Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Стационарные процессы Х(г) и г'(т) называются стационарно связанными, если их взаимная корреляционная функция зависит от одного параметра: К~а(1п се) = К~а(1т — 11) = К „(т). Стационарные процессы, помимо законов распределения и моментов, характеризуются еще спектральной плотностью. Спектральной плотностью стационарного случайного процесса Х(1) называется двустороннее преобразование Фурье от его корреляционной функции: о' (ы) = К (т)с 1 ат. Корреляционная функция выражается с помощью спектральной плот- ности обратным преобразованием Фурье. К (т) = — Я (ы)егюгйы. 1 244 Гл.
ГО. Синтез оптимальныя систем управления Аналогично определяется взаимная спектральная плотность двух ста- ционарных и стационарно связанных случайных процессов Х(Ф) и У(г): Яез(м) = К,„(т)е У 'ат, — СО К з(ы) = — Я,в(ы)е' 'йе. Если на вход устойчивой линейной стационарной системы подается стационарный случайный процесс, то на ее выходе в установившем- ся режиме устанавливается стационарный случайный процесс. Спек- тральная плотность Яз(м) выходного сигнала связана со спектральной плотностью Я,(ш) входного сигнала соотношением ~з( ) = ~В'О )~'~.( ), где Ьг Цш) — частотная передаточная функция системы.
Корреляционная функция выходного сигнала имеет вид Кз(т) = — ~ Щы)е~ 'йе = — ~ ~йг(ие~ Я,(ы)е~ йе. — О0 — (Ю Так как дисперсия Оз — — Кз(0), из последнего соотношения находим 2 ~ " 2 Процессы с независимыми и ортогоналзнаеми приращениями. Случайный процесс Х(т) называется процессом с независимыми приращениями, если случайные величины Х(Го), Х(1~) — Х(Мо), ..., Х(1„) — Х(1„~) при любых го < $1 « ... г„(из области определения случайного процесса) взаимно независимы [19]. Если эти величины только не коррелированны, процесс Х($) называется процессом с некоррелированными или ортогональными приращениями.
Процесс с независимыми приращениями полностью определяется распределением Х(Го) и распределением приращений Х($) — Х(з) для произвольных г и з. Если распределение Х(1) — Х(в) зависит от 8 — з, то процесс Х(г) называется процессом со стационарными приращениями. Если Х(1) — Х(з) имеет нормальное распределение, то Х(г) называется процессом с независимыми нормальными приращениями. Векторный процесс с нулевым средним значением и независимыми нормальными приращениями называют винеровским процессом.
245 СОН. Некоторые мины сл чаанык процессов Белый шум. Стационарный случайный процесс Х(С) называется белым шумом, если его спектральная плотность постоянна: Я (ш) = С (с = сопзС). Постоянная С называется интенсивностью белого шума. Если исходить из определения спектральной плотности, то спектральная плотность будет постоянна, когда корреляционная функция имеет внд К(т) = Щт). Здесь б(т) — функция Дирака (дельта-функция).
Более общее определение белого шума основано на виде корреляционной функции. А именно, случайный процесс Х(С) называется белым шумом, если его корреляционная функция имеет вид К,(С,т) = С(С)б(С вЂ” т). Белый шум называется стационарным, если его интенсивность является постоянной. Процесс У(С) является белым шумом, если процесс Х(С), связанный с У(С) уравнением Х(С) = ЩС)Щ), где Щ) — детерминированная функция (матрица), является процессом с ортогональными приращениями.
Если Х(С) является винеровским процессом, то белый шум У(С) называется нормальным (гауссовым) белым шумом. формирующий фильтр. Формирующим Филыпром называется звено, формирующее из белого шума случайный процесс с заданной спектральной плотностью. Если на вход устойчивой линейной стационарной системы (фильтра) с передаточной функцией 1тф(в) подается белый шум Сг(С) с единичной интенсивностью К„(т) = б(т), $„(ш) = 1, то в установившемся режиме выходной сигнал Х(С) будет стационарным, и его спектральная плотность связана со спектральной плотностью входного сигнала соотношением Отсюда следует: чтобы сформировать стационарный случайный процесс с заданной спектральной плотностью Я,(ш), которую можно представить в виде (10.2) где все полюса функции 1б(з) расположены в левой полуплоскости, достаточно принять передаточную функцию фильтра И"ф(в), равной Ф(з): РУь(в) = уу(в).
Как увидим дальше, важно, чтобы не только полюса, ио и нули функции ф(в) располагались в левой полуплоскости. Представление функции Я (ш) в виде (10.2) называется ее факвсоризацией. Гл. 10. Синтез оптимальных систем управления 246 Фпкягоризаз4ил спектральной 4зуикг4ии. Пусть спектральная плотность Я (ю) представляет дробно-рациональную функцию; где Н(ю), С(ю) — полиномы от щ, дисперсия конечна: .0 = — ~ Я (ы)йи (со. 1 1 о Пусть полиномы Н(ю) и С(щ) имеют вид Н( ) Д 23%4 Я з(т-1) 1 4 Я С(ы) = аощ " + а|а~1" '1 + " + а„.
Разложим их на элементарные множители и представим Я (и) в виде ЛОН+ 4КН- О) ъ/%Н+ ( — И 4РОН (~)н Гас С ,( ~)н ~~ С где Н+, С+ — произведения элементарных множителей, соответствующих корням уравнений Н(щ) = О и С(о) = О, расположенных в верхней полуплоскости; Н, С вЂ” произведения элементарных множите-' лей, соответствующих корням уравнений Н(и) = О и С(ю) = О, расположенных в нижней полуплоскости. Если положить Р(ул) =(з') ~/ЯН+, 90ю) = 0)" (~Се, то имеют место следующие равенства: Р( — уи) = ( — у) ЯН, 4;)( — 1ю) = ( — у)" (~С Поэтому Отсюда для передаточной функции формирующего звена получаем гте(з) = —.
Р(з) ь)(з)' Заметим, что корням уравнений Н(ы) = О и С(щ) = О, расположенным в верхней полуплоскости на плоскости корней ю, на плоскости з = уо соответствуют левые корни. Поэтому в соответствии с построением полиномов Р(з) и 4у(з) все нули и полюса передаточной функции формирующего фильтра располагаются в левой полуплоскости. 247 !0.1. Задами П р н м е р !0.1. Определить передаточную функцию формнрующего фильтра для стационарного случайного процесса со спектральной плотностью Я.(м) = , +, , (Ь > О).
м +2О +!' Решение. В данном случае нулями спектральной плотности являются ш» = уЬ, ш2 = — ЗЬ; полюсами — ш» = 7, ю2 = — у, ша = 7', ш4 = —,7. Поэтому имеем Н«. = ш — 2Ь, Р(уш) = т'(ю — 2Ь) = уи+ Ь; ~ =("-З)~ Ж )=З'( -З)'=(7' +1)' 8+Ь Передаточная функция формирующего фильтра РЬ (а) = (з+ 1)2 Задачи 10.1. Определять передаточную функцню формнрователя, предназначенного для получения нз белого шума с единичной ннтенснвностью случайного процесса со следующими спектральными плотностямн: (ш4 + 4,25иР + 1) — (.4 + !0. + 9)(„4 + 25,О~. + !) (ш4+ 10оР+9) (м4+ 16,25аР+ 4)(иР + 29ю2+ 100) ' ш4 + 16,25мР + 4 ) ( ) (иг»+биР+4)(и~4+136м2+036)' ш4 + 1,36иР + 0,36 (иг4 «.
4 25и~2 .» ! ) (ш4 «! Зиут «- 36) ' ш4 + 9,25иР + 2,25) (ш4.» бает.» 4)(ш4.» 17ш2 «!6)' ша + 17иР + 16 (ш4 + 13иР + 36)(ш4 + 4,254и2 + 1)' ш4 + 4,25иР + 1 (ш4+ 1ОиР+9)(ш4+ 26ш2+25)' ш4 + 26иР + 25 (ш4+4,25иР+ 1)(ш4+ !Зов+36)' ш4 + 13иР + 36 (ю4+ 1,25м2+ 0,25 (ю4+ 16,25иР + 4) ' 4 «!6 25 2.»-4 ( 4+2 +25)( 4+ !3 +36)' 248 Гл. 1и Синтез оитимильныя систем у веления 10.2.
На вход линейной системы подается стационапный случайный процесс с корреляционной функцией К(т) = 13е 1 . Определить спектральную плотность и построить формирующий фильтр выходного сигнала указанной системы в установившемся режиме при следующих ее передаточных функциях и значениях параметров а и 11: а) И/(в) = 1 , а=04, 11=5; за+ в+ 1 б) И'(в) = 1 в2+2в+ 1' , а =05, )3=4; 1 в) И'(в) = , а =4, 11=2; аз+За+2* 1 г) Иг(з) = =2, В=1; вт+4в+4 д) 1т'(в) =, а = 1, 11 = 8; 1 1 е) Ю(в) = , а=5, Р=04; вз+ бз+ 9* ж) ьг'(з) = 1 , а=4,о=05; зз+4з+3' з) Иг(з) = , а = 3, ь1 = 1,5; 1 1 и) Иг(з) = за+бе+8' , а=2, Р=1; 1 10.2.
Фильтры Винера и Калваана-Быеси Для управления с обратной связью необходимо прежде всего получить оценку фазовых координат, которые входят в закон управления. В системах управления, подверженных случайным воздействиям, получение такой оценки связано с решением задачи фильтрации.
Рассмотрим сначала ставшую классической теорию оптимальной фильтрации Н. Винера. Фильтр Винера. Постановка винеровс кой задачи оптимальной фильтрации. Винеровская задача оптимальной фильтрации формулируется следующим образом. Пусть случайный процесс Х(1) = Я(1)+ М(1) наблюдается на интервале ( — оо,1], Я(С) и Ф(1)— стационарные и стационарно связанные случайные процессы, Я(1)— полезный сигнал, Ф(1) — помеха. Известны корреляционная функция наблюдаемого (входного) сигнала К (т) и взаимная корреляционная функция входного и полезного сигналов К„(т).
Требуется определить 10.2. Фильтры Вине а и Калнина-Бьюси 249 линейную систему, выдающую иа выходе оценку Я(1), оптимальную в смысле минимума среднеквадратической ошибки или, что то же, минимума дисперсии: ,7 = М[Ез[ - пцп. Здесь Е = Е(1) — М[Е(1)[, Е(Ф) = Я(1) — Я(1) — ошибка оценки. Линейная система, которая получается в результате решения этой задачи, называется фильтром Винера, или оптимальным фильтром Винера. Передаточная функция оптимального фильтра (фильтра Винера) имеет вид 1 [ Я,(ш) "' = .(2-) ~ ;(- -) , (10.3) где ИГф(2м) — частотная передаточная функция формирующего фильтра входного сигнала Х(1) = Я(1) + Ф(1), Я„(ш) — взаимная спектральная плотность входного и полезного сигналов, [" ]+ — выражение, которое получается, если в разложении на простые дроби дробно-рациональной функции, заключенной в квадратных скобках, исключить те слагаемые, полюса которых расположены в нижней полуплоскости на комплексной плоскости м, или в правой полуплоскости на комплексной плоскости з =2 При мер 10.2.
Принимаемый сигнал Х($) представляет сумму полезного сигнала Я(1) и помехи йг(Ф): х(1) = Я(1) + м(1). корреляционные функции полезного сигнала и помехи имеют вид К,(т) = азе > < и К„(т) = Идб(т), полезный сигнал и шум не коррелированы. Определить передаточную функцию фильтра Винера. Решение. В соответствии с формулой (10.3) для определения искомой передаточной функции необходимо знать' передаточную функцию формирующего фильтра принимаемого (входного) сигнала И'в(з) и взаимную спектральную плотность входного и полезного сигналов Я,(ю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
