Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Задачи !З! 6.8. Показать, что положение равновесия у(2) ьч О следующих снстем а) у+ 4у+ Зу+ 2и = О; б) у+ 5у+ 4у+ Зи = О абсолютно устойчиво в классе нелннейностей и = у(у,г), определяемых локальной связью Г(р,и) =уз — иг > О. 6.9. Показать, что положенне равновесия у(2) = О следующих снстем а) у+ 2у+ и! + Зиг, б) у+ Зу+ 2и! + 4иг абсолютно устойчиво в классе нелннейностей и = Ду,г), определяемых локальной связью Г(р,и!,и ) = р г — г! =О. 6.10. Показать, что положение равновесия у(2) = О следующих систем а) у+ 2у+и2+Заг„б) у+Зр+2и!+4иг абсолютно устойчиво в классе нелннейностей и = Ду, 2), определяемых локальной связью Г(у,и!, и2) = уиг — и! = О.
6,11. Показать, что положенне равновесия у(2) ьч О следующей системы 2х! + х! = — Зи! + ию 2хг + хг — — и! — Зиг абсолютно устойчиво в классе нелннейностей и = Др, 2), определяемых локальной связью Г!(х!,и!) = (х! - и!)и! > О, Гг(хщ иг) = (хг — иг)иг > О, Гз(х,а) = (х! — хг)(и! — иг) > О 6.12. Показать, что положенне равновесия у(2) = О системы Зх! + х! = -Зи! + 2ии Зхг+ хг = 2и! — Зиг абсолютно устойчиво в классе нелннейностей и = Ду, 2), определяемых локальной связью Г!(х!,и!) = (х! - и!)и! > О, Гг(хг,иг) = (хг — иг)иг > О, Гз(х, и) = (х! — хг)(и! — иг) > О. 6.13. Показать, что положение равновесия р(2) зв О системы щ х! + 2х! = -Зи! + иг, х2 + 2х2 = и! !З2 Гл.
6 Абсаеюмнея яюйчяеосюь абсолютно устойчиво а классе нелинейностей и = ~(у. Ф), определяемых локальной связью Р~(хи и~) = (х~ — и>)и~ > О, Рз(хз,из) = (хз — аз)аз > О, Рз(х,и) = (хь — хз)(и~ — из) > О. 6.14. Показать, что положение равновесия р(Ф) ш 0 следующих систем а) у + Зр + 2у + и! + из, 6) у + 4р + Зу + и~ + 2из,. в) у + 2,5у + у+ 0,5и~ + 0,5из абсолютно устойчиво в классе нелинейностей и =,г(р, Ф).
определяемых локальной связью Г(у, ип аз) уз — и~~ — из = О. 6.16. Показать, что нулевое рещение у(Ф) 0 следующих уравнений: а) р' + Зу + 2у + зш ! = 0; б) у + 4у + Зу + 2 аш ! = 0; в) р'+ Зу + 2у + 0,5 соа ! = 0; г) у + Зу + Зу + 2 сов ! = 0; д) у+2р+рз+Зрз; е) у+4у+2уз+Зуз; ж) р+2у+уз+Зуз; з) у+2у+4уз+2уз и) у+ Зу+ Зр+ 2рсое!+ уз!п! = О; к) у+Зу+Зу+усоес+ 2увшФ = 0; л) у+Зу+2у+у(сов!+О,бз!пФ) =0 асимптотически устойчиво в целом. 6Л6. Показать, что положение равновесия (хм хе) = (О, 0) следующих систем х~+х~ = -2х!з!пзФ+хзз!пз!.
а) хз + хз = х~ зш ! — 2хз аш 6) Ех~+х~ =-2х~ соез!+хзсоз 1, хз + хз = х ~ соез ! — 2хз соез Ф; в) … х~+х~ = — 2х~(1 — е ')+ха(! — е '), аз+ хз = х~(! — е ) — 2хз(! — е ); -В . Е 2х ~ + х~ = -Зх ! зшз ! + хз АР 1, г) 2хз+хз =х!юп ! — Зхзаш Е 2х~ +х~ = -Зх~ созе!+ 2хзсоез1, д) 2хз+ха = 2х~ соез! — Зхзсоетт; 5.2. Оавеам 2 х~ + х~ = — Зх~ (1 — е ') + хт(1 — с '), е) 2хт+хе = х!(1 — е ) — Зхз(1 — е ); -Ф . ~ х! + х~ = — 2х| (1 — е м) + хз(1 — е а), хт+хз =х~(! — е ) — 2хт(1-.
е ); 2х! + х! = -Зх! зшз ЗФ+ хтап~ЗФ, з) 2хт+ хт = х! зш 3$ — Зхззш 31; Е Зх1+х = — 2х~ап й+хззЬР21, и) Зхт + хт = х| зш й — 2хт вш й; Зх~ + х1 = — 4х! сове 5$+ 2хтсаР 51, к) Зхт + хз 2х~ сове 51 — 4хз соР 5! всимптотически устойчиво в целом. Ответы Ответ: БЛ. в) будет; б) будет; в) будет; г) не будет; д) не будет; е) будет; ж) не будет; з) не будет; и) будет; к) не будет. 6.2. в) будет; б) будет; в) будет; г) будет; д) будет; е) будет,ж) не,будет; з) ие будет; и) будет; к) будет. Глава 6 ЛИИЕАРИЗАЦИЯ ОБРАТКОИ СВЯЗЬЮ Пусть система описывается уравнением (6.1) х=1(х,и), хЕВ", иЕВ, где г(х,и) — гладкая функция в некоторой окрестности П(0) начала координат. Начало координат является положением равновесия: г(0,0) = О.
Здесь х — вектор состояния,и — управление. Напомним, что функция называется гладкой в некоторой области, если она сама и ее производная по всем своим аргументам являются непрерывнымн в этой области. Самым распространенным методом анализа и синтеза систем в рассматриваемом случае является «обычная» линеаризацня — линеаризация, основанная на разложении нелинейной функции в окрестности точки (функции), определяющей заданный режим, в ряд Тейлора и отбрасывании нелинейных членов. Обычная линеаризация заменяет исходную нелинейную модель приближенной линейной моделью, и она обладает рядом недостатков.
Эти недостатки состоят в следующем. 1) Устойчивость и требуемое качество системы управления, синтезированной на основе обычной линейной модели, гарантируется лишь в малой окрестности заданного режима. При этом размеры этой окрестности не известны. При больших отклонениях требования к качеству системы могут не выполнены. Более того, система может быть неустойчива.
2) Если заданный режим является функцией времени, то линеаризованная модель становится нестационарной, и анализ и синтез систем не намного упрощается. 3) Способы синтеза линейных систем управления, основанные на обычной линеаризации, позволяют получать только линейные законы управления. В то же время известно, что нелинейные законы управления во многих случаях обеспечивают лучшее качество управления.
бд. Некоторые сведения из дифференциальной геометрыи 135 6.1. Некоторые сведения иа дифференциальной геометрии Прн последующем рассмотрении вопросов лннеарнзацнн обратной связью потребуются следующие понятия: производные н скобки Лн, днффеоморфнзмы, ннвалютнвность, ннтегрнруемость системы линейно независимых векторов. В этом параграфе будут рассмотрены необходимые сведения, связанные с этими н некоторыми другими понятиями.
Производные и скобки Ли. Пусть а(х) — гладкая скалярная функция векторного переменного (а: В" — В) н с(х) — гладкая векторная функция (Г: В" — В"). /д д д~ Ниже используется оператор Ч = ~ — — " — ). Он равдх1 дхз дх» й носнлен дифференциальному оператору — — оператору днфференцндх ровання по векторному аргументу. Прн применении этого оператора к скалярной функции а = а(х) получим вектор-строку йа /да да да1 йх (,дх~ дхз дх») А прн применении этого оператора к векторной функции с = с(х) получим матрицу дЛ дЛ дЛ дх~ дхз дх„ дЬ дЬ дЬ дх~ дхз дх„ дУ дУ дД дх~ дхз дх„ Определение 6.1.
Производной Ли скалярной функции а = = а(х) по векторной функции 1 = с(х) называется скалярная функция (обозначается ЬГа), определяемая соотношением йа ~ да Ага = — с = Час = 7 — Л. Старшие производные Ли рекурсивно определяются следующим об- разом: й~~а = йу(й~~ 'а) = Сг(У» ~а)с, 1= 1,2, ..., и. Гл. 6. Линеаризация обратной связью 1Зб Нулевая производная Ли функции а = а(х) по Г = г(х) есть сама функция а = а(х): Ь~уа(х) = а(х).
Высшие производные по другой векторной функции и(х) определяются аналогично: уеду уа = уг(у уа) = ~7(Ьуа)В. Пусть задана система уравнениями состояния и выхода х = г(х), у = а(х). Первая и высшие производные по времени выходной переменной у равны соответственно первой и высшим производным Ли функции а(х) по функции у(х): да. да у = — х = — Г(х) = Ьуа(х), дх дх у = — 1(х) — — [Ьуа(х)[1(х) = Ьуа(х), ду д дх дх Точно так же, если задана скалярная функция 1У(х), то ее производная в силу уравнения системы будет равна производной Ли этой функции по т(х): У(х) = — х = — Г(х) = ЬуК дх дх Пусть Г(х) и я(х) — две гладкие векторные функции: Г: В" — Я", и: В" — Я". Производная Ли от векторной функции и(х) по векторной функции г(х) является векторной функцией и оп~делается аналогично производной Лн от скалярной функции: Еуй = — Г.
ах Скобки Ли функций Г(х) и и(х), к определению которых сейчас переходим, обозначают [Г,я[ или айуй. Второе обозначение особенно удобно при записи скобок Ли второго и более высокого порядка. О и ре де лен не 6.2. Векторная функция, определяемая соотно- шением айуй т [Г, я) = ~уй г — %Т я = Ьуя — ЬеЕ, называется скобками Ли функций Г(х) и и(х). Скобки Ли высокого порядка рекурсивно определяюгпся следующим образом: айьуй=аау(аду 'й) = [г,аау 'й], й= 1,2,... Скобки Ли нулевого порядка функций Г(х) и и(х) равны н(х): ааоуи(х) = и(х). Пример б.!. Пусть функции Цх) и и(х) имеют вид б.
1. Иекоторые сведения из д ренциальной геометрии 137 Определить скобки Ли первого и второго порядков этих функций. Решен не. Производные функций г(х) и и(х) по х равны дЛ д71 дй д~ дх1 дхт ~ 0 11 дб д.6 дат Зх~ 0 дх дх( дхт !'О 01 дут ддт 1О О! дх) дхт дх) дхэ Поэтому скобки Ли первого порядка имеют вид 0 0 хт 0 ! 0 — 1 Производные скобок Ли по х равны дх ~ 00 и соответственно для скобок Ли второго порядка имеем ад~~у = аду(адуу) = У(адуд)7' — ~7Уаг(уу = 0 0 хз Зхт 0 0 Зхэ1 Диффеоморфизмы и преобразование нелинейных систем. Определен ие 6 3. Гладкая векторное функция в = Ф(х)(х, з Е б Я"), определеннал в области П, называется диффеаиорфизмом в области П, если существует однозначная обратная функция х = Ф ((з), и эта функция является гладкой. Если функции Ф(х) и Ф '(в) определены и являются гладкими на всем простран- стве В", то Ф(х) называют глобальным диффеоморфизмом.
Диффеоморфизм может использоваться для преобразования нели- нейных систем. Пусть система описывается уравнением х = г(х) + и(х)и, и з = Ф(х) — диффеоморфизм. Так как з = — х = — !1(х) + б(х)и1 дФ(х), дФ(х) дх дх то, учитывая, что существует обратное преобразование Ф '(г), полу- чим в = Г(з) + й(в)и, где г(з) = т(х) ~ , й(з) = — к(х) дФ(х) ! дФ(х) в=о '(*) е о '(*) Гл. б. Лине изация обратной связью Теорема 6.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
