Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Если объект устойчив (все собственные значения матрицы А имеют отрицательную вещественную часть) и матрица 9 положительно определена, то уравнение (9.9б) имает единственное решение, которое является положительно определенной матрицей. Когда объект неустойчив, уравнение (9.9б) может не иметь решений нли иметь решения, при которых синтезированная система будет неустойчива. Пример '9.6.
Определить оптимальный закон управления по критерию обобщенной работы при условии, что уравнения объекта н критерий оптимальности имеют вид х~ = хт х2 = — х1 — х2+и, з = ~ (х~+х2+и +и )д2. 2 2 2 -2 о Решение. В данной задаче имеем А=, В=, (г= ", В=1.
Оптимальный закон управления имеет вид и' = — (О 1) ~ ' 1 ~ ' = — (йт~х~ + lсзях2), где ну определяются из уравнения )22! й22 1 1 1 — 1 к21 к22 0 1 нлн системы — йш — й21 + 1 = О, !ги — йм — 1~2 = О, й2~ — й22 + йп — йш + ! = О, йж = Йш. 236 Гл. У. Синтез онмимильнкл (ге минированных сисмем ленин г1 ма = -~-х(+ хг )(2 34ЩФчм 9.6. Определить управленце с обратной связью (выражение для и'(х1 и дифференциальные уравнения для злементов матрицы К) в следующнх задачах оптимального управлення: ю о=(2.-'-О о~,'(о)=о, о=~ (*'оо,')ойо ю о) о=(1-;м'о) +о, *(о)=~, о=/(ойо;,.'ада) аа о ю .) *,-а, а=,,(о)= .
о=1( (о$;- ')а)- о )о .) а-а, о,=о, *(о)=~, о=~ (о*)::*,'оойао ')й)- о о,--~-,-,,(о)-й",,г=~(,)+ ')а)- о ю а=-оао,,(О)=~, О=~ ( ).~2*)а+,с)й)- о ю — +. *(о)=*'. =Г(*,+ ')а) г а о (о а=-о* -*,.~, (о)=~. 3=)(ионооа)й) о д) х) =хг, е) й( =хг, ж) х) =хг, з) х) =хг, Эта система имеет следующее решение: 1 3 йю=йг) =-, йх) =1, йн =-. 2' ' 2 Это решение удовлетворяет критерию Сильвестра. Оптимальный закон управления имеет вид ю ) й 0, Оь — — 2 42и (О), 3=) ( 44 )й) и о к) х) =хт, ха= — 2х)-2хз+4м, х(0) = хе, )о .4=~ (Ь)4 (42 ')й) о 9.6. Определить управление с обратной связью в следующих задачах оптимального управления: ) *' -*. 4ь — ~,4, *(О)=*. 2=((0444 ')й) и, о б) х) =ха, ха= — 4х) — 2хз+2и, х(0) =ко, г=((2 ',42 0,4*)44 ')й)- о ') =20 2 = 4 44 (о)= ° 2 ((ь)4444 )й) и о ) 2 2 .
*' -2* -*.42»,*(О), 2 ((Ь)4Ь)42й)й) о и д) х) =2хт, хт= — х) — 2хт+2и, х(0)=хе, 00 4=((2,42, 42 42 )й) и о ) 4 =*, й — Ш вЂ” 2 424 *(0)=й. 2-~(,4444 )й) о ) 2 й, 4 — 2. — 4* 44» *(О)-й. 2-((Оа4344 )й) о 238 Ги 9. Синтез онтимвлйны)3 детерминированных систем веления з) х) =2хг, хг= — 4х)-4хг+бн, х(0) =хо, У= ( )4*)44* йрр*)+4 ')й) о и) х) =хг, хг= — 5х) — 4хг+и, х(0)=х, о 3 / )уй44*й +3*'+ )й) и о к) х)=хг, хг=-бх)+2хг+Зн.
х(0)=хо, ОО 3=) )2*',42*а +2* 42 ')й) о 9.7. Определить управление с обратной связью и' = и(у,у) в следующих задачах оптимально управления: а) у= — и у(0) уо у(0) уо,у ~ (уг+2уг+мг)дг), щ,п, о 2 „ у(0) уо у(0) =уо ,7 ~ (уг+2уг+„г),ц) , ;,. о 4 Р= — . Р)0)=Р, У)О)=р, 3-) )23'423 УОН42» )й) рг+4р ' о — + ппп; и г) у= и, у(0)=уо, у(0)=уо, 2 рг+2р+1 4= ~ )2Р...23';-233-;- ')й) й о 4) У= . У)О)=Р, Р)О)=2, 3=))4Р42Р4 4)й) 2 рг+4р+3 о 4 е) у „ у(0) уо у(0) уо рг+ бр+ Б 4=) )43'42Р42рр42 )й) й: о 239 У.й. Задачи 4 ж) у= и у(0) уо ур) уо,г ~ ~уз+4уз+4из)(11) - шш рз+4р+5 ' ' ' 1 ч' о 1 р= 4 р(0(=р, р(0(=р, Р )(42 42 42224 (й( рз+ 2р+5 о -+ шш; ч 1 и) у — и у(0)-уо у(0)-уо уз+бр+10 ' 2=(р 4-42 4-4224- '(44( о «) у и у4(0) уо у(0) уо 2 рз+бр+13 00 Р=)(РОГ42рр42 (24( о 8.8.
Определять управление с обратной связью, переводящее объект нз произвольного начального положения х10) =хо в начало координат, в следующих задачах оптимального управления с критерием обобщенной работы: а) х( = хз, хз = хз, хз = -х( — 2хз — Зхз+ и, 2=)(04*(4*(4 '4Ф(44- о б) х( = ха, хз =хз, хз = -х( — 2хз — Зхз+и, =12(*(4444 "4 "(44-- 0 о в) х( = хз, хз = хз, хз = — 2х( — 2хг — 2хз+ и, 2-)4(*(4* -.'- 4 4Ф(44 и о г) х( = ха, хз = хз, хз = — 2х( — 2хз — 2хз+и, 2=)2(0444*(4 4Я(й '0 ч о Гл. 9. Синтез оптимальна!л детерми еанныл систем ааления д) *! = ха, хз = ха, хз = -х! -Зхй-4хз+и, г=~з)а~ )+а+ '+у)е и О е) х! =хь хз =ха, хз = — х! — Зхз — 4хз+и, г=~6)а+*)+н+ '+и)е О ж) х! = ха, хз = хз хз = — х! — Зхз — 2хз+и, 3= /4)*)+а+ц+ + )й н О х! = хз, хз = хз, хз = -х! — Зхз — 2хз+ и, г- ~н)а+ )+а+ '+Ф)й н о х! = хг хя = хз, хз = -х! — Зхз — Зхз + и, 3 ~ )3, <.2 <.4.~ <.Ф)л и о х! =ха хз =хз, хз = — х! — Зхз — Зхз+и, 3=) ф<-2 -';3 .~ ';Ф)й н о Ответы 9Л.
а) б) в) г) я) е) ж) з) и) к) л) з) и) к) д)= — д! — дз — 2у, дз=2дз+2у+и, х)=у, ххнз=д)+у, хна=да+у; д! =д! — дь дз =д)+2дз+Зу+и, х! =у, ха=д)+у, хз =да+у; д)=2д)+дз+Зу, дз=д)+у+и, х)=у, хнз=д)+у, ххнз=дз+у; д! =да+у, да= — 2д! — дз — Зу+и, х! =у, ха =д)+у, хз = да+у; д! =да+у, да =-д! -2дз — Зу+и, х! =у, ха =д)+у, хз =да+у; д! =д! — дз, да= — Зд!-2дз-Зу+и, х! =у, хз=д)+у, ха=до+у; д! =д! — 2дз — у, дз=д)+дз+2у+и, х! =у, хз=д)+у, ха=до+у; д! =2д)+дз+Зу, да =д)+у+и, х! =у, ха=д)+у, хна=до+у; д! = — д)+да да=-2д! — дз — Зу+и, х! =у, хз=д)+у, ха=да+у; д! =до+у, до= — д! — 2дз — Зу+и, х! =у, хо=д)+у, хз =да+у; д! =д)+2дз, дз= — 2д! — 2дз — 4у+и, х! =у, хна =д)+у.
ха=да+у' 9.3. Оавеем 24! 9 2. а) К = (8 22 8); б) К = (4 7 — 14); з) К = (8 21 — 1) г)К=(9 26 — 8); д)К=(6 13 — 2); е)К=(8 21 — 3); ж)К=(6 11 — 6); з)К=(8 21 — 2); и)К=(4 8 — 14) к) К= (9 29 17) 9 3. а) и*(х) = — 2 о16п [о!6п(хз) (хза + 2х ) + 4х~] б) и*(х) = — з!бп[о!бп(хз)(ха з+ 2х~) + 4х~]; в) и*(х) =-о!6п[з!бп(хз)(ха~+ 4х~) + 8ху]; г) и'(х) =-2зщп[зщп(ха)(х$+ 4х!) + бхай]„ д) и*(х) = — 2 зцрь [кап(хз) (х~ + 8х ) + 1бх]; е) и*(х) =. — ощп(хи + хз + з!бп(хз) 1п/1 + ха з$8п(хз) !); ж) и'(х) = — ощп(хи + ха+ 2 ощп(хт) 1п]1+ О бха о16п(ха)]) з) и'(х) = — ощп(х> + О,бха + ащп(ха) 1п~! + О,бха о!6п(ха)]); и) и*(х) =-2 оцуп(х! + 05хз + о!6п(хг) !п]1 + О бха з!6п(ха) 1) к) и'(х) = — 2оцрв(хю + О 25хо + О 5 кап(хз) )п!1+ О 5ха зцрь(хз)]).
94. а) и*(х) *05 — 2о!8п[зщп(хз)(ха~ + х~) + 4х~]; б) и'(х) =0,5 — 1,5зщп[о!6п(хо)ха+ бх~]; в) и'(х) = О 5 — 1,5 о!6п [з!8п(хз)х~~ + 12хз]; г) и'(х) =О 5 — 1,5о16п[о!8п(хз)ха а+ бх~]; д) й(х)=1 — Зоцдь[з16п(ха)хзз+24хи]; е) и*(х) = -0,5 — 1,5 з16п(хр + хо + 1,5 зЩп(ха) х 2 х 1и!1 + -ха ощп(хз)]); 3 ж) и'(х) = — 1 — 2 з!бп(х~ + ха + 4 о!бп(ха) 1п]1 + 025хо о!6п(хз)]); 1 з) и'(х) = — 1 — 3 зц1п(х~ + О бхз + 3 зщп(хт) 1п!1+ — хз зщп(ха) /); 6 и) и*(х) = — 1 — 2 кап(х~ + О,бхз + з16п(хз) 1п]1+ О,бха вщп(ха)]); 3, к) и'(х) = — 0,5 — 1,5 з!6п(х~ + 0,25ха + — з18п(ха) х 8 2 х 1п] 1 + хз ощп(хз)]) ° 3 9.$.
а) и*(х) = -0,5Йх, Й = — 2(2е ' — 1)Й+0,5Йз — 1, Й(10) =0; б) и'(х) = — 0,5Йх, Й = -2(1+о!п~!)Й+Йо — 2, Й(10) = 0; о) и*(к) = — (Ййх~+Йазхз), Йп = Й(о — 1, Й~а =-Йп+Й~зйхп Йзз = — 2Й!а+Йззз — 1, 1с(0) =0; 242 Гл. У. Синтез оптимальных детерминироеанныл систем унраелениа г) и'(к) = -2(йсгхс+йггхг), йп = 4йгг — 2, йп = — йс с + 4йпйгг — 1, йгг = — 2йп + 4й~п — 1, 1с(0) = О; д) и'(х) = †(Йпхс + йпхг), Йц = Й~г — 1, Йп = — Йп + Йп+Йийгг Йгг = — 2йп+2йп+йгг, 1с(0) = 0; е) и*(к) = -(Йпхс + Йггхг), Йп = Йп — 1, Йсг = — йс~ +2йп+Йсгйп, йгг = — 2йп+4йгг+йгг — 2, 1с(0) = 0; ж) и'(х) = — (йпхс+йггхг), йп = 2йп+йс~г — 1, йп = йгг — йс с + йп + йсгйгг, йгг = — 2йп + 2йгг + Йггг 1с(0 ) =0; з) и'(к) = -0,5(йсгхс + йггхг), йн = 4йп+ 0,5йсг — 1, йп = 2йгг — Йсс+йсг+0,5йсгйгг йгг = — 2йп+21сгг+0.51сгп — 1 1с(0) = 0; и) и*(к) = — 0,5(йсгх~+йггхг), йп = 2йп+йгг — 1, Йсг = 1сгг — lси+2йп+Йп1сп, lсгг = — 2йп+4йгг+йгп, 1с(0) = 0; к) и'(х) = — 2(йсгхс+йггхг), йп = 4йп+8йгсг — 2, йп=2йгг — йп+2йсг+8йсгйгг, йгг=-2йсг+4йп+8Цс — 1, Й(0) = О.
9.6. а) и'(х) = — (хс+0,65хг); б) и"(х) = — (0,12хс+0,17хг); в) и'(х) = — (0,71хс +0,4хг); г) и'(х) = — (0,41хс +0,94хг); д) и*(х) = — (0,62х~ + 0,8хг); е) и'(к) = — (0,12хс + 0,17хг); ж) и*(к) = — (1,32хс + 1,16хг); з) и'(х) = — (0,62хс + 0,52хг); и) и'(к) = — (0,29х| +0,42хг); к) и'(х) = — (0,2?хс +0,62хг). 9.7. а) и' = — (у+ 1,3у); б) и* = -(у+ у) в) и' = — (у+ 0,58у); г) и' = — (у+ у); д) и' = — (у+ 0,64у); е) и* = -(0,56у+ 0,38у); ж) и* = — (0,096у+0,42у); з) и* = — (0,39у+0,4у); и) и* = — (0,05у+0,33у); к) и' = — (0,019у+0,045у). 9.8. а) й= — (0,5хс+1,Зхг+О,бхз); б) й=-(хс+2,6хг+1,2хз); в) й= — (хс+бхг+4хз); г) й= — (0,5хс+Зхг+2хз); д) й= — (1,5хс+2,86хг+1,09хз); е) й=-(Зхс+5,72хг+2,18хз); ж) й= — (2хс+2,8хг+2,4хз); 3) й= — (4хс+5,6хг+4,8хз); и) й= — (1,5хс+2,13хг+0,88хз); к) й= — (0,5хс+1,1Зхг+0,88хз).
Глава 10 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Во многих случаях, например при управлении различными технологическими процессами, летательными аппаратами и другими объектами, на процесс управления существенные влияния оказывают случайные факторы, и важно их учитывать. И в данной главе будут рассмотрены задачи по синтезу оптимальных систем управления при случайных возмущающих воздействиях (случайных возмущениях). 10.1. Некоторые типы случайных процессов. Формирующий фильтр Стационарный случайный процесс. Случайный процесс Х(г) называется стационарным (слабо стационарным, стационарным в широком смысле), если его математическое ожидание не зависит от времени и корреляционная функция зависит от одной переменной: 1) т, = сопзС; 2) К,(сп ст) = К (т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
