Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Исследовать устойчивость системы 4, у з > О, У вЂ” 8У+У=и, и= — ф У ф= ~ — 4 0' в=р+2У. 2.20. Исследовать устойчивость системы 2, у>0, у — 2у — 4у=и, и=-ф у, ф=е( (-2, У<0. 2.21. Исследовать устойчивость системы 4, у . в > О, У вЂ” 2У вЂ” 2У=и, и= — ф У, ф= ~ 6' О' з=у+05У. (-6, у з<0, 2.22. Исследовать (а) устойчивость и (б) характер переходного процесса системы 4, у.в>0, у — 2у — 2у=и, и=-ф у, ф= ~ ' ' в=у+Зу. ( — 6, у.в <О, 2.23.
Исследовать устойчивость системы 2, у.з>0, У' — 2У вЂ” 4У=и, и= — ф ° У, ф=~ з=р'+Зр. (-2, у.в<0, 2.24. Исследовать устойчивость системы 2, у > О, у — 2у+ 4у = и, и = -ф ° у, ф = ~ (-2, у <О. 52 Гл. 2. Неликедкне системы. Мееод Л илоскости 0,5 -0,5 1 -0,5 — 2 — 1 0 ' — 1 0 1 2 и) к) 2.3. а) устойчиво по Ляпунову; б) незатухающие колебания. 2.4. а) не устойчиво; 6) незатухающие колебания.
2.5. а) устойчиво по Ляпунову; б) незатухающие колебания. 2.6. а) не устойчиво; 6) незатухающие колебания. 2.7. а) не устойчиво; 6) незатухающие колебания. 2.8. а) асимптотически устойчиво; б) апериодический (скользящий режим). 2.9. а) асимптотически устойчива на интер-' вале [ — 1, Ц; 6) колебательный. 2.19.
а) асимптотически устойчива; б) колебательный. 2.11. а) не устойчива; 6) колебательный. 2.12. а) аснмптотнческн устойчива; 6) апериодический (скользящий режим). 2.13. Не устойчива. 2.14. а) асимптотически устойчива; 6) колебательный. 2.15. Не устойчива. 2.18. а) асимптотически устойчива; 6) апериодический (скользящий режим). 2.17. Не устойчива. 2.18. а) асимптотически устойчива; 6) колебательный. 2.19. Не устойчива. 2.20. Не устойчива. 2.21, Аснмптотически устойчива.
2.22. а) асимптотически устойчива; 6) колебательный. 2.23. Не устойчива. 2.24. Не устойчива. Глава 3 МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ Метод гармонической линеаризации или гармонического баланса первоначально был разработан для исследования периодического режима. Однако в дальнейшем он стал использоваться также для анализа устойчивости и синтеза нелинейных систем. Основная идея метода состоит в следующем. Управляемые системы (объекты), как правило, обладают свойством фильтра низких частот: при возникновении периодических режимов они не пропускают или пропускают с большим ослаблением вторые и более высокие гармоники.
И суть метода гармонической линеаризации состоит в описании нелинейного звена линейным уравнением, которое получается при пренебрежении (отбрасывании) указанных гармоник в разложении нелинейной функции в ряд Фурье. 3.1. Гармоническаа линеаризации. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации Структурную схему замкнутой нелинейной системы, состоящей нз нелинейного звена (НЗ) н линейной части (ЛЧ) — линейного звена (рис. 3Л, а), будем называть типовой структурной схемой нелинейной сислгемы. Уравнения системы (рис. 3.1, а) при д = О имеют внд у = Ил(р)о, о =,г(е), е = -у (3.1) а) Рис. 3.1.
Гл. 3. Л4ежод гармонической линеаризации 54 Допустим, что в системе возникает периодический режим. Тогда нелинейная функция е(2) = г(е(2)) будет периодической функцией времени и ее можно будет разложить в ряд Фурье 1 а(2) = — ао+Ь! з(пшс+а1совш1+(...), 2 (3.2) где ао, Ь!, а1 — коэффициенты Фурье; ы = 2яГТ, Т вЂ” период, (...)— высшие (вторые и более высокие) гармоники. Предположим, что линейная часть обладает свойством фильтра низких частот, т.е. выполняется условие Щ(2ш)! с, ~ЬР,(2йш)~, ш = 2я/Т, к = 2, 3, .... (3.3) р = Ьтг(р)а, а = (д(А) + — р1 е, е = — р, (3.4) д'(А) ) где д(А) = — = — ~ г'(Аз(пф)зшфйф, ь1 1 г А яА~ о 2е д'(А) = — = — (,Г(Аапф) совйф А гА1 о (3.5а) (3.5б) или, если Г(е) — однозначная нечетная функция, то о(А) = — = — ~,Г(Аз1пф) ешфйф, д'(А) = О.
(3.5в) Ь, 2 Г А яА~ о Здесь ф = ы2. Система (3.4) при фиксированных амплитуде А и частоте ы является линейной. Переход от исходной системы (3.1) к линеарнзованной системе (3.4) называется гармонической линеаризацией. Коэффициенты д(А) и 4'(А) называют коэффициентами гармонической линеаризации. Передаточную функцию (см. второе уравнение (3.4)) й"„(А,р) =д(А)+ — р д'(А) (3,6а) Проверить это условие, пока не определена частота периодического процесса, нельзя, и его перед началом исследования принимают как гипотезу.
Поэтому это условие называют гипотезой филынра. При условии (3.3) высшие гармоники на выходную величину р линейной части не оказывают существенного влияния. Поэтому при определении р высшими гармониками можно пренебречь и уравнение системы (3.1) при ао = О представить в виде 3.1. Га моиическая лияеаризацня. Вычисление коэффициентов называют передаточной функцией НЗ (нелинейного звена) и соответственно выражение И'„(А) = у(А) + уу'(А), (3.66) которое получается при подстановке в передаточную функцию НЗ р = уы — частотной передаточной функцией НЗ.
В соотношении (3.66) коэффициенты д(А) н д'(А) составляют вещественную и мнимую части частотной передаточной функции НЗ. Поэтому в(А) называют вещественным, а о'(А) — мнимым коэффициентами гармонической линеаризации. Нелинейное звено после гармонвческой линеаризацин представляется в виде линейного звена с передаточной функцией (3.6а), и структурная схема гармонически линеаризованной системы принимает вид, представленный на рис. 3.1, б. Гармонически линеаризованные уравнения (ЗА) были получены при условии, что постоянное слагаемое в разложении Фурье ао = О и задающее воздействие д = О. При этом колебания на входе нелинейного звена имеют вид е = А апик, и они являются симметричными.
Указанные колебания будут симметричными и приведенные выкладки справедливыми, если характеристика нелинейного звена будет симметричной относительно начала координат и установившаяся ошибка будет равна нулю. При постоянном задающем воздействии установившая ошибка будет равна нулю, если система является астатической, т.е.
линейная часть содержит интегрирующее звено. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации при симметричных колебаниях. Рассмотрим на примерах вычисление коэффициентов гармонической линеаризации для нелинейных звеньев с однозначными и неоднозначными характеристиками. П ри мер 3.! . Определить коэффициенты гармонической линеаризации нелинейного звена с кусочно-линейной характеристикой с зоной нечувствительности н насыщением (рис. 3.2, а) при симметричных колебаниях.
Рис, 3.2. Га. 3. Метод гармонической л изаиии Решение. Так как характеристика нелинейного звена является однозначной и симметричной относительно начала координат, то функция /(е) будет нечетной. Поэтому в этом случае согласно формулам (3.5в) мнимый коэффициент гармонической линеаризации д'(А) = О, и необходимо вычислить только вещественный коэффициент гармонической лннеаризации й(А). а) Рис. 3.3. График выходного сигнала нелинейного звена с такой характеристикой, когда на его вход подается гармонический сигнал е = Аащшт, представлен на рис. З.З. Как следует из этого рисунка, пока входной сигнал НЗ не достигает величины а, или переменная ф величины Ф~ (е = АзшгР1 = а), выходной сигнал НЗ будет равен нулю. Когда входной сигнал изменяется на интервале [а, Ь], или переменная 4 — на интервале [уч, фт], где 4з определяется из соотношения Аапфз = Ь, на выходе НЗ имеем а = й(Амит — а).
Здесь Ь = с/(Ь вЂ” а) — тангенс угла наклона характеристики НЗ на интервале [а, Ь]. И, наконец, на интервале [газ, я./2] выходной сигнал НЗ принимает постоянное значение с. График выходного сигнала на интервале [О,я] симметричен относительно прямой гр = л/2.
Поэтому выходной сигнал на интервале [я/2, я †] равен постоянной величине с, на интервале [я †,я — ф1] описывается функцией гг = Ь(Авгиев — а) и на интервале [л — г/ч,я] равен нулю. 3.1. Га моиическая линеаризация. Вычисление коэффициентов 57 Следовательно, вещественный коэффициент гармонической линеаризации определяется следующим образом (см (3.5в)): д(А) = — = — ~ ~(А аш 2Ь) ап 2Р 2(2Р = — Ь(А ап 2Р— а) ат 2Ьйф+ Ь! 2 1, 2 А 2гА~ 22А о 221 12 — 222 я-22~ + саш2122!ф+ Ь(Азш2Р— а)вп2Г22!2Р а2 Я вЂ” 222 Проинтегрировав это выражение, используя тригонометрическое тождество зш 2д = (1 — сов ар)/2, получим д(А) = — Ь ~А ~ -2Р— — зш 2т2) — а2Ь~ + 22А( ~ !2 4 +ссов2Р1 +5~А~ -2Р— — зш22Р) — аФ~ Подставив пределы интегрирования, найдем 4ЬП 1 4с д(А) = — ~-(2рз-2/~2)--(сйп2!Ьз-аш 22р2)+а(сов 2122-сов ф2)!+ — созфз.
22 12 4 22А Учитывая соотношения (см. рис. 3.3, и) а . Ь Аз!п2Р~ =а, Аяша=5, 2Ь2 =агсап —, 2Ьз=агсяп —, А' А' с Ь= —, Ь вЂ” а окончательно для вещественного коэффициента гармонической линеа- ризации нелинейного звена с зоной нечувствительности и насыщением, получаем д(А) = агсап — — агсяп — + — 1 — ~ — ) — — 1 — ~ — ) я(Ь-а)~ А А А !А) А ~А) ~' Эта формула справедлива при А > Ь.
Пример 3.2. Определить коэффициенты гармонической линеаризации нелинейного звена с кусочно-линейной характеристикой с гистерезисом и насыщением (рис. 3.2. 6) при симметричных колебаниях. Решение. Графики входного и выходного сигналов НЗ представлены на рис 3.4. Кривую выходного сигнала НЗ на интервале [я, 2я] можно получить из той же кривой на интервале ]О, я] зеркальным отображением относительно оси абсцисс и сдвигом вправо на 2г, Точно таким же свойством обладают кривые функций синуса и косинуса, на которые умножаются выходной сигнал НЗ при вычислении коэффициентов гармонической линеаризации. Поэтому в данном случае в формулах (3.5а) и (3.56) значения интегралов на указанных интервалах' Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
