Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Тогда ее положение равновесия абсолютно устойчиво в указанном классе нелинейных звеньев, если эрмитова форма Г(уы, У) отрицательно определена при — оо < ы < оо, т. е. выполнено условие Г(гы, У) < О при — оо < ы < со и при любом У ~ О. (5.11) При этом имеет место экспоненциальная сходимость (устойчивость), т. е. существуют постоянные С > О и е > О такие, что нри любом $ > Го выполняется неравенство [х(Ф) [ < С[я(го) [е-ь(с-и) Условие (5.11) называется частотным условием. Если эрмитову форму Г(уи, У) представить в виде Г(ты, У) = -У Н(У ) У, 5.2.
Квадратичный крите ий абсолютной ус»нойчивости 125 то частотное условие равносильно тому, что матрица Н(у«о) является положительно определенной при — оо < ю < оо. Эрмитова матрица Н(ты) положительно определена при -оо < м < < со в том и только в том случае, если она положительно определена при щ = со и детерминант от нее не обращается в нуль при — оо < и» < < оо: НЦоо) > О, бек Н(улв) ~ О при — оо < м < со.
Квадратичнын критерий можно использовать для исследования глобальной асимптотической устойчивости отдельных нестационарных и нелинейных систем. Для этого нужно задать локальную связь так, чтобы класс нелинейностей, который она определяет, включал данную нелинейность. При этом желательно локальную связь или, что то же, квадратичную форму выбирать так, чтобы класс нелинейностей, который она определяет, был бы как можно менее объемным.
П р и м е р 5.4. Исследовать устойчивость системы р'+ 4р+ (2+ созз)р = О. Решен не. Представим уравнение системы в виде р+4у+2у+п= О, и=усоаз или 1 у=-И.(.)п, ~~л(.) =,, р2+ 4р+ 2' и = усоаФ. Здесь входом «нелинейного» звена является р, выходом — и. В качестве локальной связи примем соотношение Р(у и) = рз — пз = уз — уз созз $ = рз впз 2 > О. Эрмитово расширение квадратичной формы этой локальной связи имеет вид Р(в, У) = Р(У(е), У) = У'(в)У(в) — У*У = ~У(в) / — ~Н~ .
Подставив сюда выражение для У(в) и положив в = уи, для частотного условия получим р , Г~ , ~2 ) ~ ~2 Так как это неравенство должно выполняться при У тй О, то обе части 2 неравенства можно разделить на ~У~ . Квадрат амплитудной частотной функции линейной части имеет вид 2 1 ~~л(«и»)~ = (2 и 2)2+ 1б 2 Подставив это выражение, частотное условие можно представить в ви- 1 — (2 — юз)2 — 1би 2 < О и — 3 — 12 2 — ю« < О. Гм. 5. Абсолютная стойннвость Очевидно, последнее неравенство выполняется при -оо < ы < < оо. Следовательно, положение равновесия рассматриваемой системы асимптотически устойчиво в целом. Методы построения квадратичной формы локальной связи, Чтобы воспользоваться квадратичным критерием при исследовании устойчивости каких-либо систем, нужно по заданным уравнениям системы уметь строить локальную связь, т.е.
определять класс систем, куда можно было бы включить данную систему. В зависимости от конкретного вида иелинейностей возможны различные способы задания локальной связи [26). 1) Как уже было показано, если нелинейность и = ДС) принадлежит к классу, определяемому неравенством а « — 11, то локальная УИ) связь может быть задана в виде Р(с,и) = (Я вЂ” и)(и — ас) > О. Если а = 0 и 0 <,д < со, то эта связь принимает вид Г(С,и) = и(Я вЂ” и) ~ 0 или Г((, и) = и(С вЂ” Д 'и) > О. 2) Если система содержит две нелинейности вида и! = Сг, иг = = (з или и! = Сз, иг = С', то локальную связь можно задать в виде равенства Р(с, и) = сиг — иг = О. 3) Система содержит две одинаковые нелинейности и; = ДС!, с) (1 = = 1,2), и У®,1) является неубывающей функцией переменной С! прн всех г > 0: у(с,',с) < ДЯ',с) при Я < Я'.
В этом случае локальную связь можно задать следующим образом: Р(6и) = (с! — сг)(и! — иг) > О. 4) Система содержит две одинаковые нелинейности и! = у(~!, 1) (1 = = 1,2), и функция у(сз,с) удовлетворяет следующему условию: а < дг(сь,г) " «д при всех 1 > О. В этом случае локальная связь может быть задана в виде с'(с, и) = [1т(с! — сг) — (и! — иг)][(и! — иг) — а(с! — сг)] > О. 5) Иногда локальная связь может быть задана несколькими соотношениями в виде равенств и неравенств: РЯ,С,и) =О, ! = 1,2, ..., г; РьД,С,и) > О, й=г+1,г+2, ..., р. Такую локальную связь можно преобразовать в локальную связь с одной формой, свернув все квадратичные формы в одну: Р(С,с,и) =т~ т Ря,с,и).
у=! 5.2. Кзад атачныд нраве ая абсолютной стайчивости 127 Здесь тз Ц = 1,2, ..., т) — произвольные постоянные, ту (7 = т+ + 1, т + 2, ..., р) — произвольные положительные постоянные. Локальная связь Г(С, С, и) = ч~ гдову(г„, С, и) > 0 д=! с одной формой эквивалентна исходной локальной связи с р формами. 6) Если система содержит нелинейность, которая имеет вид и = (осоз2+ Ьз(пФ)4, то ее можно представить как систему, содержащую две нелинейности вида и1 = Ссозз, и2 = Сашс.
При этом локальную связь можно определить равенством Г=с — и,— и =О. 2 2 2 Пример 5.5. Система описывается уравнениями Те1+ е1 = — й~и1 + йтиз, Тет+ ет = йэи1 — й1ит, ич =Деос), 1= 1, 2, где Т, й1, йэ — положительные постоянные, 7(е;,2) — неубывающая по переменной е; функция, удовлетворяющая при всех 2 > 0 условию 7(0,2) = О, 0 « ' 13 при е; ~ О.
Определить значения (е;, 2) е; постоянных Т,й1,й2, при которых положение равновесия системы аснмптотически устойчиво в целом. Ре ш е н и е. Найдем матричную передаточную функцию линейной части Ит = [ИЯ, где ттгь — — Ег(з)/Уь(з) (1, й = 1, 2). Для этого произведем преобразование Лапласа исходных уравнений, описывающих линейную часть, при нулевых начальных условиях: ТзЕ1(з) +.Е1(з) = -й1У1(з) + йэУ2(з), ТзЕ2(з) + Е2(з) = 1с2У1 (з) — й!У2(з).
Отсюда, положив У2(з) = 0 при определении Итп и У1(з) = 0 при определении Итм, находим Е1(з) й1 У1(з) Тз+ 1' Е1(з) й2 Итщ = — = —, Ут(з) Тз+ !' Е2(з) й2 РР21 = — = —, У,(з) Та+1' Итчч = Е2(з) й1 У2(з) Тз + 1' Гд 6. Абсолютная стойчивосо)э 128 йз Если использовать обозначение И~з = —, то матричную передаточТэ+ 1 ную функцию можно записать в виде И~)) Ю)2 Ис) Юг С помощью передаточных функций уравнение системы в изображениях Лапласа можно записать в виде Е2(з) И2(з) 1И!(з) У2(з) или Е)(з) = - тт)(з)У)(з) + И'2(з)У2(з), Ег(з) = И~г(з)У)(з) — %(з)У2(э). Нелинейности удовлетворяют локальной связи (5.12а) (5.12б) 1 Г) = е) — — и) и) > О, р Гг = ег — -иг иг > О, -Р/ Гз = (е) — ег) (и) — иг) > О, или 1 Г(е,ц) =т)Г) +тгГ2+тзГз =т) е) — — и)~и)+ -Р( 1 +в( — -щ)н~-т) — а)) — щ) >2, ьс >О, ~ 1,2 3.
Р Г(Е(з),У) =Ке т Е)(э) — -У) У)'+т Е2(э) — -У2 У2+ ~ ) + тз (Е) (з) Ег(з)] (У) Уг) Здесь е = (е) ег)2 и и = (и) иг)2 . вНелинейность» и = О удовлетворяет локальной связи: Г(е,О) = О. Примем эту нелинейность в качестве нелинейности сравнения. В этом случае система сравнения принимает вид Те)+е) =О, Тег+ег=О и представляет собой две несвязанные между собой линейные системы. Эти системы устойчивы (асимптотически устойчивы в целом). Поэтому рассматриваемая система минимально устойчива.
Так как квадратичные формы Г) и Гг похожи, дальше примем т) = = тг = т. Эрмитово расширение квадратичной формы Г(е, и) имеет внд о.2. Кпадрапшнпый и ай абсолютной устойчивости 129 1 Е(!'ш,У) = иМ'т~'-Х1(й )У1+Мг( )Уг--У1 Р 1 + т 1Рг(зо1)У1 — И~йш)У2 — -Уг Р У;+ Уг+ и[-п01и,;-пн 1г,-пи)г,+пи 1г11г, гс ) или, после перемножения и приведения подобных членов, Г(уы, У) = — Ве (т+ тз)тт1(гш) + тзтиг(уш) + — У1У, + Ф', (т+т)ьр1у.)+ м,у )+-'!!У2У;— Р, тЗЮ1(га1) + (тг + т)ни 2(гЫ) У1У2 - 1гнн 1:1и")п,Ц )]и,и).
Подставив выражения для передаточных функций, найдем Ве (т+тз)зу1(1о1)+тгррг(У4+,!! — (Т г ! + — — А т) (т+ тз)й1 + тзйг т (Тш)2+ 1 )р ( ) ( )1нн ( ) [тЗй1 + (тЗ+ т)а21(1 Туг')" В Тгг 2+ 1 Используя эти обозначения, частотное условие можно записать в виде Ранг, У) = -(АУ1У; + АУ2У2 — Ве(ВУ~У~ + ВРУТ < О или Р,(.,У) =-В ~У'Н1У )У) =-У НУ )У, где ни 1=~" .и]. нь 1=-,'1н~М~н1О 11. г=1ии1'.
Элементы Ь,ь (1, й = 1, 2) матрицы Н определяются следующим обра- зом: (т + тЗ)Й1 + тгйг т (Тш)2+ 1 13' 1 . !2Н.~1и~ 1Ь й12=йг1 = — (В+В') =— Ь вЂ” Ь -2(В В ) — — (Т )2+! Подставив сюда выражения для Е1(з) и Ег(з) из (5.12) и положив з = уы, получим Га 5. Абсолютная устойчивость Частотное условие будет выполнено, если эрмнтова матрица Н(3ы) будет положительно определенной.
Согласно критерию положнтельной определенности эрмнтова матрнца.Н(3ы) будет положительно определенной, если ее главные угловые миноры будут положительны: (т+ тз)Й1 + тзйз т 1= 11= (Т )2+! +Р>Ю ((т+ тз)Й1 + тзйз т) ~2 =Йийю — Й12Й21 = ~ (Ты)2+ 1 )3~ +- ] зй1+( 3+т)й2] (Тю)2+ 1 Так как все параметры положнтельны, первое неравенство выполняется прн -оо < ы < оо. Чтобы определить, прн каких значениях параметров будет выполняться второе неравенство, представим его в виде с (т+ т3)й! + тзйз т1 ~]ТЗЙ! + (тз+ т)йз] (Тш)2+ 1 3) ~ (Т1с)2+ 1 Так как в левой части выражение под квадратом положительно, то последнее неравенство можем записать в виде (г+ тЗ)Й1 + тзйз т (тзй1 + (тз+ т)йз] (Тю)2+1 + Р (Ты)2+1 Если обе части приведенного неравенства умножить на (Ть1)2+ 1 н положнть т = 1/Йз н тз = 1/й1, то получим й1 + 1(Ты)2+1] > 1 Йз Р Это неравенство будет выполнено прн -оо < ы < оо, если оно будет выполнено прн ы = О.
А прн ы = О последнее неравенство будет выполнено, н соответственно рассматриваемая система будет аснмптотнческн й1 ! устойчива в целом, если — + — > 1. йз )Уйз Задачи 5.7. Показать, что положение равновесия у(2) = О следующих снстем а) у+Зу+2у+и=О; б) у+Зу+Зу+2и=О абсолютно устойчиво в классе нелннейностей и = /(у, 2), определяемых локальной связью Р(у, и) = у — из > О. 5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
