Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(4.2) Начало координат, т.е. точка х = О, является положением равновесия: Х(О, т) = О при всех 1 > 1е. Правая часть приведенных уравнений зависит явно от времени. Система, которая описывается такими уравнениями, и сами зти уравнения называются неавтономными сисявмами. 95 4.2. Теоремы об стоачивости Решение уравнения (4.1) при начальном условии х(1е) = хе будем обозначать х(хе,1). Следовательно, справедливо равенство х(хе,то) = хэ Рассмотрим функцию У(х, $). Производная этой функции по времени, вычисленная на траекториях системы (4.1), имеет вид йУ(х,1) сп дУ(х, 1) дУ(х, 1) дУ(х, 1) дУ(х,1) Про эту производную говорят, что она является (полной) производной по времени функции У(х, 1) в силу уравнения (4.1) или производной по времени функции У(х), вычисленной в силу уравнения (4.1).
Теорема 4.1 (Теорема Ляпунова об устойчивости). Полажение равновесия х = 0 неавтономной системы (4.1) устойчиво по Ляпунову, если существует положительно определенная функция У(х,1) такая, что ее производная по времени в силу уравнения этой системы (4.1) является отрицательно полуопределенной функцией. Функции, которые удовлетворяют теоремам устойчивости или неустойчивости, т.е. по которым можно судить об устойчивости или неустойчивости системы, называются функциями Ляпунова.
Теорема 42 (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Положение равновесия х = 0 неавтономной системы (4.1) асимптотически устойчиво, если существует такая положительно определенная функция У(х,1), допускающая бесконечно малый верхний предел, что ее производная по времени в силу уравнения (4.1) является отрицательно определенной функцией.
Пример 4.2. Исследовать устойчивость положения равновесия системы х~ = — е 'х~+е хю хз = -2е х~ — х2. — 2с 3 Решение. Функцию Ляпунова будем искать в виде У(х) = ха, + + сгх~~ (сг > О). Производная по времени от этой функции в силу заданных уравнений имеет вид У(х) = 2х~х~ +2ахтхз = — 2хт~е '+2х~хте и — 4сгхзх~е м — 2ахз~. Если положить а = 112, то производная принимает вид У(х) =-2хте '-х~з н становится отрицательно определенной функцией. Следовательно, положение равновесия заданной системы асимптотически устойчиво.
Ги 4. Метод функций Ляпунова Теорема 4.3 (Теорема об асимптотической устойчивости в целом). Положение равновесия х = 0 неавтономной системы (4.1) асимптотически устойчиво в целом (глобально асимптотически устойчиво), если существует такая положительно определенная функция У(х,з), допускающая бесконечно малый верхний предел и бесконечно большой нижний предел, что ее производная по времени в салу уравнения этой системы является отрицательно определенной функцией. Здесь, естественно, предполагается, что функция $'(х,1) является положительно определенной функцией, ее производная отрицательно определенной функцией на всем фазовом пространстве В".
Пример 4.3. Исследовать устойчивость положения равновесия системы х~ = -(1 + ейп т)х~ + хз — хы 3 з хз = — х1 — хз — е хз. -й 5 Решение. Функцию Ляпунова будем искать в виде 1'(х) = ха~+ + ох~ ~(сг > 0). Производная по времени от этой функции в силу заданных уравнений имеет вид 'г'(х) = 2х~х~ + 2ахзхз = 2х~( — (1+ з1п 1)х~ + хз — х~]+ + 2ахз( — х1 — хз — е 'х~з). Если положить а = 1, то кандидат на функцию Ляпунова становится положительно определенной функцией, а производная принимает вид у(х) = — 2[(1+ ипз1)хз, +хя, +хзз+ е 'хаз] и становится отрицательно определенной функцией.
Кроме того, эта функция допускает бесконечно большой нижний предел. Следовательно, положение равновесия рассматриваемой системы асимптотически устойчиво в целом. Теоремы об устойчивости автономных систем. Пусть система описывается уравнениями х, = Хч(хи ха, ..., х„), 1 = 1,2, ..., и (4.2а) или в векторной форме х = Х(х). (4.26) Начало координат, т.е. точка х = О, является положением равнове- сия: Х(0) = О. Правая часть приведенных уравнений не зависит явно от времени. Система, которая описывается такими уравнениями, и сами эти уравнения называются автономными системами. 93 4.2.
Тео емы об устойчивости При исследовании устойчивости автономных систем в качестве функций Ляпунова используются функции У(х), не зависящие явно от времени. Производная по времени функции У(х) в силу уравнений (4.2) определяется следующим образом: — — Х~(х) = — Х(х). йр (х) " абак) и (х) дс 2;д, д Теорема 44 (Теорема Ляпунова об устойчивости). Лоложение равновесия х = О автономной системы (4.2) устойчиво по Ляпунову, если существует положительно определенная функция $~(х) такая, что ее производная по времени в силу уравнения втой системы является отрицательно полуопределенной функцией.
Пример 4.4. Исследовать устойчивость системы, которая описывается уравнениями х~ = хю хз = -хп Решение. Функцию Ляпунова будем искать в виде квадратичной формы 1/(х) = хз~ + 2ах~ха + 13хзз, где а н,д — неизвестные параметры. Согласно критерию Сильвестра зта форма будет положительно определенной функцией, если выполняется неравенство Ьт = 13 — ат > О. Производная по времени квадратичной формы в силу заданных уравнений имеет вид $'(х) = 2х~х1+2ах~хз+2х1хз+2Яхзхз =.
= 2х~хз + 2ахз з— 2ах~~ — 213хзхь Если принять а = О и 13 = 1, то квадратичная форма будет положительно опзоеделенной, а ее производная будет равна нулю, т.е. функция У(х) = х, + хз зУдовлетвоРЯет УсловиЯм теоРемы ЛЯпУнова. Следовательно, положение равновесия х = О устойчиво по Ляпунову. Пример 4.5. На тело с массой та действует сила е', обладакнцая следующими свойствами: Г = — у(у), Т(0) = О, у(у)у > О при у 31 О. Движение тела описывается уравнением щу = е или в нормальной форме уравнениями 1 х~ = хз, хт = — — Дх,). гп Исследовать устойчивость положения равновесия х = О. Гл.
4. Метод нкций Ляпунова 98 Ре ш е н и е. В качестве кандидата на функцию Ляпунова рассмотрим полную энергию. Кинетическая и потенциальная энергии соответственно имеют вид э т 2 2 Иг = =, П = Р(у)йу = У(х,)й*,. 2 2 э" е1 Кандидат на функцию Ляпунова принимает вид т НЗХ2 1г(х) = 14г+ у = — 2+ ~(х~)йх,. 2 еь 3 Эта функция является положительно определенной. Ее производную по времени в силу уравнения движения 1 У(х) = шхзхз + Дх )х1 = -пзхз — Дх ~ ) + У(х1) хз = О можно рассматривать как отрицательно полуопределенную.
Следова- тельно, невозмущенное движение устойчиво. Теорема 4.5 (Т е о р е м а Ляпунова о б а с и м п т о т и ч ес к о й у с т о й ч и в о с т и). Положение равновесия х = О автономной системы (4.2) асимнтотически устойчиво, если существует такая положительно определенная функция г'(х), что ее лроизводная ло времени в силу уравнения этой система является отрицательно определенной функцией. Так как функция Ъ'(х) непрерывна и равна нулю в начале координат, то она допускает бесконечно малый верхний предел.
Поэтому эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 4.2. Пример 4.6. Исследовать устойчивость положения равновесия х = О системы х1 = -х~ +2хз, з Х2 — Х! . ЗХ2 з Решение. Для решения этой задачи воспользуемся методом разделения неременнак, предложенным Е.А. Варбашиным (3]. Метод состоит в том, что функция Ляпунова ищется в виде функций, которая сама и ее производная представляют собой сумму функций, каждая из которых зависит только от одной фазовой переменной: Ъ'(х) = ~ Р<(хг), У(х) = ~ ~Ф;(х,).
4.2. Тес об устойчивости 99 В соответствии с этим методом в качестве кандидата на функцию Ляпунова принимаем функцию Ъ'(х) = Р!(х!) + Рз(хз). Производная по времени от функции в силу уравнений заданной системы имеет вид йР!, йРт . "Р! з йР! "Рт "Рт з р'(х) = — х! + — хт = — — х! + — 2хз — — х! — — Зх~т. йх! йхт дх! !Ь! йхз <Ьт И чтобы она представляла сумму функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, разность средних членов справа в последнем соотношении должна быть равна нулю: йР! йРз йР! / йРз / — 2хт — — х! =0 нлн — х! = — 2хз.
дх! <Ьт йх! йхз Так как левая часть зависит от х!, а правая часть от ха, то последнее равенство возможно, если обе части являются константами и равны, например, единице. Тогда имеем иР! йР2 — = х!, — = 2хз. !Ь! ' йхз Отсюда, после интегрирования, получаем 1 Р! = -х!, Рз = хз, 'ч'(х) = Р!(х!) + Рз(хз) = -х! + хт. 2 2 Производная по времени от функции кандидата на функцию Ляпунова имеет вид ! 3 2 У(х) = — — хз — — Зхз = — (х4+бхч).
Нх! (Ьт Итак, полученная методом разделения переменных функция является положительно определенной, а ее производная в силу уравнений рассматриваемой системы — отрицательно определенной. Следовательно, положение равновесия х = 0 асимптотически устойчиво. Теорема 4 б. (Обобщенная теорема об асимптотической устойчивости). Положение равновесия х = 0 автономнои системы (4.2) асимитотически устойчиво, если существует такая иоложительно определенная функция Ъ'(х), что ее производная ио времени в силу уравнения этой системы является отрицательно полуоиределенной функцией, и она обращается в нуль вне начала координат на множестве М С Р, не содержащем целых траекторий [3[.
Целой траекторией (или полутраекторией) системы называется фазовая траектория в пространстве Я", соответствующая решению уравнения этой системы х(хо, Ф) (хо = х(!о)) на всем интервале времени бо < Ф < со. Так как при хо = 0 решение х(О, С) = 0 при всех б > йо, !я. 4. Мев!од фунняай дян нова то начало координат х = 0 соответствует целой траектории.
Если множество М задается уравнением !р(х) = 0: М = (х:!р(х) = 0), ср(х)— гладкая (т.е. с непрерывными частными производными по всем своим аргументам) функция, то условие отсутствия в М целых траекторий можно записать следующим образом: — х! = — Х(х) = йгаг(!р(х)Х(х) ,-а О. снр . Фр (4.3) Это неравенство должно выполнятся на множестве М, т.е. при условии !р(х) = О. Множество М = (х: !р(х) = 0) представляет собой поверхность, н последнее условие означает, что вектор скорости изображающей точки не лежит на ее касательной плоскости.
И, следовательно, если изображающая точка попадает на поверхность (множество М), где производная функции Ляпунова У(х) = О, то она сразу же ее покидает и оказывается в области, где У(х) < О. П р н мер 4.7. Исследовать устойчивость положения равновесия х = 0 системы х! =хз, ха=-х!-хз.
з Р е ш е н и е. Воспользуемся методом разделения переменных. Согласно этому методу имеем У(х) = Р!(х!) + Рз(хз). Производная по времени от функции в силу уравнений заданной системы имеет вид <Ж "й'! <Ж "Рз з У(х) = — х! + — хз = — хз — — х! — — хз. !гх! 6(хз г(х! ахз г(хз И чтобы она представляла сумму функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, необходимо, чтобы выполнялось равен- ~'! ( ~Рз ! — хз — — х! = 0 илн — х! = / хз. ах! г!хз ах! охз Так как левая часть зависит от х!, а правая часть от хз, то последнее равенство возможно, если обе части являются константами и равны, например, единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
