Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 9
Текст из файла (страница 9)
8. Мемед г ионической лииеориза и Рис. ЗА. будут совпадать, и в них интегралы можно удвоить, заменив верхний предел интегрирования 2я на я, т.е. записать эти формулы следующим образом: Ф! Фй о(А) = — й(Аапф — а)апфдф+ свшфдф+ 2 яА о Ф~ + й(Аапф+ а) апфдф, Ф! ээ о'(А) = — ) й(Аапф — а)соафг)ф+ ссовфг7лр+ яА Ф + й(Аапф+а)созфгЦ (3.8а) (3.86) о(А) = — (~г(Азшгя)апфй~, 2 яА~ (3.7а) о'(А) = — ~ У(Аапф) соз ИФ. 2 Г (3.76) о Выходной сигнал НЗ (рис. 3.4,6) на интервале (О,т(ч) описывается функцией о = я(Аапф — а), на интервале (ф1,фт] принимает постоянное значение с и на интервале [фз,я) описывается функцией о = й(Аяша+ а). Поэтому формулы (3.7) принимают вид 3.1. Га ионическая линеарнзацкя.
Вычисление коэффициентов Проинтегрировав (3.8а), получим 2 !ЬА/ 1 4(А) = — — ~26! — — и!п2!6! + Ьа(сов!Ь! — 1) — с(сову!2 — сову!!)+ яА~2 ~ 2 ЬА/ 1 + — ~я — г/!2+ — в1п 2!62 + йа(1 + сова!2) 2 ~ 2 Учитывая соотношения (см. рис. ЗА, а) с=6(Ь! — а), Ь2 =Ь! — 2а, Аа!п26! =Ь|, Авш!/!2 =Ь2, . Ь, , Ь, 26! = агсап —, 262 = х — вгсвш А' А' последнее выражение можно преобразовать к виду Ь, 62 Ь /Ь '12 д(А) = — вгсап — + агсмп — + — 1 — ~ — ) + !г~ А А А ~А) + — 1 — ~ — ), А>6!.
Ь, т'6,'т21 А ~А) ~' Проинтегрировав (3.8б), получим 4!'(А) = — !61-Ав!и !Ь! — ов!и!6! +с вш262 — в!и!/!! хА~ 1,2 — Й~ — Аяш !62+ авш!/!2 2 ~2 Подставив сюда с = 6(6! — а), вшу!! = 6!/А и и!ну!2 = 62/А, получим 6 62 — 62 г(А) (2 !) А>6! яА2 Вычисвеиие коэффициентов гармонической лииеармзации при несимметричных колебаниях.
Колебания на входе нелинейного звена (НЗ) будут несимметричными, если установившаяся ошибка отлична от нуля или характеристика НЗ является несимметричной относительно начала координат. Здесь мы ограничимся случаем, когда характеристики НЗ являются симметричнымн относительно начала координат и несимметричность колебаний обуславливается только наличием ненулевой установившейся ошибки. При этом принимается, что установившаяся ошибка является постоянной. В этом случае на входе НЗ (рис.
3.1,а) имеем е = ее+ Ампшт. Отсюда находим 1 1 . 1 вшмг = — (е — ео), совыг = — рв!пшт = — р(е — ео). А ' ш ыА 60 Гл. 3. Меаад аарнониеазгоя ' вали На выходе НЗ, после гармонической линеариаации, имеем ! сг = — ао + а! соа щ г + о1 зш м г. 2 Положив ао = ао/2 и подставив сюда выражения для синуса и косинуса, получим й <те + ~й(А ео) +д (А ео)Й~ (е со) где (3.96) П р и м е р З.З. Определить коэффициенты гармонической линеаризации нелинейного звена с кусочно-линейной характеристикой с насыщением (рис.
3.5,п) при несимметричных колебаниях. а) Рис. 3.5 Рещение. На рис. 3.6 показаны графики входного и выходного сигналов нелинейного звена. Из этого рисунка видно, что выходной сигнал нелинейного звена на интервалах [О, Зч[, [4~. тРз[ н [4Ч, 2я[ описывается функцией й(се + Аяша), а иа интервалах [ф» Ззз) и [таз, Зч[ принимает постоянные значения с и -с соответственно. Поэтому фор- у=о(А, ео) 1 З 9(А се) А' ' А' Сделав замену переменных ф = ю$ в формулах для коэффициентов Фурье и подставив их в последние выраженив, найдем пе ~ ( г(ее+ Амит)дф 2 2я,) о 3» о(А) = — = — ~ Де +АашЯмп434, Ь1 А яА~ о 2фг ч д'(А) = — = — ~ у(ее+ Авшие) соа<Ь~. (3.9в) А 1гА ) о 33. Гармоиическаа линев иаация.
Вычисление ко ициевтов 61 Рис. 3.6 мулы (3.9) дла коаффициентов гармонической линеаривацни принима- ют вид аз1 Фз Фа ио = — 1 це(+А вшяйзр+ сйзр+ И( о+А ип ар)Ь~- 2и ) о Оз Фз о а' сйзр+ й(ее+А ип зр)озр; Ф~ Фз о = — ~ зз(е +АйпЯипзР4зР+ свшзгзоез+ о аА~ о Ф~ Фз азз аа + к(е +А йп я вш зрозр- с йп фозр+ М(ее+ А взп зр) йп зрйзр; Фз Фз ззз и Фз д' = — ~ *к(ее+А вш зр) сов4озр+ сип узсаеозр+ згА ) о Ф Фз Фз кт + к(ее+А ип зр) сов зргззр — с сов зргзз~з+ )з(ее+А йп Я сое зщ~ зл. а. Мелзад гармонической линеаризации Из рис.
3.6, а имеем е +Аз(пзрз=Ь, с +Аз(пзрз=Ь, е +Азшзйз= — Ь, е +Аз1пзй4=-Ь. Отсюда получаем (см. Рис. 3.6, а) Ь вЂ” ео Ь вЂ” ео зЬз = агсшп —, зйз = зг — Огсз!и А ' А Ь+ ео Ь+ ео зйз = и + огсз(п —, зй4 = 2зг — згсзш А А Проинтегрировав полученные выше выражения для коэффициентов гармонической линеаризацин, с учетом последних выражений получим со=- А ! — — — ! — + + (Ь + е ) ахсзш — (Ь вЂ” е ) зг о . Ь+ео о А Ь+со Ь ео Ь+со з7 = — агсап — + вгсзш — +— зг~ А А А + !— д' =О, А ) Ь + )ео] П р н м ер ЗА. Определить коэффициенты гармонической линеарнзацнн нелинейного звена с релейной характеристикой с зоной нечувствительности и гистерезисом (рис.
3.5,6) при несимметричных колебанизх. Решение. На рис. 3.7 представлены кривые входного и выходного сигналов НЗ. Из рис. 3.7,б следует, что выходной сигнал НЗ на интервалах [О, зйз), [зйз, зйз] и [зй4, 2зг] равен нулю, а на интервалах [зри зззз] и [зрз, зр4) принимает постоянные значения с н — с соответственно. Поэтому формулы для коэффициентов гармонической линеарнзацин принимают вид ззз ззз а = — сдзЬ вЂ” сз(зр Ф~ ззз чч Фз — с 8(п зр зззр — с яп Фр зззЬ згА зз~ ззз тзз ззз ! / о' = — с сов з(зй — с сов з(зр 44 Фз 3.1. Гармоническая линеа изация.
Вычисление ко ициеитов Рис. 3.7 Для пределов интегрирования имеем (см. рнс. 3.7,а) Проинтегрировав полученные выше выражения для коэффициентов гармонической линеарнзации, с учетом последних выражений полу- чим о с /, а+со . Ь+е, а — ео . Ь вЂ” ео'~ оо = — загсам — + агсв!и — — аксаи — — агсап — у!, 2я1 А А А А Ч= 1 + 1 + + 1 — — + 1— д' = —, А > Ь+ !1е ~. 2(Ь вЂ” а)с Ь вЂ” ео ф~ = агсшп А Ь+ ео фз = я+агсаш А Ь- ео йт = я — агсв1п— А Ь+ ео ~4 = 2я — агсз1п —. А Гл. 3.
Мгеод моиичвсиод лингиривиции Задачи 3.1. Определить коэффициенты гармонической лннеарнзацин для нелинейного звена с характеристикой идеального реле (рнс. 3.8,а) при симметричных колебаниях. 3.2. Определить коэффициенты гармонической линеаризацни для нелинейного звена с характеристикой реле с зоной нечувствительности (рис. 3.8,б) при симметричных колебаниях.
г) в) Рис. 3.8 3.3. Определить коэффициенты гармонической линеарнзацнн для нелинейного звена с кусочно-линейной характеристикой с насыщением (рнс. 3.8, в) при симметричных колебаниях. 3.4. Определить коэффициенты гармонической линеарнзации для нелинейного звена с кусочно-линейной характеристикой с зоной нечувствительности (рнс. 3.8,г) прн симметричных колебаниях.
3.5. Определить коэффициенты гармонической лннеарнзации для нелинейного звена с характеристикой реле с зоной нечувствительности н гистерезисом (рнс. 3.9,а) прн симметричных колебаниях. в) а) г) Рнс. 3.9 3.6. Определить коэффициенты гармонической линеарнзацин для нелинейного звена с характеристикой реле с гнстерезнсом (рис. 3.9, б) при симметричных колебаниях. 3.7. Определить коэффициенты гармонической лннеарнзации для нелинейного звена с характеристикой люфта (рнс. 3.9,г) прн симметричных колебаниях.
З.2. Аетоколебания. Исследование симметричных аетоколебаниа 65 3.8. Определить коэффициенты гармонической линеаризации для нелинейного звена с характеристикой идеального реле (рис. 3.8,а) при несимметричных колебаниях. 3.9. Определить коэффициенты гармонической линеаризации для нелинейного звена с характеристикой реле с зоной нечувствительности (рис. 3.8,б) прн несимметричных колебаниях.
3.10. Определить коэффициенты гармонической линеарнзации для нелинейного звена с характеристикой реле с гнстерезисом (рис. 3.9, б) при несимметричных колебаниях. 3.11. Определить коэффициенты гармонической лннеаризацни для нелинейного звена с характеристикой люфта (рис. 3.9,г) при несимметричных колебаниях.
3.2. Автоколебания. Исслеаование симметринных автоколебаний Орбитальная устомчмвость. Пусть у*(1) и у($) — невозмущенное и возмущенное движение соответственно. Во второй главе при определении различных понятий устойчивости руководствовались тем, как изменяется со временем расстояннер(у*(1), у($)] = ~д'(Г) — у(1) ~ между изображающими тачками этих движений. Однако если невозмущенное движение является периодическим и оно совершается по замкнутой траектории (например, движение небесных тел), важным является то, как ведет себя изображающая точка возмущенного движения относительно траектории невозмущенного движения, а не относительно его изображающей точки.
Поэтому при рассмотрении периодических процессов используется другие понятия устойчивости — орбитальная устойчивость н асимптотическая орбитальная устойчивость. Введем следующие обозначения: Ь* — траектория невозмущенного движения, т.е. Ь' = (у: у = у*($),1 > $о); р(у, Ь) — расстояние от точки у до траектории Ь, т.е.
до ближайшей точки этой траектории. Определение 3.1. Невозмущенное движение д*(1) называется орбитально устойчивым, если для любого числа е > 0 найдется такое число б > О, что нри всех 1 > 1о расстояние от изображающей точки возмущенного движения до траектории невозмущенного движения меньше е(р(у(1),Ь*) < г), если в начальный момент это расстояние меньше б(р(у(1о), Ь') ( б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
