Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 4
Текст из файла (страница 4)
НаРяду с матрицей наблюдаемости рассмотрим транспонированную матРицу наблюдаемости С СА Н т (1.106) СА" ' которая имеет такой же ранг, что и исходная матрица Н. Критерий наблюдаемостн. Управляемая система (1.9) вполне наблюдаема (восстанавливаема) тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости (1.10а) или, что то же, ранг транспонированной матрицы (1.106) равен и. Определение 1.5. Управляемая система (1.8) называется восстанавливаемой, или вполне восстанавливаемой, если существует такое 1~ ( — со < 1~ < 1), что по данным измерения выходного вектора у(т) и управления п(т) на интервале Ф~ < т < Ф можно определить состояние х(1). Для стационарных систем из полной наблюдаемости следует полная восстанавливаемость и наоборот, поэтому в таких случаях эти понятия можно не различать.
22 1л. Д Преоб аааеаиил. Улраеллаиасть. Стабилизи емость Задачи 1.8. Показать, что управляемые системы, которые приводятся ниже, не вполне наблюдаемы: а) х! = х1+2хз, хз = — 2Х1 +ха, хз = х! + 2хз + Зхз + и у =х!! г) х! =ха, хз = — 2х! + хз, хз = — хз — аз+и, у =х!', у =х!. 1.9. Показать, что управляемые системы, которые приводятся ниже, вполне наблюдаемы: а) х! = х1+ 2хз+ хз хз = -2х! + Хю хз = х! + 2хз + Зхз + и, у =х!' у=х1, у =х!. у =х1, 1,10. Определить значения параметра сз, при которых приводимые ниже управляемые системы не вполне наблюдаемы: а) х! =Х1+2хз+о хз, б) х! = — 2Х1+хз+а хз, хз = -2х1 + хз, хз = х! + 2хз, хз =х1+2хз+Зхз+и, аз =2хз+Зхз+и, у=х1, У=х!! У=Х1! В) Х1 =ХЗ, хз = 2Х! + Зхю хз = х! + 2хз + и, у =х!', д) х! = 2х! + хз, хз = х! + 2хз, хз = — х! — 2хз+и, в) х! =хз, хз = 2х! + Зхз + хз, хз = х1 + 2хз + и, у = х1, д) х! = 2х! + ха, Хз = Ха+ Ха, хз = — х! — 2хз+и, У =х1! е) х! =Ха, хз = х1+ 2хз, хз = х!+2хз+и, Г) Х1 =Ха, хз = -2х1+ ха+ ха, хз = хз хз+и, у =х1, е) х! = ха+ хз хз = х! + 2хз, хз = — х! — 2хз — ха+и, Д4.
Канонические формы вненил и модельное кривление 23 Г) Х! =Хз, хз = — 2х!+а хз, В) Х! =Хз, х2=2х!+Зхз+а хз, хз = х! +2ХЗ+и, ХЗ = — Х2 ХЗ + М, у =х!! у =х!, е) х! =Х2+а хз, х2 =х!+2хз, ХЗ = — Х! — Хз — ХЗ+ и, д) х! = 2х!+хз, хз = ха + а хз, хз = — х! — 2хз+и, у =х!, у =х!. 1.11. Определить значения параметра а, при которых приводимые ниже управляемые системы вполне наблюдаемы: б)х!= а) х!= хз = Х2 = хз = у=х!., у =х!! г)х!= Х2 = в)х!= хз = хз = Х4 у=х!, у=х!! д) х! = Х2 = хз = у=х!.
у =х!, 1.4. Канонические формы уравнении и модальное управление Ввиду того, что существует множество эквивалентных форм представлений уравнений состояний, можно выбрать из них наиболее удобное для использования в данном конкретном случае. Такие формы Уравнений называют каноническими. Поскольку возможны множество Различных приложений, известны несколько канонических форм. Здесь Рассмотрим преобразование уравнений состояний в каноническую форму, называемую управляемой формой Луенбергера. х2+а хз, Х!+Хз, Х2+ Х4, -х! — Зхз — 2хз — х4 + и, Хз, х!+а хЗ, хз+а Х4, — х! — Зхз — 2хз — х4 + и, хз+а хз, Х! + Х2, Хз+ Х4, — х! — Зхз — 2хз — х4 + и, е)х!= х2 = хз = Х4 = х! + 2хз, х! +Зхз+хз+ а.х4, Хз+ ХЗ, -х! — Зхз — 2х4 + и, хз, х!+хз+а хз, Хз+ Х4, -Х! -Хз-2ХЗ-Х4+н, Х2+ а ° Хз, Х!+Хз, Хз+ Х4, х! — Зх2 — 2хз — х4 + и, 24 Ал.
С Преобразования Управляемость. Стабилизируемость Уравнение состояния вида О 1 О °" О О О ! " О в=Ав+Ви= О О О " 1 — а„-а„~ — ан а " — а~ (1.11) неособым преобразованием можно было преобразовать в управля- емую форму Луенбергера, необходимо и достаточно, чтобы пара (А, В) была вполне управляема. Те о ре ма 1.2. Управляемая система (1.11) преобразуется в управляемую форму Луенбергера путем преобразования Ьт ЬтА в=Т 'х, Т '= ЬтАп-! где векторная переменная Ь определяется из уравнений ЬА — О ЬтАВ = О ... ЬтАч-~В Пример !.5. Преобразовать уравнение состояния :] х = Ах+Вы= "[ в управляемую форму Луенбергера. Решение.
Произведения АВ, АзВ и матрица управляемости имеют вид У =(ВАВА В) = А' — [ называется управляемой формой Луенбергера. Характеристическое уравнение матрицы А этого уравнения имеет вид бес(Л1 — А) = Л" +а~Л" 1+ ". +а„= О. Коэффициентами характеристического уравнения являются элементы последней строки матрицы А. Те о ре и а 1.1. Для того чтобы уравнение состояния х = Ах+ Ви, х е Я", и е В Ке. Канонические рмы уравнения и модельное украв«ение 25 Так как деФУ = 1, пара (А, В) вполне управляема. Следовательно, данное уравнение может быть преобразовано в управляемую форму Луенбергера.
Характеристическое уравнение имеет вид Л вЂ” 1 1 О О Л 1 О (Л 1)з Лз 3Лз+3Л 1 О 1 О Л вЂ” 1 деь(Лà — А) = Поэтому элементамн последней строки матрицы А будут а1 = — 3, аз = = 3, аз = — 1, и преобразованное уравнение имеет вид О 1 О О О 1 1 — 3 3 о1 Модальное управление. Если линейный стационарный объект вполне управляем, то существует такой линейный закон управления, прн котором корни характеристического уравнения замкнутой системы равны наперед заданным числам.
Способ управления, основанный на размещении корней характеристического управления определенным образом, называют модальным управлением. Ут в е р ж де н и е 1.2. Пусть «арактеристическое, уравнение вполне управляемой системы х = Ах+ Вн, х е В", н Е В, Л" + а~ Л" ' + " + а„= О.
имеет вид нужно выбрать закон управления вида и= (а — с) к =(а-с) Т 'х, где Ьт ЬтА а = (а„ а„ 1 " а~)т, с = (с„ с„ ~ -- с~)~, Т 1 = ЬТАп-1 Ьт в иоследней матрице оиределяется из Ь~АВ = О, " Ь~А" ~ В = 1. векторная переменная уравнений ЬтВ О, Для того чтобы «арактеристическое уравнение замкнутой системы обладало заданными корнями и имеяо вид Л" +с~Л" '+" +с„= О, 26 Гл. Д Преобразования. Управляемссмь. Стабилиаируемость Пример 1.6.
Управляемая система описывается уравнением Решение. Согласно утверждению 1.2, чтобы найти требуемый закон управления, нужно знать коэффициенты характеристических уравнений управляемой и замкнутой систем, а также обратную матрицу преобразования уравнений управляемой системы в управляемую форму Луенбергера. Характеристическое уравнение управляемой системы имеет внд (см. пример 14) Лз ЗЛз+ЗЛ 1 =О а характеристическое уравнение с заданными корнями замкнутой си- стемы — вид (Л+ ! 3;)(Л+1+3!)(Л+ !) = Л'+ ЗЛ'+ !2Л+ !0 = 0. В принятых выше обозначениях а~ = — 3, ат = 3, аз = — 1, с1 = = 3, ст = !2, сз = 10 и соответственно а = (аз аз а1)т = ( — 1 3 — 3) н с = (сз сз с1)т = (!О 12 3). Чтобы определить матрицу Т ', нужно сначала составить и решить систему уравнений )зтВ О !зтАВ О )зтАзВ Входящие в эти уравнения матрицы имеют вид АаВ = А= [ в=[ АВ = [ Поэтому указанные выше уравнения принимают вид Лз = О, !ь1+ !ьт = О, 2!ь1 + !ьз + !ьз = 1.
Отсюда для ~ь получаем Ьт = (О 0 1). Произведения !зтА и ЬтАз имеют вид ВтА (, О !) ЪтА'=(2 ! 1). Поэтому для матрицы Т ' получаем соотношение ты Т '= )зтА !ттА2 Определить закон управления, при котором корни характеристического уравнения замкнутой системы равны Л1 з = -1 х Зу, Лз = -1. !.4. Задави 27 и = (а — с)ТТ $х =(-11 -9 -6) = -21х! — бхз - 26жз. Задачи 1.12, Определить обратную матрицу Т ' преобразования и = Тх, преобразующего систему х= Ах+ Ви, А = аз! азз азз, В = Ьз в управляемую форму Луенбергера при следующих значениях элемен- тов матриц А и В: а) а!! = 1, агз = 2, а!з = 1, аз! =4, азз = 3, аю =О, аз! = О, азз = О, азз = 2.
Ь! = О, Ьз = О Ьз = 1' б)а!!=2, а!з=1, ам=5, аз!=1, паз=2, азз=4, аз!=3, азз=О, азз=8, Ь|=О, Ьз=1, Ьз=О; в) аы =1, ам=2, ац=З, аз!— - 6, азз=З, азз=4, ам =О, азз = 2, азз = 5, Ь! =1 Ьз=О Ьз =О! г) ан = 1, агз = 2, а!з = 3, аю = 1, атз = 2, азз = 2, аз! = О, азз = 3, азз = 4, Ь! = 1, Ьз = О, Ьз = О; д) аы = 1, аю = 5, а!з = 3, аю = 1, атз = 2, азз = 3, аз! = 1, азз = О, азз = 2, Ь! = О, Ьз = 1, Ьз = О; е) а!! = 1, аи = 1, а!з = 7, аю = 3, атз = 2, азз = О, аз! = 1, азз = 3, азз = 5, Ь! = О, Ьз = О, Ьз = 1; ж) аы =1, ам=1, ага =3, аи =3, аю=2, азз=1, аз! =1, азз =О, азз = 4, Ь! =О, Ьз = 1, Ьз =О; з)ам=3, ам=2, аю=!, ам=1, азз=4, азз=5, аз!=О, азз=2, азз=З, 5|=1, Ьз=О.
Ьз=О и)а!!=3, а!з=1, ам=1, ам=1, атз=4, аю=5, аз!=2, азз=О, азз=З, Ь!=О, Ьз=1, Ьз=О; а искомый закон управления принимает вид (:)= 28 7л. Д Преоб ования. У вляемоеть. Стабллиз емосв!ь к) а! ! = 3, агг = 1, а!з = 1, аг! = 1, агг = 4, агз = О, аз! = 2, аз2=2, азз=З. Ь|=0 Ь2=0.
Ьз=1. 1.13. Записать управляемой форме Луенбергера уравнения систем, у которых характеристическое уравнение имеет следующие корни: а) — 1,-1,— 2,— 2; б) -1,-2,— 3,— 3; в) — !+з,— 1 — з,— 2+з,— 2+з, г) — !+з,— ! — з,— 2,— 3; д) — 2,-3,-2+2,-2 — з; е) — 1,— 1,— 2,— 3; ж) — 2, — 2, — 1, — 3; з) — 3+2, -3 — з,-1, -2; и) -3 + з; -3 — з; — 2, — 2; к) — 2 + Зз, — 2 — Зз, -2, — 3. 1.14. Для объекта управления х= 021 х+ 0 и Ответы х! = х2, х2 = хз, хз = — хз — х2 + 10и, у = х!,' х! =х2, х2=хз+10м, хз= — хз — х2, у=х!; х! = хг, хг = хз + 10и, хз = -2хз — 4хг — Зх! — 10и, у=х!, х! = хг, хг = хз — 7и, хз = -4хз — 2хг — х! + 23и, у = х!, х! = х2, Х2 = хз + и, хз = — 2хз — 4хг — Зх!, у = х!,' х! = хг — и, хг = хз + 7и„ хз = — 4хз — 2хг — х! — 26и, у =х!+и; х! = хг — 7и, хг = хз + 29и. хз = — 4хз — 2хг — х! — 101и, у=х!+2и; х! = хг + 1,25и, хг = хз + 0,62и, хз = — 0,5хз — 2,5хг — 1, 5х! — 3,69и, у = х ! + 0,5и; х! =хг+2и, хг = ха — и, хз — Х4+5и, хл = — 2хе — хз — 5хг — Зх! — 16и, у = х!', х! = хг + 0,5и, хг = хз + и, хз = х4 + 0,5и, хл = — х4 — 2хз — Зхг — х! — 3,5и, у = х! ', 1.1.
а) б) в) г) д) е) з) и) к) определить алгоритмы управления, при которых характеристическое уравнение синтезированной системы имеет следующие корни: а) -1,-1,-1; б) -1,-2.-3; в) — 1,— !+22,— 1 — 2з; г) — 3,— 2,— 2; д) — 1, — 2+ з, -2 — з; е) -2, — 2, — 1; ж) -2, — 2+ 31, — 2 — Зз; з) -3, — 2+ з, — 2 — 1; и) — 2,— 4,— 3; к) -2, -2 + з, -2 — 4. 29 1.4. Омвел»м а) б) в) г) л) е) ж) з) н) к) Управляема, г) вполне управляема, д) не вполне управляема, е) не вполне управляема, ж) вполне управляема, з) не вполне управляема, н) вполне управляема, к) вполне управляема. 1.3. 1.4 х! = хз + и, хз = хз, хз = -4хз — 2хз — и, у = х»; х» = хз + О, 5и, хз = хз + и, хз = — 2и — 2хз — хз, у = х», х! = хь хз = хз + 4и, хз = 4хз — 2хз — х» — 1би, у = х», х» = хз, хз = хз + и, хз = 0,25и — хз — 0,5хз — 0,25х», У = Х!'* х! = х2 — 7и„х2 = ха + 28и, хз = — 4хз — 2хз — 97и, у=х»+2и; х! = Хз — 1,5и, хз = хз+4и, хз = — 2хз — хз — би, у = х! + и; х» = хз, хз = хз + 4и, хз = -0 5хз — 2х» — 5и, у=х»+2и; х» = хз, хз = хз — Зи, хз = -2хз — Зх» — 2и, у = х! + 2и; х» = хз + 8и, хз = хз — ! 2и, хз = х4 + Ьи, Х4 = Зби — 2х4 — 4хз — бх», у =х!., х! =хз+0,5и, хз =хз+и, хз =х4+0,5и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
