Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Так как полезный сигнал и помеха не коррелнрованы, имеем К (т) = К,(т)+К„(т), Я,(ш) = Я,(щ)+Я„(ы). Спектральные плотности полезного сигнала и помехи имеют вид Я (и') = пго. Я()=' г Подставив эти выражения в приведенную выше формулу для Я,(ю), получим ) Ио()у'+ ') ) а/~о(0+2 ) 250 Гл. 10. Синтез оптимальных систем аления 2ола где Р = — + а . Из последнего соотношения находим его ) 1/%(Р+ у~~) сг+ угс Найдем взаимную корреляционную функцию входного и полезного сигналов: Кее(т) = М[Х(1)У(1+ т)] = М[(У(1) + Ж(1))У(1+ т)] = К,(г).
2сг Отсюда следует: Я„(иг) = Я,(ш) = сгз ег е З Теперь найдем выражение, заключенное в квадратные скобки в формуле для оптимального фильтра (10.3): Я,г(иг) 2асгз(а — уиг) 2сгоз Игф(-у ') ( '+аз)с/%(Р-у ) (у +его%()3 — у )' Далее, разложив правую часть методом неопределенных коэффициентов на элементарные дроби, находим (иг) 2сгггт ( Иф( — уе) ~/%(т+Р) ~а+ус,б-у~ ' Отбросив вторую элементарную дробь, полюс которой расположен, в нижней полуплоскости на плоскости ы, получим [ Я„(ш) ~ 2асг~ 1 'ггф(-уиг) ~+ ьг г)З (а +,8) а + ус. Подставив это выражение в выражение для передаточной функции формирующего фильтра в (10.3), найдем искомую передаточную функцию й 1 2сгггз Иг(е) =, где Т= —, й= —.
Тз + 1 )1 дгод Фильтры Калмана-Бьюси. При получении фильтра Винера предполагалось, что оценка получается на основе наблюдения на бесконечном отрезке времени, что является ограничительным условием применительно к задачам управления. Фильтр Калмана-Бьюси позволяет получать оценку фазовых координат на основе наблюдения выхода системы на конечном интервале времени [тз,$]. Оишималэмал филэшраг(ил ири белыл шумах.
П о с т а н о в к а з ад а ч и. Дана управляемая система х = Ах+ Вц+ Аго($); х(то) = хо; у = Сх + 'Ч„(1), 251 Ю.г. Фильтры Винера и Калиена-Бьюси где А, В, С в общем случае являются функциями времени, хз— случайная величина и т'о(1), 'Ч„(1) — белые шумы с вероятностными характеристиками М[хо] = хо, М[(хо — хо)(хо — хо)т = Ро, М(~го(1)] = 0 МУо(1)Я(1')] = Яо(1)6(1 — У); М(1Г„(1)] = О, М[Ч„(1)Ч'„"(У)] = Во(1)О(1 — У); мУо(1)и (1)! = Ва(1)о(1 — 1)' Яо, Ро — положительно полуопределенные матрицы, Во — положительно определенная матрица, случайная величина хо не коррелирована с шумамн т'о(1) и "К,(1). Требуется на основе наблюдения выхода у(1) на интервале [то,г)] определить несмещенную линейную оценку х(1) фазового вектора х(1), обеспечивающую минимум среднего квадрата ошибки: .У = М[(х(1) — х(1))~(х(1) — х(1))] — ~ ппп.
:с(ь) Оценка х(1) называется несмещенной, если М[х(1)] = М[х(1)]. Условие положительной определенности матрицы Во — матрицы интенсивности шума наблюдения — означает, что ни одна компонента выхода у(1) не измеряется точно. И в этом случае задача оценивания называется несингуяярной (невырожденной).
Таким образом, задача (10.4) является несингулярной задачей оптимального оценивания (фильтрации). Уравнение (10.4а) называют уравнением объекта, уравнение (10.46) — уравнением наблюдения. Шум то(1) называют шумом объекта, шум т'„(1) — шумом наблюдения. Теорема 10.1. Если шумы объекта и наблюдения не коррелированы (оо(1) = 0), то оценка х(1) является несмещенной и оптимальной, если она находится из уравнения х = Ах+ Вм+ Ко(у — Сх), х(то) = хо (10.5а) с матрицей коэффициентов усиления К =РСЛ (10.5б) где Р определяется из уравнения Р АР+РАт РСтй-~СР+Яо Р(1о) =Ро.
(105в) Матрица Р является дисперсионной матрицей ошибки е(1) = х(1)— — х(1): Р = М[е(1)ет(1)]; уравнение (!0.5в), которому она удовлетворяет, называется дисперсионным уравнением. Теорема 10.2. Если шумы объекта и наблюдения коррелированы (оо(1) ф 0), то оценка х(1) является несмещенной и оп- 252 Гл. 10.
Синтез онтималыивх систем н ния тимальной, если она находится из уравнения (10.5а) с матрицей коэффициентов усиления Ко = (РС + Яо) Во ', (1О.ба) где дисперсионная матрица Р определяется из уравнения Р (А Вой-1С)Р+ Р(А Бой-~С)т — РС Во 'С1 + д~ — Вове '~~В, Р(1~) = Рш (10,66) Несингулярная задача оптимальной фильтрации (10А) прн иекоррелированных шумах впервые была решена Р.
Калманом и Р. Бьюси. Поэтому фильтры (10.5) и (10.6), а также другие фильтры, которые будут рассмотрены в этом параграфе, называют фильтрами (наблюдателями) Калмана-Бьюси. А = 0 В = 0 Яо = О. Фильтр Калмана-Бьюси описывается уравнением х = й (у — х), х(зо) =го, где йо = р/го; р определяется из уравнения р = -рз/г, р(1о) = ро. Последнее уравнение имеет решение р = рого/(го+ рое). Поэтому для коэффициента усиления получаем )со = ро/(го+ рос). Оптимальная фильтрация ари цааивом шуме обаекага. Рассмотрим задачу линейного оптимального оценивания при условии, что шум объекта не является белым.
Небелый шум называют цветным шумом. Постановка задачи. Пусть управляемая системз описывается уравнениями х01 = А~х01+ Вгц+ х(з); х01(зо) = хо('1, х1з1 = Азх(з) + ио', х1з1(Зо) = х®; у = С,х01+~7„. (10.7а) (10.76) (10.7в) Пример !0.3. Определить оптимальную оценку постоянной величины х по наблюдениям за и = х+ У($), где Щ) — белый шум с интенсивностью го; М]х] = гп, М](х — гп)з] = ро. Р е ш е н и е. В данном случае уравнение объекта имеет внд х = 0 и поэтому 10.2. Фильтры Винера и Калмана-Выси 253 где х и х — случайные величины и Уо($), Ъ'„(г) — белые шумы (О (з) с вероятностными характеристиками 4о, Ро — положительно полуопределенные матрицы, Во — положительно определенная матрица, случайные величины х и х не коррелированы с шумами 9о(г) и "й'„(г).
Требуется иа основе наблюдения выхода у(1) на интервале [1о,8)] определить несмещенную линейную -Ю оценку х ($) фазового вектора х01(1), обеспечивающую минимум среднего квадрата ошибки: .Х = М[(х1'1(1) — х (1))т(х01(1) — х )] — ппп . (10.7г) х 1ь) Здесь (10.7а) является уравнением объекта, в котором х1з1 — цветной шум объекта; (10.76) — уравнение формирователя, формирующего из белого шума Ус шум объекта хР1, (10.7в) — уравнение наблюдения. Преобразуем данную задачу в рассмотренную выше задачу фильтрации с белыми шумами.
С этой целью введем следующие переменные и матрицы: — (",), *'= (*и), ~ - (вь), в = ["' „~), в = [в']. с=(с, О/, а=[]. Р=[' ]. а=все. Используя их, сформулированную выше задачу можно переформулиро- вать следующим образом: х = Ах+ Вц+ ~7а(1); х(та) = хо; у = Сх+ йв(1), ,7 = М[(х(1) — х(1))т(х(1) — х(1))] — ппп в в(Ь) где 'й'о(1) = Свйо, фазовый вектор в начальный момент и шумы не коррелированы между собой и имеют следующие вероятностные ха- М[ 0)] ф) М[ Р)] уР) МГ~Ч =О, М[й,] = О, М[( 1):и())( () -„Х))т] Вш М[( гР) «Р))( Р) ~Р))т У]м, М[Фо(1)Фат(1')] = Й(1) б(1 — 1'); М[1гв(ь)~7„(ь')] = Во(ь)б(ь — в'); МУо(1)Ч„'"(1')] = О; 254 Ги Кл Синтез оитимальныл сисаем уараеяения рактернстнки: М[']=~, И[('-~)( Г-яР)~]=Р.; М(Чо] = 0 М[Чо(1)Чот(1')] = Яо(1)б(1 — 1'); М(Ч„] = О, М[Ч„(1)Ч„'(1')] = В,(1)б(1 — 1'); Переформулнрованная задача является задачей оптимального оценивании с некоррелнрованными между собой белыми шумами объекта и наблюдения.
Позтому согласно теореме 10.1 для оптимальной оценки имеем х = Ах+ Вц+ Ко(у — Сх), х(1о) = хо, К =РСВ', Р АР+ РАт РСтВ 'СР+Яо Р(1о) = Ро Пример 10.4. Пусть уравнения объекта н наблюдения имеют вид х~ = хз, х1 (то) = х,; о. 9 = х! + Чн, где хз — стационарный случайный процесс (шум объекта) с характеристиками 1 М[хз] = О, К (т) = М[хз($)хз(1+ т)] = -е начальное значенне хо1 н шум наблюдения не коррелированы нн между собой, нн с шумом объекта н имеют следующие характеристики: М[х,] = О, М[(хо) ] = ро, МЩ = О, М[Ъ'„(1)К(1+ т)] = то(т). Требуется определить оптимальную оценку. Решение.
Спектральная функция шума объекта может быть вычислена путем двухстороннего преобразования Фурье н представлена в виде 1 1 2 +,с2 [ . [2' Отсюда для передаточной функции формирователя получаем 1 И',~(в) = —. в+1 Уравнение формирователя имеет внд хз = -ха+ Ъ~, где Ц вЂ” белый шум с нулевым средним и единичной интенсивностью: сео = 1. 288 В данном случае А= ~ ~, В= ~ ~, С=[! 0~, Рю=К (0)=-, Во — С вЂ” 1! — СЯ Ст — Р— х! = х2+ й1(у — х1), х!(2о) = О; где а! = а2 = Р11 Р21 го го Р11 Р12 1 Р22 или в скалярной форме При записи скалярных уравнений учтена симметричность дисперсион- ной матрицы (рга = Р21). Начальные условия имеют вид Онтимаяьная фияьшраг!ия нри г!веииньн шуме наблюдения. Рассмотрим задачу линейного оптимального оценивания при условии, что шум объекта является белым, шум наблюдения цветным.
Постановка задачи. Пусть управляемая система описывается уравнениями 10.2. Фильтры Винера и Калнина-Бытии Фильтр Калмана-Бьюси описывается уравнениями х2 = -хт+ йт(р — х1), хт(2о) = О, Дисперсионное уравнение имеет следующий вид: Р11 Р12 Р!1 Р12 1 . 1 Р11 = 2Р21 — — Р21, р21 = Рх1 — Р21 — — Рзы 1'о го Р22 = -2Р22 — Р222+ 1. Рп(то) = Ро Р21(то) = О.
Р22(то) = 1/2. х=Ах+Вц+ тго, х(!о) =хо; у = Сх+я, я=вв+Ч„, (10.8а) (!0.86) (10.8в) 256 Гл. /О. Синглез оптимальныл систем управления где хо — случайная величина и то, Ԅ— белые шумы с вероятностны- ми характеристиками и[хо[ = зг', М[(хо - хо)(хо — хо) = Рш МЮо[ = О, М['Ко(!) тот(!')! = Яа(!)б(! — !'); М[Фя[ = О, М~Ъ'„(!)Ф~(!')) = Ло(!)б(Ф вЂ” !'); М[Уо(!)ЪЯ (!')[ = У(!)б(! — т'); (бо, Ро — положительно полуопределенные матрицы, Ло — положительно определенная матрица, случайная величина хо не коррелирована с шумами т'о($) и Ф„(!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
