Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Определение 32. Невозмущенное движение у*(1) называется асимптотически орбитально устойчивым, если оно орбитально устойчиво и найдется такое наложшнельное число 8, что расстояние от изображающей точки возмущенного движения до траектоРии невозмущенного движения стремится к нулю (р(у(Ф),Ь') — О)' нри 1 — оо, если это расстояние в начальный момент не нревыша( р ( у ( $ о ) ) * ) ( г ) Ги 3. Метод еармонической линев изации Иначе говоря, невозмущенное движение у'(~) аснмптотнчески орбитально устойчиво, если вокруг его траектории Ь' существует окрестность такая, что если возмущенное движение начинается в этой окрестности, то его траектория со временем сольется с траекторией невозмущенного движения Х'.
Из устойчивости по Ляпунову следует орбитальная устойчивость. Из асимптотической устойчивости следует асимптотическая орбитальная устойчивость. Т.е. если невозмущенное движение устойчиво по Ляпунову, то оно орбитально устойчиво, н если невозмущенное движение аснмптотнчески устойчиво, то оно асимптотнческн орбитально устойчиво. Обратное не верно; вообще говоря, из орбитальной устойчивости не следует устойчивость по Ляпунову, и из асимптотической орбитальной устойчивости не следует аснмптотическая устойчивость. Более того, если невозмущенное движение является периодическим, то оно не может быть асимптотически устойчивым.
Действительно, пусть невозмущенное движение у*(1) является периодической функцией с периодом Т: у'(З) = у'(~+ Т). Рассмотрим возмущенное движение у(З) = у*(т+ а). Это возмущенное движение не стремится к невозмущенному движению, как бы мало ни было расстояние между изображающими тачками возмущенного н невозмущенного движений в начальный момент. Каким бы малым не было число и в условии Ь(то) — у*(Зо)~ ( и, если указанное расстояние отлично от нуля н оно больше некоторого положительного числа ео, то в силу периодичности вор~у(З) — у*(1)~ ) ео, как бы велико г' не было.
Следовательно; ге расстояние между изображающими тачками не может стремится к нулю. В теории нелинейных систем важную роль играет понятие звтоколебаннй, введенное в теорию колебаний А. А. Андроповым. О яре делен не 3.3. Автоколебаниями называются асимптотически орбитально устойчивые свободные колебания (периодические движения). Автоколебания являются незатухающими колебаниями, которые устанавливаются н поддерживаются в системе за счет собственных источников энергии, причем амплитуды этих колебаний определяются свойствами системы, а не начальными условиямн. Системы, в которых возникают автоколебання, называются автоколебательными системами. Автоколебання возможны только в нелинейных системах. Незатухающие свободные колебания возможны в маргинально устойчивых линейных системах.
Однако эти колебания не являются автоколебаниями, так как онн не удовлетворяют условиям асимптотической орбитальной устойчивости. Если на выходе какой-либо системы возникают незатухающие колебания, то чтобы проверить, являются лн эти колебания автоколебаниями, можно поступить следующим образом: подать на вход системы 2.2 Автохолебания. Исследование симметричных автоколебаний 67 возмущающее воздействие, которое приводит к незначительному изменению амплитуды. При этом если после устранения возмущающего воздействия амплитуда колебаний со временем восстанавливается, то эти колебания являются автоколебаниями, в противном случае они ие являются автоколебаниями. Прн использовании метода гармонической линеаризацин, естественно, принимается, что гипотеза фильтра выполняется.
Тогда, если в системе возникает периодический процесс, то на выходе линейной части и на входе нелинейного звена он является гармоническим: е = Азшщ!. Поэтому периодический режим однозначно определяется частотой щ и амплитудой А, и исследование периодического процесса сводится к определению этих параметров. Основное условие возникновения периодического процесса. В линейной системе (рис.
3.1, б) могут возникнуть гармонические колебания, если ее характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни нли, что то же, амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку ( — 1, 0), т. е. если выполняется равенство И'н(А) ь!',(2м) = — 1. (3.10) Это соотношение является уравнением относительно неизвестных параметров: частоты щ н амплитуды А, и определяет основное условие возникновения периодических процессов в рассматриваемой системе. Автоколебания в системе возможны, если это уравнение имеет действительные положительные корни. Аналитический способ исследования автоколебапнй. Подставив выражения для передаточных функций и освободившись от дроби, основное условие (3,10) можно представить в виде Х(А, ш) + 2У(А, ш) = 0 Х(А,оз) =О, У(А,ю) =О.
(3.1 !) нли Если последняя система уравнений имеет решение А' и щ*(А' > О, щ* > 0), то это значит, что гармонически лннеарнзованное уравнение имеет решение е = А*ива'Ф, которое описывает периодический процесс. Этот процесс реально можно наблюдать, если указанное решение орбитально устойчиво или аснмптотически орбитально устойчиво. Решение е = А* в!пш*х описывает автоколебания, если оно аснмптотнчески орбитально устойчиво.
Таким образом, исследование автоколебаний сводится к решению уравнений (3.1!) и определению асимптотической орбитальной устойчивости. Пусть разомкнутая система (линейная часть) устойчива или маргинально устойчива, т.е. ее характеристическое уравнение, кроме левых корней, имеет корни на мнимой оси.
Тогда условие асимптотической 68 Гл. 3. Мееод гармонической аинеаризации орбитальной устойчивости при однозначной характеристике нелинейного звена принимает вид Условие асимптотической орбитальной устойчивости при неоднозначной характеристике нелинейного звена принимает вид — — — — — ) О. (3.12б) П р и м е р 3.5. В типовой структурной схеме (см. Рис. 3.1, а) нелинейной системы нелинейное звено имеет релейную характеристику с зоной нечувствительности (см. Рис. 3.8,6) с параметрамн а = 0,45 и с = я, передаточная функция линейной части имеет вид И'ч(р) = 4,1/(О, 5р+ 1)зр и задающее воздействие о = сопвз.
Требуется исследовать автоколебания. Решение. Передаточная функция НЗ имеет вид 4 045 14'"='(А)= А ' А =А ' А Условие возникновения периодического процесса (3.10) можно запи- сать в виде 16,4 Ф 0,45'1 — 0,25и,у — ы +уы+ ' 1 — — '~ = 0 А 1А) илн 16,4 /0,45'1 — ыз+ — ' ! — — ' =0 — 025мз+ =0 А ~А~ Второе уравнение имеет положительное решение ы = 2. Подставив зто значение частоты, первое уравнение можно преобразовать в биквадратное уравнение А — 4,1тАз+4,1з 0,45з =О.
Это уравнение имеет следующие два положительных решения: А1 4,08 и А = 0,454. Проверим условие устойчивости (3.12а). йу(А) 4(0,405 — Ат) А А — 0,45 прн А, оа 4,08 принимает отрицательное значение, а при А ш 0,454— положительное значение. Следовательно, колебания с первой амплитудой являются аснмптотическн орбитально устойчнвымн, а со второй амплитудой таковыми не являются. Таким образом, в рассматриваемой 3.2. Аетоколебания.
Исследование симметричных автокааебаний 69 системе будут совершаться автоколебання с частотой ы = 2 и амплитудой А1 = 4,08, Графический (частотный) метод исследования автоколебаний. Уравнение (3.10), определяющее условие возникновения периодического процесса, можно решить графически. Для этого представим его следующим образом; 1 Иг„(2ы) = — —. И"„(А) ' Строим амплитудно-фазовую характеристику линейной части, т. е. годограф функции И',Оы), н обратную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена с обратным знаком, т.е. годограф функции — 1/Иг„(А).
Если рассматриваемое уравнение имеет решение, то указанные характеристики пересекаются (рис. 3.10). И в точке пересечения по годографу И',(2ы) находим частоту, а по годографу — 1/И'„(А)— амплитуду периодического процесса. а) А*+ А+ ЬА" Рнс. 3.10 Если линейная часть устойчива или маргинально устойчива, то периодический проиесс будет асимптотически орбитально устойчив, если точка на годографе — 1/Ич(А), соответствуюи(ая амплитуде А*+ ЛА (сьА ) О), находится слева от амплитудно-фазовой частотной характеристики линейной части при движении по ней в сторону возрастания частоты (рис. 3.10). Рассмотренный графический (частотный) метод был предложен Л.
С. Гольдфарбом н называется методом Гольдфарба. Уравнение, определяющее условие возникновения периодического процесса, можно также представить в виде н при графическом его решении строить обратную амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части н с обратным знаком амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена.
По точке пе- Гм 3. Метод гармонической линеаригации ресечення этих характеристик можно определить частоту н амплитуду периодического процесса. Асимптотическая орбитальная устойчивость определяется точно так же, как и при методе Гольдфарба: если линейная часть устойчива или маргинально устойчива, то периодический процесс будет асимптотически орбитально устойчив, если точка на годографе — И'„(А), соответствующая амплитуде А*+ ЬА (йгА ) 0), находится слега от обратной амплитудно-фазовой частотной характеристики линейной части при движении по нгй г сторону возрастания частоты.
Исследование несимметричных колебаний. Уравнения системы (рнс. 3.11) имеют внд у = Иг~(р)Иэ(р)о+ Игз(р))г, о = Яе), е = у — у. Если положить И'~(р) = В~(р)/91(Р), Ии(Р) = гсз(Р)/~)т(р) " гг(Р) = — 11 (р)ЯО(Р) Я(р) = Я~(Р)1„)т(Р) Я(р) = Вэ(Р)( >1(Р), то, исключиВ переменные у н о, уравнения системы можно записать следующим образом; Я(Р)е+ В(Р)/(е) = Я(Р)у — Я(Р)Ь. При постоянных внешних воздействиях ру = О, рй = О, и правая часть принимает вид Я(0)у+ Я(0)й: Я(р)е+ 11(Р)Яе) = Я(0)у — Я(0)6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
