Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пусть Ях,1)— гладкое решение уравнения Беллмана (8.14в) при граничном условии (8.15), и управление п*(х,1), найденное из условия дд . дд , ИЯ Ях,п',1) + — г(х,п',1) + — = пцп(Ь+ — ), дх ' ' дт пагг аг Задачи 8.20. Определить оптимальный закон управления (управление с обратной связью) в следующих задачах оптимального управления: = хо, .7 = (нз + 4х~)Й; о = хо, д = (и~+ 4хз+ 5хз~)й; о о Т („з+ Я+Щдт. о а) х~ = хз, хз = и, х(0) б) х1=хм ха=и, х(0) в) хВ =ха, хз =и, х(0) г) хю = хт, хз = и — хт, х(0) = хо, .7 = (из + 1бх1,)й; о порождает единственную траекторию х*($), удовлетворяющую уравнениям (8Л 3в) и краевым условиям (8.136), вдоль которой функ-, ция и'(1) = и'(х'(1), Ф) кусочно-непрерывна.
Тогда функция п*(х, Ф) является оптимальным управлением задачи (8.13). 8А. Оавеан д) х~ = хз, хз = и — хз, х(0) = хо, ,У = (из + хз + хай; о е) х~ =хо, хо =и — хз, х(0) =хо,,У= (и +4х~+4хз)й; о Ответы 8.1. х(Фо) = О, хз(зу) = Ь,,7 = су. 8 2 х~ Ио) = хо,, хз(зо) = Ьо, хз(зо) = и хз(зо) = О хз(Зу) = Ь, .У = зу. в з. *зо = о. *, р) = К. ~р) =,', г = ( ~4-;-4)а, и 8.4. х~(зо) = х~~, хз(Зо) = Ьо, хз(зо) = и/2, хю(уо) = о/2, х~(Зу) = х~~, зз ~р,)=*,', ~=) ~ $~- фа. и 8.5. х(Зо) = О, хз(зу) = О,,У = — хз(зу). 8.6. х~ (Со) = х~, хз(Зо) = хоз, хз(Уо) = ю/2, хз(зо) = о/2, х4(зу) = О, ,У = -хз(зу). 8.7.
х~(зо) = х~~, хз(Зо) = хз, хз(зо) = ю/2, х4(уо) = ю/2, хз(уу) = О, .У = -х~(зу). 8.8. х~ (Зо) = х,, хз(Зо) = хз, хз(Со) = ю, хю (зо) = О, хз(Зу) = 0 ,У = -х~(зу). ж) ху хз, хз =и хф хз, х(0) х з) х~ =хз, хз=и — х~ — хз, х(0) =хо, и) х~ =хз, хз =и — х~ — хз, х(0) =хо, к) х~ = хз, хз = и-х~ -хз, х(0) =хо, ,У = (и'+ Зжз, + х',)й; о ,У = (из + 8х(+ 4х$)й; о У= (из+154+2 зз)й; о ( з+З*хз)й. о Гл.
В. Мее!одг! е!горне онеимольного ерееленыя х!(Зо) = х!, хз(йо) = Ь, хз(йо) = ю, хл(ЗО) = О, х!(Йу) = И, хз(ФУ) = О У = йу. 8.9. 8.11. х(0) = О, хю(Т) = а, .У = изй. о т 8.12. х(0) = О, х!(Т) = а, хз(Т) = О,,У = и~!Уз. о 8.13. ~и) < а, х(0) = О, х!(ЗУ) = а, хз(СУ) =О, .У =ФУ. 8.14. ~и~ < <и„„х(0) = О, х!(зу) =а,,У = йу. 8.16. ~и! < а, х(0) = О, .У = -х! (Т). 8.16. )и~ < и, х(0) = О, хз(Т) = О,,У = -х! (Т). 8.17. а) Ф!=О, !/!з=О, 4~з= — ф!, фл=-фз, фь=О; фз+2фьи!=О, 4!л+2фьие =0' !/!!(Зу) =О, !/!з(ЗУ) =1, фз(йу) =О, Н=(ф!хз+/зхл+Фзию+Флиз+Фь(и!+из)) 1с~! =О. б) !/!! =О, фз=О фз=-ф!, Ч$ц=-!/!з фь=О; !/!з+2!/!ьи!=О, Ф4 + 2!/!ь из = 0; !/!з(0) = -2ихз(0), !/!л(0) = — 2ихл(0), Ф!(Зу) =О, !)!з(ьу) = 1, Фз(ьу) =О, Н = (!/!юхз + Фохт + Фзи! + Фриз + !/!ь(и! + из)) /! , = О.
в) Ф! =О, !/!з=О !/!з = -!/!! Фа = †!/!з Фь =0; 'фз + 2!еьи! =О, !/!4 + 2!рьиз = 0; З!! (Зу) = 1, !рз(ЗУ) = О, !рл(ЗУ) = О, Н = (Ф!хз + Фаз + Фзи! + !/!азиз + Фь(и! + из)) !!-! = О. г) ф!=О фз=О, фз= — ф!, фв=-фз, !/!ь=О; фз+2фьи!=О. фл+ азиз = 0; !/!з(0) = — 2ихз(0), фв(0) = — ах!(0), з,(зу) = 1, Вз(зу) = о, Ул(зу) =- о, Н = (!р!хз + !/!зхл + !рзи! + !рлиз + !/ь(й!+ из)) 1! = О. д) !/!! =О, Фз=О, Фз = — 4я!, 4~я = — !/!з; 4'з+2Ли! =О, !рл+2Лия = 0; 2Лиз = О, Н=(Р!хз+!езха+!/!зич+юРюиг+Л(й!+й+и~~ — из„)) ~! ! = 1, е) Ф! =0 4з =О, Фз = — !/!!, 4!4 = -4!з, !/!з+2Ли! =О, тДв + 2Лиз =0; 2Лиз =О, !/!з(0) = — 2рхз(0), фа(0) =-2ихл(0), Н=(!/!!хз+фьхю+чьи!+фриз+Л(й!+йз+из — из„)) ~ = 1.
8.10. хю(ьо) = х,, хз(йо) = хз, хз(йо) = и/2, ха(Юо) = э/2, х!(Зу) = 4 хз(зУ) = О, У = йу ° ВЛ.О е 217 ж) з) 8.18. а) б) в) г) е) ж) и) ф~ = О, ййг = О, Фз = -г)>~ г)ч = -Фг; Фз — 2ий = О, Фз — 2иг = О; Фз(йй) = О, Ф~(йй) = О, Н = (ф1 ха + фгхз + ЗЗзи~ + азиз — (иг + игг)) ~,, = О. Ф1 = О, г) г = О, Фз = -т/ги 4ц = -Фг, фз — 2и1 = О, 1йз — 2иг = 0; фз(0) = -2Лхз(0), Ф4(0) = -2Лхз(0), фз(йй) = О, ф4(йй) = О, Н = (Фюхз+Фгхз+фзи1+44иг — (й~+игг)) ~,, =О. фю = О, фг = О, фз = -фю, фа = -фг; фз + 2Ли1 = О, ф4+2Лиг = О; 2Лиз = О, фзЩ = 2хз(йу), ч~ц(йу) = 2х4(йу), Н=(Зг~хз+Зггхз+фзи1+Ф4иг+Л(йу+иг+йз — иэа)) !с г = и: ф1 = О, фг = О, фз = -фи фь = -4~; г)з + 2Ли1 = О, ф4+ 2Лиг = 0; 2Лиз = О, фз(0) = — 2ихз(0), ф~(0) = — 2иха(0), фз(йу) = 2хз(йу), ф~(йу) = 2х4(йу), Н=(з'1хз+Ргхз+Ръи1+Ззиг+Л(ц+йг+из и )) ! — О.
и'(й) =О,б — 0,12й, х',(й) =О,зйг — О 02йз, хг(й) =О,бй — 0,0бйг; и*(й) = 0,3 — 0,03й, х7(й) = 0,15йг — О 005йз хг(й) = О,зй — 0,015йг; и" (й) = 0,1, х((й) = 0,5й, хг(й) = й; В З, З 1, З З и'(й) = — — — й, хг(й) = — й — — й, хг(й) = — й — — й; 5 25 ' ' 10 50 ' г 5 50 9 3, 2г 3 з ° 4 9 и'(й) = — — — й, х*,(й) =-й — — й, *;(й) =-й — — й; 5 50 ' ' 5 100 ' 5 100 и'(й) = 2, х|(й) = 0,5йг, хг(й) = й; з з, з и'(й) = — — — й, х;(й) = — й — — й + 5, 5 50 ' 20 100 з з хг(й) = — й — — й; 10 100 9 7, 7 г 3 й(й) = — й — —, х1(й) = 5й — — й + — й, 50 5' 10 100 7 9 х'(й) = 5 — -й+ — с; 5 100 и'(й) = — — — й, х~~(й) =5+ — й — — й, 1З З, З 10 50 ' ' 20 100 з з х'(й) = — й — — й; 10 100 218 Гл.
В. Методы теории олтимееьного аееения — 1, ЛО/2<й<ЛО, й, 0<й<АО/2, АΠ— С, ъ/ГО/2 < С ~( АО хс(й) = С с/2+5, О <С < Л0/2, х11С) = ЛОС вЂ” Сс/2+ 5, АО/2 < й ~( А.О е) и'(С) = 2, 0 ~( С (,/5/3, -2, ~/5/3 < С < ~/80/3, Зй, 0<й< /5/3, 26,67 — й,,/5/3 ( й < ~/80/3, ~ 9 2, 7 3 к) и'(С) = — й — —, хЦС) = 5й — — Сс + — Са, 50 5' ' 10 100 7 9 х'(С) = 5 — -С+ — С'.
5 !00 о<с < фо/3, 8.19. а) и*(й) = — 1,,/1 О/3 < С <,/40/3, О < С <,/10/3, ~/40/3 — С, фО/3 < й ~ (~/40/3, Сс/2, 0 < С < ~/И/3, х11С) = ~/Й/зс — с~/2+ 10/3, фо/3 < с ~ (/40/3; С2 б) и'1С) = 1, хс(й) = С х11С) = 2' 1'1, 0<С<225, '1 — 1, 225<С<449, (С, 0<й(2,25, 1,9,49 — С, 2,25 < С ((4,49, С~/2, О ~ (С < 2,25, 2 949С Сс/2 2255 225 < С < 449 … ! 1, 0<!<658, ! — 1, 6,58 <С ~(8,!6, 5 — С, 0<й(658, С вЂ” 8,16„6,58 ( С < 8,16, < 5С вЂ” Сй/2, 0 < С < 6,58, хс(й) = С~/2 — 8,16С+ 43,29, 6,58 < С < 8,16; 1, 0<С<ВО/2, а) и'И)= … Глава 9 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 9.1.
Наблюдатели Для реализации управления с обратной связью необходимо иметь оценку текущих значений фазового вектора. Устройства, обеспечивающие получение указанной оценки по измерениям (наблюдениям) управления ц(т) и выходного вектора у(т) на интервале 1о < т ( (8, называют наблюдателяии.
В частности, устройство, описываемое уравнением х = Рх + Ку+ Нц, называется наблюдателем полного порядка для управляемой системы х = Ах+ Вц, у = Сх, (9.1) если при х(то) = х(1о) выполняется равенство х(1) = х(1) при всех ц(1), 1 > 1е. Наблюдатель полного порядка. Наблюдатель указанного выше типа называется наблюдателем полного порядка, так как оценка х имеет такую же размерность, что и вектор состояния х. Теорема 9.1.
Наблюдатель полного порядка для управляемой системы (9.1) имеет вид (9.2) х = Ах + Вц+ К(у — Сх), где К вЂ” произвольная матрица, копюрая может быть функцией времени и которая называется матрицей козффициентов усиления. Устойчивость наблюдателя (9.2) зависит от матрицы А — КС.
Уравнение для ошибки е = х — х имеет вид е = (А — КС)е. Отсюда следует, что ошибка е(1) — 0 при 8 — оо независимо от начальной ошибки тогда и только тогда, когда наблюдатель является 9. Д Наблюдатели 221 асимптотически устойчивым. Поэтому при выборе матрицы коэффициентов усиления К необходимо прежде всего позаботиться о том, чтобы наблюдатель был асимптотически устойчивым.
Но от матрицы А — КС и соответственно матрицы К зависит еще и качество наблюдателя. Устойчивость и качество наблюдателя зависит от расположения корней его характеристического уравнения, т.е. собственных значений матрицы А — КС на комплексной плоскости. Собственные значения матрицы А — КС могут быть произвольно размещены на комплексной плоскости путем выбора матрицы коэффициентов усиления в том и только в том случае, если исходная система, т.е. пара (А,С), вполне наблюдаема.
Если система частично наблюдаема, можно найти постоянную матрицу К, при которой наблюдатель асимптотически устойчив, в том и только в том случае, если система обнаруживаема. В случае стационарного наблюдателя ошибка е(Ф) тем быстрее сходится к нулю, чем больше значения элементов матрицы К. Однако с увеличением коэффициентов усиления наблюдатель становится чувствительным к шумам измерения. Поэтому оптимальная матрица К может быть определена только с учетом реальных помех. Наблюдателм пониженного порядка. Рассмотрим систему (9.1) х = Ах + Вп, у = Сх, где х — п-вектор, у — р-вектор, причем п > р, А, В, С вЂ” постоянные матрицы соответствующей размерности. Пусть матрица С имеет максимальный ранг, т.
е. равен р. Тогда уравнение наблюдения дает р независимых линейных уравнений для неизвестного вектора состояния х(ь). Чтобы определить х($), необходимо получить дополнительно и — р уравнений для координат этого вектора. Наблюдатель, построенный на таком принципе, называется наблюдателем пониженного порядка. Теорема 9.2. Наблюдатель пониженного порядка для управляемой системы (9.1) имеет вид (9.3а) х = Цд+(Тн+ЬзК)у, Ц = (С'Айз — КСАН)Ч+(С'АйзК+САй~ — КСАЬ1— — КСАВтК)у+(С' — КСВ)и, д(1о) =С'х(Ц) — Кр(1о) (9 Зб) где К вЂ” произвольная матрица, матрица С' такова, что матрица ~ является нгвырожденной (неособой), Ь| и Ьз — (п х р)- 1С 1С' и 1п х и — р))-матрицы соответственно и определяются из соотношения ~,~ = 1Ь1 1.з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
