Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 36
Текст из файла (страница 36)
(С1 Наблюдатель пониженного порядка (9.3) называют наблюдателем Луенбергера. 222 Гл. 9. Синтез оптимальнык детерминированнык систем управления Пример 9.1. Построить наблюдатели полного и пониженного порядков для управляемой системы Х1 = Х2, Х2 = И, Р = ХЬ Решение. В данном случае имеем А=[ ]. В (). с=и о!. Наблюдатель полного порядка принимает вид О О 1 й или в скалярной форме х! = х2+ й!(Р— х~), х2 = н+ Й2(У вЂ” х1). Для построения наблюдателя пониженного порядка необходимо определить матрицы С', Ьн л2. Матрица С' должна быть такой, чтобы С1 квадратная матрица, была невырожденной. В остальном она может быть произвольной. словию невырожденности указанной выше квадратной матрицы удовлетворяет матрица С' = (О 1). Позтому имеем откуда Ь~ = , й = Подставив выражения для А, В, С, С', Ь| и Е2 в (9.3), получим а= -йа — йз+и, х = а+ д.
Напомним, что матрица К, или в случае наблюдателя пониженного порядка в данном примере скалярная величина Й, выбирается из условия устойчивости и требований к качеству наблюдателя. У.д Задачи Задачи Х1 = Х1+ 2Х2+ ХЗ. а) хг = — 2х! +хг, хз = х1 + 2х2 + Зхз + и, х! = — 2х1+ хг+ хз, б) Х2 = х1 + 2Х2, хз = 2х2 + Зхз + и, У = Х1, У = Х1, Х1 =Х2, хг = 2х! + Зхг + хэ, в) хз = х! + 2хг + и, Х! =Хг, Х2 = 2х!+х2+хз, г) хз = — х2 — хз+ и, У = Х1, У = Х1, х! =2х1+хг, д) Х2 Х2+Хз хз = — х! — 2хз+и; Х! = Хг+ХЗ, е) хг =Х1+2хг, хз = -х! — 2хг — хз+ и, У = Х1!. х1=хг, з) х2 = 2х! + Зхг + сз хз хз = х! + 2хг + и, х! = -2х1+хг+2 хз, ж) хг =х! +2хг, хз = 2хг+ Зхз+и, У=Х!', х! = 2х1+ хг, У = Х1, Х! = Хг, хг = — 2Х1+хз, и) Хз = — Х2 — хз+ и, х2=х2 +ХЗ, к) хз = — х! — 2хз+ и, у=х1, У = Х1,. Х1 = Хг + Хз, л) хг = х1+ 2хг, Хз = — х! — хг — хз+ и, У = Х1.
Ук а з а н и е. Для упрощения расчетов элементы матрицы коэффициентов усиления К примите равным единице, а матрицу С'выберите 1С1! такой, чтобы матрица, была единичной. 9.2. Определить матрицу коэффициентов усиления наблюдателя полного порядка, при котором корни характеристического уравнения дифференциального уравнения ошибки е = х — х были равны — 3 х 22 9.1. Синтезировать наблюдатель Луенбергера для следующих управляемых систем (см. в конце задания указание): 224 Гл. У. Синтез онтимальныл детерминированных систем ун авленил и -3, для следующих управляемых систем: Х1 =Хз, а) хз =хЗ, ХЗ = — Х1 — Хз — ХЗ+Н, б) х2 = хЗ хз = — 2хи — 4хз — бхз + о, у=хм Х! =Х2, у=х!,' х! =хз Х2 = ХЗ, Х2 = ХЗ, в) г) хз = -Зх1 — 2хз — хз + 2н, хз = -2х~ — бхз + о, у =х~, х1 =хм у =х~', х| =хм Х2 ХЗ д) хз = — 2х~ — Зхз+Зн, хз = хЗ, е) хз = — бхай — 2хз — хз+2н, у =х!,' х~ =хз, у = х1,.
Х~ = Хз, з) Хз =ХЗ, хз =-4х1 -2хз-хз+о, ж) х2 = хэ, хз = — 2хи — Зхз+ 2н, у =х)' Х~ =Хз, у=х~, Х! =Х2, и) Х2 — ХЗ к) Хз =ХЗ, хз = -х~ — Зхз — бхз + о, хз = -4х~ — 2хз + и, у=х~', у=хи 9.2. Метод фазовой плоскости синтеза оптимальной по быстродействию системы Пусть задана вполне управляемая линейная стационарная система х = Ах+ Вм, ~о~ < 1, х Е В", и Е В, все корни характеристического уравнения которого действительны. Заметим, что ограничения более общего вида сз < н < )1, где а < О и )3 > О, введением нового переменного о = 2о — (а + 13)/(а —,0) всегда приводится к приведенному выше виду 1и~ < 1.
Рассмотрим задачу синтеза оптимального по быстродействию регулятора, обеспечивающего перевод системы из произвольной начальной точки в начало координат. Так как управление скалярное, условие нормальности совпадает с условием управляемости, поэтому выполняются все условия теоремы об п интервалах. В соответствии с этой теоремой оптимальное управление, имея не более п интервалов постоянства, принимает только край- 9.2. Мепюд фаэовой плоскости синтеза 225 ние значения: -1 или !. Если представить его как функцию фазовых координат и' = и'(х), то ясно, что все фазовое пространство разбивается на два подпространства: подпространство, в котором и' = -1, и лодпространство, в котором и' = 1. Гиперповерхность (при п = 2— кривая, при п = 3 — поверхность), которая делит фазовое пространство на указанные надпространства, называют гиперповерхностью (кривой, поверхностью) переключения.
Если записать уравнение гиперповерхности в(х) = О, то, как известно, в(х) > О по одну сторону от гиперповерхиости и в(х) < О ло другую. Всегда (лри необходимости умножением на — 1) можно выбрать функцию в(х) так, чтобы она была отрицательна в подпространстве, где и' =' — 1, и положительна в подпространстве, где й = 1. Тогда, очевидно, оптимальным управлением будет и' = тяпа(х). Позтому нахождение оптимального управления с обратной связью сводится к определению функции в(х), которая называется функцией переключения. При п = 2 для нахождения функции переключения можно воспользоваться методом фазовой плоскости.
На фазовой плоскости строятся семейства фазовых траекторий, соответствующих управлениям и" = — ! н и' = 1. Оптимальная траектория представляет собой часть траектории или соединение частей двух траекторий из построенных семейств. В силу граничного условия на правом конце траектории х(!у) = О она должна оканчиваться в начале координат. Используя эти свойства оптимальных траекторий, нетрудно определить кривую переключения. Проиллюстрируем изложенное на простейшем примере. П р н м е р 9.2. Определить оптимальный по быстродействию закон управления двигателем, описываемым уравнениями х~ =ха, ха=и, !и~ <1, х(О) =хо, х(!у) =О. Решение.
Характеристическое уравнение имеет кратный нулевой корень. Выполняются все условия теоремы об и интервалах. Оптимальное управление может принимать значения — 1 или 1. Найдем соответствующие им фазовые траектории. Разделив второе уравнение на первое, получим 4хз и — — или хзахз = ш!хь ах~ хз Проинтегрировав последнее уравнение лри и = -1 и и = 1, соответственно находим 1 1 -хз = -х! + Сп -хз = х! + Сз.
2 2 ' 2 На рис. 9.1, а представлены оба семейства траекторий. Оптимальная траектория должна состоять из участка траектории одного семейства, проходящей через начальную точку, и участка траектории другого семейства, проходящей через начало координат. Из сказанного следует, 226 Гл. 9. Синтез олтимальнык детерминированнык систем явления что переключение должно происходить на полутраекторнях АО и ОВ (рис. 9.1, а). Если вначале изображающая точка движется по траектории, соответствующей и' = — 1, то переключение должно произойти на полутраектории ВО, которая описывается уравнением хз — 2х| = О.
И если вначале изображающая точка движется по траектории, соответствующей и' = 1, то переключение должно произойти на полутраектории ОА, которая описывается уравнением 4+2*, =О. Фазовый портрет оптимальной системы представлен на рис. 9.1,б. Уравнение линии переключения АОВ, основываясь на уравнениях полутраекторий АО и ОВ, можно записать так: а(х) = — (хз + 2х1 ящп хз) мйп хз = О. Функция а(х) отрицательна справа от линни переключения, где и' = = — 1, и положительна слева, где н' = 1.
Позтому имеем н' = тяпа(х) = — з1йп[(хз + 2х~ з)йп хз) а)йп хт]. Заметим, что кривая АОВ может быть описана уравнением а(х) = -(х~~+ 2х~ в)йпхт) = О. Однако знак функции а(х) слева и справа от кривой АОВ меняется прн переходе с верхней полуплоскости в нижнюю полуплоскость. Позтому зта функция не может быть функцией переключения. я=1 и= — 1 а) Рнс.
9.1. 9.2. Задачи 227 Как следует из фазового портрета, переходный процесс оптимальной системы является апериодическим. Однако из-за неидеальности переключающего устройства, неточности математической модели объекта и других возмущений'реальный переходный процесс может оказаться колебательным. Задачи 9.3. Определить оптимальное управление с обратной связью й (х) в задаче максимального быстродействия при условиях, что в начальный момент х(0) = х (х — произвольный вектор), в конечный момент х(27) = 0 и объект описывается следующими уравнениями: хз=и — 1, 1и~<2; Х2 = 2и — 1, 1и~ < 1; х2=4и — 2, ~и)(1; х2 — 2и — 2, 1и~ < 2; х2 = 4и — 4, ~и~ < 2; Х2 = — Х2 + и, 1и~ ( (1 х2 = — Х2+ 2и, ~и~ < 1; х2 = — 2х2 + 4и, 1и~ ( 1; х2 = — 2х2+ 2и, (и~ < 2; х2 = — 4х2 + 4и, (и! < 2.
а) х~ =х2 б) х~ =х2 в) х~ =х2 г) х~ =Ха Д) Х~ = Х2 е) х~ = х2 ж) х1 =х2 З) Х~ =Х2 И) Х~ =Х2 К) Х~ =Х2 9.4. Определить оптимальное управление с обратной связью и*(х) в задаче максимального быстродействия при условиях, что в начальный момент х(0) = хе (хо — произвольный вектор), в конечный момент х(27) = 0 и объект описывается следующими уравнениями: Х2 Х2 х2 х2 Х2, Х2 Х2, Х2 Х2 Х2 Х2, Х2 х2, х2 Х2 Х2 х2 х2 Х2, Х2 а) х~= б) х~= в) х~= г) х1 = д) х1 = е) х1= ж) х~ = з) х~= и) х~ = к) х1= =и — 1, — 1,5<и<25; =2и — 1, — 1 <и <2; =4и — 2, — 1<и(2; =2и — 2, — 1<и<2; =4и — 4, -2<и<4; = -х2+и+05,-2 < и < 1; = — х2+2и+2, — 3 ~ (и < 1; = -2х2+ 4и+ 4, -4 < и < 2; = — 2х2 + 2и+ 2, — 3 < и < 1; = -4х2 + 4и+ 2, -2 ( и ( 1.
228 Гл. 9. Синтез оптимальных детерминированных систем управления 9.3. Синтез оптимальных по интегральному квадратичному критерию систем управленим Постановка задачи. Пусть объект описывается уравнением х = А(т)х+ В(т)ц+ Ь(т), х(то) = х (9.4а) и критерий оптимальности имеет вид .7 = хт (СГ)Рх(йу) + [хт (т)Я(т)х(т)+цт(т)В(й)ц(т)]дх. (9.46) Теорема 9.3. Решение задачи (9.4) синтеза оптимального нестационарного линейного регулятора существует, единственно и оптимальное управление имеет вид ц' = — В 'ВтКх+ -В 'Втр т 2 (9.5а) где симметрическая (и х и)-матрица К и и-вектор р определяются из уравнений КА АтК+ КВВ- ~ВтК с) р = КВВ 'Втр — Атр — 2КЬ (9.5б) (9.5в) при граничных условиях к(е~) = Р, р(ет) = О; для любого Ф Е [йь $у[ справедливо равенство (9.5г) х~(т) К(ь)х(ь) + р~(ь)х(т) + 4(ь) = = хт (ФУ)Рх(с1) + [х т(щ(а)х (ь)+ц т(ь)В(ь)ц (й)[йй с Здесь Ь(т) — известная функция времени, Р— положительно полуопределенная матрица, 9($), В٠— положительно определенные матрицы (хтгх>0, х~Ях>О н х Вх>0 при всех х~О и тЕ[те,су[), функции А(т), В(т), Ь(й), Я(й) и В(й) являются непрерывными на интервале [1о,Фу[, начальный и конечный моменты времени ьз и $Г фиксированы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
