз1+ х~~)е'+ х~+ хзза1птс; к) и(х,1) = (х~~+ха~)е ~+(х~ +ха~)е'+хат. 4.2. Теоремы об устойчивости Теоремы об устойчивости неавтономных систем. Пусть система описывается уравнениями х; = Х,(хпхя ..., х„,с), 1= 1,2, ..., и (4.1) нли в векторной форме х = Х(х, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
