Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Последнюю функцию $Р„„(уш) будем называть модифицированной преобразованной частотной передаточной функцией, а ее годограф при изменении 0 < ю < оо — модифицированной преобразованной ам- плитудно-фиговой частотной характеристикой. Используя веще- ственную и мнимую части функции !т'„„(ун), условие (5.6) можно записать в виде 1 Ппм(ь) — Ф'пм(ь) > -1, В случае неустойчивой линейной части прямая Попова — зта прямая, которая пересекает вещественную ось в точке — 1/(к — г) и имеет наклон -1/у- Гл. 5.
Абсолвмнал усмойчивосмь $.3. Покажите, что положение равновесия системы (рис. 5.1,6) ! с передаточной функцией линейной части Иг (р) = рз+Зрз+Зр+1 абсолютно устойчиво в угле [О, 4] и не является абсолютно устойчивым в угле [0,10]. 5.4. Покажите, что положение равновесия системы (рис.
5.1,6) с передаточной функцией линейной части $К,(р) = рз+ Зрз+ Зр- З абсолютно устойчиво в угле [4, 100] и не является абсолютйо устойчи. вым в угле [2, 100]. 5.5. Покажите, что положение равновесия системы (рис. 5.1,6) 1 с передаточной функцией линейной части И',(р) = р" +Зрз+ Зр-1 абсолютно устойчиво в угле [2,6] и не является абсолютно устойчивым в угле [1,6]. 6.6. Покажите, что положение равновесия системы (рис. 5.1,6) р+З с передаточной функцией линейкой части И~„(р) = рз + 2рз + Зр + 1 абсолютно устойчиво в угле [0,5] и не является абсолютно устойчивым в угле ]О, 10].
5.2. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости При рассмотрении абсолютной устойчивости класс нелинейных звеньев можно задавать с помощью квадратичной формы. Например, класс нелинейных звеньев, определяемых соотношением 7'(О) = О, а < — <,6 (а.< ~3), И) (5.7а) с помощью квадратичной формы можно определить следующим образом: Р(и,с) = ()ус — и)(и — ас) > О, и = 7(с).
(5.76) Задавая класс нелинейных и нестационарных звеньев с помощью квадратичных форм, В. А. Якубович разработал так называемый квадратичный критерий абсолютной устойчивости [26]. Эрмитова матрица и врммтова форма. Дальше при рассмотрении квадратичного критерия используются эрмитовы формы. Поэтому здесь вкратце излагаются основные понятия, связанные с этой формой. Пусть гя (! = 1,2...п) — комплексные числа и тй (1 = 1,22...м)— комплексно-сопряженные с ними числа. Вектор й = (з~ зз ... з„) является комплексно-сопряженным вектором с вектором и = (а~ аз ...
... г„)т. Если элементы Н = [Ьм] являются комплексными числами, то матрица Н' = [йы], которая получается из матрицы Н = [Ьа] путем 5.2. Квадратичный крите ий абсоиотной устойчивости 121 транспонирования и замены элементов на комплексно-сопряженные с ними числа, называется эрмитово сопряженной с Н = [Ь,ь) матри- цей. Операция эрмитова сопряжения обладает теми же свойствами, что и операция транспонировання: (А+ В)' = А*+ В', (аА)' = аА', (АВ)* = В'А*, (А')' = А, (А ')' = (А') Если к вектору-столбцу в = (г~ гз ... г„)~ применить операцию эрмитова сопряжения, то получим вектор-строку в' = (г~ гз ... г„).
В частности, если г — скалярное комплексное число, то в результате применения операции эрмитова сопряжения получим комплексно-сопряженное число: г' = г. Матрица Н =~Ьчь] называется эрмитовой матрицеи, если Н = = Н*, т.е. Ьт = Ьт. Так как Ьи = Ьи, то диагональные элементы эрмитовой матрицы являются вещественными числами. В частном случае, когда все элементы матрицы являются вещественными, эрмитова матрица является симметрической матрицей.
Квадратичная форма Н(в) = я'Нв = ~ Ьгьй;гь (5.8) сь ! Эрмитову форму, заданную в таком виде, всегда можно преобразовать и представить с помощью эрмитовой матрицы: Н1(в) = Вев'Ня = в'Н~в (Н~ = — (Н+ Н*)). 2 Для эрмитовой матрицы и эрмитовой формы знакоопределенность и знакопостоянство определяются точно так же, как и для симметрической матрицы и вещественной квадратичной формы. В частности, эрмитова матрица Н и эрмитова форма в'Нв называются положительно определенными, если в"Нв > О при всех в ф О. где Н вЂ” эрмитова матрица (Ьи, = Ььг), называется эрмитовой формой. Переменные г, (1 = 1, 2, ..., п) и элементы матрицы Н могут быть вещественными числами.
В частном случае, когда и переменные, и элементы матрицы являются вещественными, то эрмитова форма становится вещественной квадратичной формой. Эрмитова форма всегда принимает веи(ественное значение. Если квадратичная форма (5.8) не является эрмитовой (Ьи, ~ Ьь;), то она может принять комплексные значения. В этом случае на ее основе можно определить эрмитову форму следующим образом: Гл. Б. Абсолютная устойчивость 122 Критерий положительной определенности эрмитов о й м а т р и ц ы. Для тово чтобы арми тово матра!!а Н была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие: Ь|=Ь!!>О, Ьз=~ ! 4>0, ..., Ь„=деФН>0.
!Л„Ь 1 Расширение вещественном квадратичной формы до эрмнтовой. Всякая вещественная квадратичная форма н С(х) = ~ дсахьхь сь=! может быть расширена до эрмитовой следующим образом: н н С(в) = Вв ~ дььу!еь = Ве ~~! д!ьзгзь. сь=! сь=! По определению эрмитова форма С(а) должна принимать те же значения, что и вещественная квадратичная форма С(х), если з; (!' = = 1,2, ..., и) принимает вещественные значения: з; = х;. Например, вещественным квадратичным формам С!(х) = х!хз, Сз(х) = х~! — х!ха+ х~~, Сз(х) = х!(хз — 2х!) соответствуют следующие расширенные до эрмитовых формы: О!(а) = Вяу!зт, Сз(в) = 1!з!~ — Ва(2!зз)'+ Ц, !лз(в) = Вя(з!(зз — 2е!)) Если заданы два вещественных вектора х01 и х1з), то вещественные квадратичные формы от этих двух векторов !л(х1!1, х1з)) определяются как вещественные квадратичные формы от векторного переменного х = ~х1'11 =~ „,1, .
Если заданы два комплексных вектора ярд и г1з), то эрмитовы формы от этих векторных переменных !л(в10,в(т)) определяются как Гв(!1Ч эрмитовы формы от векторного переменного а = ~, ~. Аналогично 1в з ~ определяются вещественные квадратичные формы ~ эрмитовы формы от трех и более векторных переменных. Локальная связь. Минимальная устойчивость. Рассмотрим многомерную систему, которая описывается уравнением х =Ах+Вы, и= 1(с), с=Си, хб Я", с ЕЯ"', ме. В", (5.9а) или у= ьУ,(р)н, и= г"(С), С = -у„ (5.9б) б.2. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости 123 где Иг,(р) = С(1р — А) г — (гн х г)-матричная передаточная функция.
Система содержит т нелинейностей Щ) — г-мерная векторная функция). Переменные с и «являются векторными функциями времени: ~ = ~(Ф), « = Г(ф(8)) = «(1). Пусть задана вещественная квадратичная форма Г(С, «, й), и множество нелинейных звеньев задается условием Р®1), 4(1), «(1)) > 0 Чг > О. (5.10) В квадратичной форме Г(с, с, «) переменные с, с, «рассматриваются как независимые.
В частном случае какие-либо переменные в квадратичную форму могут не входить. Тогда соответствующие переменные будем опускать. Соотношение (5.10) называют локальной связью. Определение 5.2. Если выполняется условие (5.10), то говорят, что функции с(1) и «(1) удовлетворяет локальной связи с формой Р(с,с,«). Локальную связь (5.10) также будем записывать в виде .РЯ,с,«) > 0 или РЯ,с,Щ > О. Определение 5 3. Система (5 9а) или (59б) назььвается минимально устойчивой в заданном классе нелинейностей (нелинейных звеньев), если она асимлтотически устойчива в целом при какой- либо нелинейности Г(С)из указанного класса.
Рассмотрим локальную связь Р(с, и) = ()ус — и)(и — ас) > 0 в случае одномерной системы, т.е. при 1 = т = 1. Как было показано, эта локальная связь определяет тот же класс нелинейных звеньев, что и соотношение (5.7а). Этому классу нелинейных звеньев принадлежат линейные звенья и=% а<~<Р. Поэтому если система сравнения у = )б'.(Р)и и = Ж 4 = -у устойчива при каком-нибудь 7 Е [а,,д), то нелинейная система (5.9б) минимально устойчива в классе нелинейных звеньев, определяемых локальной связью (5.7а).
Нелинейность, при которой будет устанавливаться минимальная устойчивость, будем называть нелинейностью сравнения, а саму систему при этой нелинейности — системой сравнения. Квадратичный критерий. Для формулировки квадратичного критерия потребуется следующее преобразование квадратичной формы, определяющей локальную связь: Тл. б.
Абсолютная стойчиеость 124 1) квадратичная форма Г(с,с, н) расширяется до эрмитовой формы заменой переменных (, ~, н их изображениями С(з)26(з), У; 2) производится постановка ~(з) = -Ю„(з)У и тй(з) = -зЩз)У: Г(з, У) = Г( — гг'(з)У, — зй'(з)У, У). Таким образом, преобразование квадратичной формы сводится к расширению ее до эрмитовой и последукнцей замене переменных их изображениями Лапласа, найденными при нулевых начальных условиях. При этом изображение выходной переменной нелинейного звена У(з) рассматривается как независимая комплексная переменная, н его записывают без аргумента, т.
е. в виде У. Рассмотрим и качестве примера локальную связь (5.76) в случае одномерной системы. Расширенная до эрмитовой, ее квадратичная форма принимает вид Г( У) = Гфз), У( )) = ВяЩ(з) — У]'[У вЂ” ос(з)]). Подставив сюда выражение для изображения 4(з), которое определяется исходя из заданных уравнений системы при нулевых начальных условиях, получим Г(з, У) = — Ве([ОЮ,(з)У+ У]'[У+ а)К,(з)У]) = = — Ве([)уЮ„(з) + 1]*[1 + айг„(з)ЩУ[ . Квадратичный критерий (В.А. Якубович [26]). Пусть нелинейная система (5.9а) и|и (5.96) минимально устойчива в классе нелинейных звеньев, заданных локальной связью с формой Щ,~,н), и матрица А не имеет собственных значений на мнимой оси или, что то же, характеристическое уравнение ее линейной части ке имеет корней на мнимой оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
