Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Глава 5 АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ Рассмотрим систему с одной нелинейностью (рис. 5.1, а). Такую систему всегда можно преобразовать к «стандартному» виду (рис. 5.1, 6). В нормальной форме такие системы описываются уравнениями вида х=Ах+Ьи, и=!'(О, С= — с х, (5.!) где х — и-вектор; и,С вЂ” скалярные переменные, нелинейная функция ,г'(С) удовлетворяет следующим условиям: ДО) =О, й « — йяг при г «~0.
У(0 (5.2) Уравнения (5.1) представляют собой уравнения в отклонениях, и на структурной схеме (рис. 5.!) задающее воздействие равно нулю: у =0 (у =0). Рис. 5.1. Определение 5.1. Система (5.1), или ее положение равновесия х = О, называется абсолютно устойчивой в угле (секторе) (й,„, кяг), если нулевое решение х(1) = 0 системы (5.1) асимнтотически устойчиво в целом яри любой нелинейной функции г(с), удовлетворяющей условию (5.2). Абсолютная устойчивость, как и робастная устойчивость, означает устойчивость не одной конкретной системы, а некоторого множества систем, определяемых заданным множеством Я нелинейных звеньев.
В определении 5.1 в качестве множества Я принято множество (5.2), которое обычно рассматривается при изучении абсолютной устойчивости. Естественно множество Я может быть задано иначе. Поэтому в общем случае будем говорить об абсолютной устойчивости на ай Система сравнения. Необходимое условие и критерий Основа 115 множестве (классе) Е, которое может отличаться от множества, зада- ваемого соотношением (5.2). 5.1. Система сравнения.
Необходимое условие и критерий Попова абсолютной устойчивости Дальше будем рассматривать структурную схему нелинейной системы, представленную в стандартном виде (рис. 5й,б). Передаточную функцию 1т', в операторной форме, если система задана уравнениями (5.1), можно найти следующим образом. Запишем уравнения линейной части в операторной форме: (1р — А)х = Ьи, ( = — стх, или х = (1р — А) 'Ьи, ( = — стх. Отсюда, исключая х и учитывая и = †(, получим »У»(р) = ст(1р — А) 'Ь. Используя эту передаточную функцию, уравнения (5.1) можно записать (см. также рис. 5.1, б) в виде у = 1т'.(р)и, и = Л0, 1 = — у (5.3) Наряду с нелинейной системой (5.!) или (5.3) рассмотрим линейную систему у = Иг,(р)и, и = Й~, 5 = -и.
(5.4) Эту систему при любом Й е [Й,Йьг] называют системой сравнения системы (5.3), (5.2). «Нелинейность» 1(~) = Йб принадлежит множеству (5.2) прн любом Й Е [Й,Йм]. Поэтому если система (5.3) абсолютно устойчива в угле [Й,Йы], то ее система сравнения, т.е. линейная система (5.4), устойчива (асимптотически устойчива в целом) при любом Й е [Й,Йьг].
И если система сравнения прн каком-либо Й е [Й, Йьг] неустойчива, то система (11.2) не может быть абсолютно устойчивой в угле [Й,Йьг]. Будем говорить, что система сравнения робастно устойчива в угле или на интервале [Йт,йьг], если она устойчива при любом Й е [Й,Йзг]. Из выше изложенного вытекает следующее необходимое условие абсолютной устойчивостк. Необходимое условие абсолютной устойчивости. Для того чтобы наложение равновесия системы (5.3) было абсолютно устойчиво в угле [Й,Йы], необходимо, чтобы ее система сравнения была робастно устойчива в угле [Й, Йьг].
При мер 5.1. Пусть передаточная функция линейной части имеет вид И㻠— 11(р+1) . Исследовать, является ли система (рис. 5.1,6) абсолютно устойчивой в угле [0,10]. Гл. Б. Абсолютная устойчивость 116 Решение. Проверим, выполняется ли необходимое условие абсолютной устойчивости. Для этого достаточно проверить устойчивость системы сравнения (5А) при Ь = 10. Характеристическое уравнение системы сравнения при таком коэффициенте имеет вид Аз+ ЗАт+ ЗА+ 11 = О. Определитель Гурвица 2-го порядка отрицателен: Ьт = 3 3 — ! 1 = — 2. Необходимое условие абсолютной устойчивости не выполняется. Следовательно, нелинейная система не является абсолютно устойчивой. Проблема абсолютной устойчивости сначала исследовалась прямым методом Ляпунова. Однако с начала шестидесятых годов прошлого века широко стал использоваться частотный метод.
Линейная часть устойчива. Рассмотрим сначала случай, когда линейная часть нелинейной системы (рис. 5.1,6) устойчива. Представим ее частотную передаточную функцию в виде %,(ты) = ГУ(ы) +уУ(о~). Критерий Попова. для того чтобы положение равновесия системы (5.3) с устойчивой линейной частью было абсолютно устойчиво в угле [О,Ь], достаточно, чтобы существовало такое вещественное число о, что при всех ы > О выполняется неравенство Ве(1+ уйти)ЬК,(уи) + — > О, 1 Ь (5.5а) или 1 У(ы) — уыил'(ы) > — —. Ь' (5.56) Пример 5.2. Передаточная функция линейной части имеет вид р" (р) т Ьв (Ьв,ао,амат > О). аорт+ а~р+ ат Определить, при каких значениях Ь система (рис.
5.1,6) будет абсолютно устойчива в угле [О, Ь[. Решение. Частотная передаточная функция линейной части имеет вид ЬР„Цы) = — а ют+уаиг+ат' Отсюда для вещественной и мнимой частей получаем Ьо(ат — аоыт) — Ьоа ~ы (ат — аыез)т+ (а~ы)т' (ат — аоыт)т+ (а1ы)т' Условие (5.56) принимает вид Ьа(ат — аоыт) + дйоа,ьР 1 + — > О. (ат аоыз)з+ (а,ы)т б. С Система сравнения.
Иеобходимое условие и критерий Полова Нт Если положить д = ао/аы то получим У( )= 6ва2 + — > О. 1 (а2 — а ыз)2+ (а!м)2 Последнее неравенство выполняется при любом ы > О и любом й > О. Поэтому рассматриваемая система абсолютно устойчива в угле [О,й] прн любом конечном й > О, В приведенной выше формулировке теоремы Попова не просматривается частотная сущность. Рассмотрим другую, частотную формулировку теоремы Попова. Для этого введем в рассмотрение следующие частотные функции: У,(ы) = У(м), У,(ы) = ыУ(ы), (э;(уи) = У„(ы)+уК,(ы). Последняя функция называется модифицированной частотой передаточной функцией (линейной части), а ее годограф — модифицированной амплитудно-фазовой частотной характеристикои.
Частотная (геометрическая) формулировка критерия Попова. Для того чтобы положение равновесия системы (5.3) с устойчивой линейной частью было абсолютно устойчиво в угле [О,й], достаточно, чтобы можно было провести прямую, находящую через точку ( — 1/й,уО) и называемую прямой Попова, такую, что модифицированная амплитудно-фазовая частотная характеристика полностью располагается правее этой прямой.
Модифицированная амплитудно-фазовая частотная характеристика отличается от обычной (не модифицированной) только ординатами. Линейная часть неустойчива. Пусть линейная часть нелинейной системы (рис. 5.2,а) неустойчива. Преобразуем ее следующим образом.
Охватим линейную часть отрицательной обратной связью звеном с передаточной функцией г, а к нелинейному звену подключим параллельно звено также с передаточной функцией г, выход которого подключен к сумматору по отрицательному входу (рис. 5.2,6). Преобразованная схема эквивалентна исходной схеме. Действительно, учитывая д = О, на входе линейного звена преобразованной схемы имеем: и = Я) + су — гу = /(С), т.е. тот же сигнал, что и на входе линейного звена исходной схемы. В преобразованной схеме передаточная функция линейной части имеет вид И~, = Ю,/(1 + г%,), а нелинейность — /„(С) = /(г) — гС (см.
рнс. 5.2, б). Так как при ~ ф О имеем /„(~)Я = /(с)/с — г, то неравенство т < /(С)/С < й равносильно неравенству О < /,(Ц/с < й — г. Поэтому положение равновесия исходной системы (рис. 5.2, а) абсолютно устойчиво в угле [г,к], если положение равновесия преобразованной системы (рис. 5.2, б) абсолютно устойчиво в угле [О, й — г]. Пусть преобразованная линейная часть устойчива, т.е.
все полюса передаточной функции И~„имеют отрицательные вещественные части. Га б. Абсолютная устойчивость 11В /(6 Рнс. 5.2. Тогда по теореме Попова положение равновесия преобразованной системы абсолютно устойчиво в угле [О,й — г], если выполняется неравенство Ие(1+ (фи)Иг„(у~) + — > О, нлн 1 Уь(ш) чи'~й(ш) > й — г' (5.6) где У„(ы) = ВеИИЮ) и У,(ы) = 1шж(,ты). Пример 5.3. Пусть передаточная функция линейной части имеет вид 1т', = 1О/(р — 1).
Исследовать, является ли система (рис. 5.2,а) абсолютно устойчивой в угле [0,2, 200]. Р е ш е н и е. Преобразованная передаточная функция имеет вид И'„= Игь/(1+ гИь) = 1О/(р+ 1). Отсюда для частотной передаточной функции, а также вещественной и мнимой частотных функций имеем 10 10(1 — уы) 1О 10м И'„Цы) = —, =, У„(м) = —, У„(ы) = —. гш+1 ыт+1 ыз+1 (ф+ Условие (5.6) принимает внд 10 10ш 10+ у10иР 1 из+1 ыз+1 иР+1 200 — 0,2' и оно выполняется при любых ы > 0 и о > О. Следовательно, рассматриваемая система абсолютно устойчива в угле [0,2,200]. Критерий Попова (линейная часть неустойчива).
Положение равновесия нелинейной системы (5.3) с неустойчивой линейной частью абсолютно устойчиво в угле [г, к], если все полюса преобразованной передаточной функции Иг Ю„/(1+г)Р'„) имеют отрицательные вещественные части и существует аакое вещественное число д, чао при всек ы ~ ~0 выполйяется неравен- саво (5.6). 119 Б.Д Задачи Частотная формулировка критерия Попова (линейная часть неустойчива), Полоясение равновесия нелинейной системы (5.3) с неустойчивой линейной частью абсолютно устойчиво в угле «г, й], если можно провести такую прямую Попова, что модифицированная преобразованная частотная характеристика полностью располагается правее этой прямой.
Задачи 6.1. Определить, будет ли положение (рис. 5.1,б) абсолютно устойчиво в угле «О, передаточных функциях линейной части: а) !т',(р) =; б) $Рп(р) = 10 10(о 1Р + 1). „ (р) рз+4р+ 1 ' д) !р„(р) = ; е) йтп(р) = !о(р+ !) рт+4р ' 2р+ 1 рз+ Зрз+ Зр+ 1' равновесия системы 100] прн следующих рт+4р+3' !о рз+4р' 3 +2 р р + Зрт + Зр + ! ' 4 р +зр +зр+ ! 2р+ 1 р'+ Зр'+ Зр -! 6.2. Определить, будет ли положение равновесия системы (рис. 5.1,б) абсолютно устойчиво в угле «2,!00] при передаточных функциях линейной части, приведенных в задаче 5.1. Как и в случае с устойчивой линейной частью, можно сформули- ровать частотный вариант критерия устойчивости. Для этого введем следующие частотные функции: Ппм(п~) = Пп(и~), Упм(ь~) =и~оп(ь~), 1Рпм(З<>) = Упм(и~)+УЬпм(ь~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
