Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Внутренняя динамика описывается последними п — г уравнениями в нормальной форме (6.106): в<з) = т(зО),я1з)). В общем случае эти уравнения зависят от внешнего состояния яО). Однако, когда управление таково, что выход тождественно равен нулю; у ш О, внутренняя динамика не зависит от переменных внешнего состояния. Определение 6.9.
Нульдинамикой нелинейной системы называют ее динамику нри условии, что заход тождественно равен нулю (у = 0). Так как при у ив е 0 все производные по времени выхода равны нулю, уравнение нуль-динамики в нормальной форме (6.10) имеет внд в()) 0 я1т) те(0 в1з)) Управление, требуемое для поддержания я0) = О, получается из соотношения й, = а(яО), в(а)) + Ь(и('), х('))и = 0 а(0, вбй) и имеет внд и =— з(0, в(з) Рассмотрение нуль-динамики связано с тем, что в общем случае нуль-динамика описывается более простыми уравнениями, чем внутренняя динамика, и в то же время исследование нуль-динамики позволяет судить об устойчивости внутренней динамики.
В случае стабилизации локальная асимптотическая устойчивость нуль-динамики гарантирует асимптотическую устойчивость внутренней динамики. Для задачи слежения локальная (неглобальная) экспоненциальная устойчивость нуль-динамики гарантирует устойчивость внутренней динамики, если желаемая траектория и ее производная до (г — 1)-го порядка принимает малые значения. Нуль-динамика является внутренним свойством нелинейной системы, и ее устойчивость не зависит от выбора закона управления о = о(в0),у„) и желаемой траектории.
Если относительная степень нелинейной системы равна ее порядку, то линеаризация обратной связью по выходу полностью линеарнзует систему, и нелинейная задача синтеза сводится к линейной. Если же относительная степень меньше порядка системы, то лннеаризация обратной связью по выходу только частично линеаризует систему, и пригодность синтезированного на основе линейной модели закона управления зависит от устойчивости внутренней динамики.
Изучение внутренней динамики может быть упрощена, если его заменить изучением нуль-динамики. Гя, б. Ланваразация обратной связью Задачи 6.20. Определить устойчивость нуль-динамики следующих управляемых систем: Х2 + Хз, з хз, -х~ — хг+ и; Хг+ Хз, з ХЗ. -х~+ и; х~ = а) хг= аз = х1 = б) хг= хз = х~ = г) х,= ХЗ = Хг+*з з, — хг+и х~ = в) хг= хз = х~ = хз = Хг =Хг, хг = хз+ и, 2 хз = — хг — хг+ хз + и х1 = Х2 = х3 х~ = Х2 = хз = 6.21. Определить устойчивость нуль-динамики следующих управляемых систем: А=хг, Х2 = ХЗ+Х4 з ХЗ Х4 Х4 = — х1 — хз+и; хг =хг, Хг = Ха+ Х4, з 2 ХЗ =Х4 б) а) х4 = — хг — х4+и; х~ = хдг+хз, Х2 = Хлг+Х4 хз Х4+ и 2 Х4 = — х~ — 2хг — хз — 2х4 х1 Х2 хз Х4 в) е) д) '( -( х| =хг, з Х2 = ХЗ+ и 2 хз = — х~ — ха+и х! Х2+ и з хг = — 2хг+ха, з хз = — 2Х1+2хз+и Х~ =Хг+ХЗ, 2 Х2 = Хг+ Х4, з хз = х4+и, г Х4 = -2хг — Х4; '( хз, 2 хз+и, — х! — хг — хз + и; Хг, з ха+и„ -Хг — ХЗ + и' хг3+ и 2х2 + хзз — 2х1 — хг — 2хз + и; хгз+ и, — 2хг + хзз — хг — 4хз+ и.
= 2+ХЗ, з =Хг+Х4, = Х4 + и, = -2хг — хз+ 2х4, = Хг+ХЗ 2 = Хат+ Хи =Х24+и, = хг — хз — 2х4; 6.4. Омвемм 159 Х! =Х2+Хз, з Х2 = ХЗ + ХЗ + В, з Х! = Х2 + Хзз, Х2 =ХЗ+ХЗ+Ю, з ХЗ =Х4, х4 = -х! — 2хз + х4, Х! = Х2 + ХЗ, з Х2 =Хз+ХЗ+и, з ХЗ =Х4, х4 = -х! +Хз — 2Х4 ж) з) ХЗ = Х4, х4 = -хз — 2хз — х4; Х! =ХЗ+ХЗ, 3 хз = ХЗЗ+хз+и, и) ХЗ =Х4, х4 = -хз — 2Х4; Ответы 6.1.
а) Ц42(х) = х! + 2; б) Ца(х) = 4х22, в) Х,ЗГгг(х) = х! + 4алз, г) Хза(х) = 2хз + 2 д) Хза(х) = бх42; е) Хза(х) = х!хз + 4хзз., ж) Хуа(х) = х! + 2х!х22+ 4Х~!х~~; з) Хзуа(х) = 2Х! +4ХЗ~, и) Хг~а(х) = = х! + бх4. к) Х,за(х) = 2хз+бх4. 6.2. а) айу6= ~ Х!; б) аду6= ~ ); в) аду8= ~ ~; г) а4)у6= ; д) а4)у6 =; е) адГ6 =; ж) аИГ6 = з) аг)!8 =; и) айуц =; к) айуц = 6.3. а) а4ф~8 =; б) а4ф8 =; в) аЯ~8 =; г) а4ф6 = —; д) агХЗ 8 =; е) ад2~6 =; ж) агф6 =; з) агг' ц = 6.6.
а) гапбУ = 3; б) гап8У = 3; в) гап8У = 2; г) гап8У = 3 при хз ~ О и гапбУ = 2 при хз = О; д) гап8У = 1; е) гап8У = 3 при хз ф О и гап8У = 2 при хз = О; ж) гапкУ = 3 прн хз ф О и гап8У = 1 при хг = О; з) гап8У = 3 при хз ф О и гап8У = 1 при хз = О; н) гап8У = 3 при хз 24 О и гап8У = 1 при хз = О; к) гап8 У = 3 при х!Хз ф О, гап8 У = О при хз = О, гап8 У = 1 при х! = О и хз уЗО. 6.8. а) линеаризуема; б) линеаризуема; в) не лннеаризуема; е) лннеаризуема; ж) не линеаризуема; з) линеаризуема; и) не линеаризуема; к) линеаризуема. 6.9. а) г! = х!, 22 = х! + хз, з з з н = — [ — х! — хзз+ Зхзз(х! + ХЗ вЂ” х!) + о]. Зхз Гл.
6. Лииеаризалил аб аа1иод салзью б) 2! = Х2, 22 = — Х1 — Х2+Хз, 3 и = — (хз — (1 — Зхзз)(х1+ хз — хзз) + е]; в) 2! = х1, гз = 2хз+ хз, 1 и = -[-Зхз!(2хз+ х31) — 2(хз+ Х22) + о]; 2 Г) 2! = Хз, 22 = — ХЗ+Х1Х2, 1 и = — ] — хз(х! + х31) — (х! — 1)(х1хз — хз) + о]; х! — 1 д) 2! = х1, 22 = 2хз+ Хз 23 = бхз+ 9хззхз+ 2хз+ Зхзхп 1 и = ] — (бх21 + 9хззх21)(2хз + хзз) — (18хзхз + бхзх31) х 6+ 9х22 х (Зхз + Х31) + (б + 9х22)хз + е]; е) с! =х1, 22=2хз+Х1. 23=За](2хз+х!)+2(ЗХЗ+4), 1 и = — -](12х1хз+15х4)(2хз+х1)+(бх1+10хз~)(Зхз+хзз)— б -6(х! + хз) — е]; ж) г! =х1, 22=3хз+хзз, гз=ЗХЗ+Зхззхз+бх!Хз+бх!хз, 1 и = ( — 6(хз+хз)(ЗХ2+хз~) — б(хзхз+х1+Зх1х22)х + 2 х (хз + 2х1х2) + З(1 + х22) хз + э]; 3) 21 = х1 + хз, 22 = хз — х1, зз = — х2 — хлз — бхз(х1 + х2), 1 и = ( — 5х43(хт+ хзз) — 2хз(1 + 5х34) + 5хзз(х1+ хз) х 1+ бхз4 х (хз + 4х! + 4хз) — и]; И) 3! =Х1, 22=Х2, ЗЗ=ХЗ, 24=Х4+Х!Х2, и = — (Х2 2+ х! хз) + е; к) г! = из-х4, 22 = х,, зз =За'-,хз, 24 = бх1хз+Зхзхз, 3 и = — — (бх + 18х1хзхз — е).
з Зхз 1 6.20 а) асимптотически устойчива в целом; б) асимптотически устойчива в целом; в) асимптотически устойчива в целом; г) асимп- тотически устойчива в целом; д) асимптотическн устойчива в целом; е) асимптотически устойчива в целом; ж) не устойчива; з) не устойчи- ва; и) не устойчива; к) асимптотически устойчива. 6.21. а) не устойчива; б) не устойчива; в) аснмптотически устой- чива; г) не устойчива; д) асимптотически устойчива; е) не устойчива; ж) асимптотически устойчива; з) не устойчива; и) асимптотически устойчива; к) ие устойчива.
Глава 7 СИСТЕМЫ БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА При рассмотрении систем управления большой размерности широко используется методы, сводящие исследование исходной системы к исследованию более простых моделей. Одними из таких методов являются мелгод сравнения и мееюд декомпозиции. Метод сравнения состоит в построении и исследовании системы сравнения, которая проще исходной системы.
Метод декомпозиции состоит в разбиении исходной системы на несколько подсистем и рассмотрении последних. 7.1. Декомпозиция и децентрализация Обычно системы большой размерности состоят из нескольких подсистем, или их условно можно разбить на искусственные подсистемы. При этом основным методом исследования систем большой размерности является мегяод декомпозиции — метод, при котором исходная система разбивается на более простые естественные или искусственные подсистемы. Эти подсистемы получаются зависимыми.
Далее, путем пренебрежения взаимосвязей получают независимые подсистемы. После этого каждая из подсистем анализируется отдельно и для каждой нз них строится регулятор. Затем производится агрегирование — объединение подсистем в одну систему с учетом отброшенных связей— и последующее исследование. Преобразование Луенбергера. При рассмотрении децентрализации по управлению используется преобразование Луенбергера ((.иепйегдег).
Это преобразование позволяет представить уравнения системы в таком виде, при котором каждое уравнение включает не более одной управляющей координаты. Пусть система описывается уравнением х = Ах+ Вц, х е г1", н е г1'. (7.1) Заданы 1 (1 — размерность вектора управления) целых чисел сн (1 = = 1,2, ..., 1), сумма которых равна и: ~',г, сн = и. Преобразование 1б2 Гл. 7. Системы большой размерноспш.
Векторная ф нкння Ляпунова х = Тя называется преобразованием Луенбергера, если матрица пре- образования Т имеет вид т = [В(') АВ(') ". А"'-'ВРО В(') АВ(2) " А" -'В(') " В(2) АВ(() ". А" -'В(')1, (7.2) где В(0 (1 = 1,2, ., 1) — 1-й столбец матрицы В. При таком преобразовании в преобразованном уравнении й = Ах+ Ви, А=Т 'АТ, В=Т 'В, матрица В имеет вид ь(1)— О~ 0( -" Ь(О где 0; (1 = 1,2, ..., 1) — столбец из нулей размерности и,.
Пример 7.1. Дана система уравнений Произвести преобразование, при котором каждое ураянение содержит не более одной управляюшей координаты. Реп2е н ие. Воспользуемся преобразованием Луенбергера. В данном случае матрицы А и В имеют вид В(') = 2, В(2) = 1 Примем и~ = 2 и п2 = 1. Тогда имеем 2 АВ(') = 3, Т= [В(~) АВ(~) В(~)) = 5 А= [ (2) о " о 02 Ь(2) ... О, В= х~ =х2+и1+2и2, х2 =хз+2и(+и2, хз = х1 + хз + Зи~ + и2. -2 8 — 4 Т'= ! — 5 3 ! 1 — 1 7.1. Декомпозиция и децентрализация 1БЗ Для матриц преобразованного уравнения получаем 4 7 — 3 А=Т 'АТ= — 2 — 3,5 2,5 1 15 -05 В=Т !В= Уравнения в новых переменных в скалярной форме принимают вид з! =4з!+7зз — Ззз+и!, зз = — 2з! — 3,5ез+ 2,5зз, зз =з!+1,5аз — 0 5зз+вз.
Пример 7.2. Система описывается уравнением х = Ах+ Вц, х е Л~, ц е Л~, Децентрализация по входу. Для того чтобы можно было синтезировать локальные регуляторы для каждой подсистемы отдельно, нужно произвести децентрализацию по управлению (входу). Если декомпозиция не произведена и система описывается уравнением (7.!), то к нему нужно применить преобразование Луенбергера (7.2), представив п в виде суммы 1 целых чисел пь(т! = 2 пь). ь=! Затем произвести декомпозицию, включая в подсистему Я! только те уравнения, которые содержат компоненты локального управления этой подсистемы и, быть может, уравнения, ие содержащие управление. Последние с точки зрения децентрализации могут быть включены в любую подсистему. Если система состоит из г подсистем и задается уравнениями хгь! = Аьхйб+ ~~ Аь1х(!3+Вин, х(ь)ЕЛ"', нЕЛ!, Й = 1,2, ..., г, у=! уфь где Аь — (пь х пь)-матрица, Аьу — (пь х пз)-матрица, Вь — (пь х 1)- матрица, то преобразование Луенбергера можно применить каждой подсистеме в отдельности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
