Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Требуется найти управление с обратной связью, при котором при произвольном начальном условии х(1е) = хо критерий оптимальности принимает минимальное значение. Эту задачу называют задачей синтеза нестационарного линейного регулятора состояния. У.З. Синтез олтимвльнык систем аления 229 где д(1) — скалярная функция, которая определяется из уравнения т д = -р'ВВ-'В'р — р'й, 9(г,) = О. 4 Те о ре ма 9 За. При Ь(ь) = 0 олтимальное управление имеет вид и"= — В 'В Кх, (9.6а) где симметрическая (и х п)-матрица К определяется иа уравнения К КА АтК+ КВЯ 1ВтК () К(г,) = Р.
(966) для любого с Е [гд, г7] справедливо равенство хт(С) К(г)х(Ф) = ьг = х (Фу)Гх(С7) + [х' (Ф)9(Ф)х'($) + и'т(8)В(Ф)п'(С)]де. (9.6в) Уравнение (9.56) называют матричным уравнением Риккати. Решение матричного уравнения Риниати. Матричное уравнение Риккати является нелинейным. Его можно решить на аналоговой или цифровой машине в обратном времени начиная с момента С7. Прн этом вводится новая переменная (обратное время) т = с7 — т и уравнение(9.56) и граничное условие (9.5г) преобразуются к виду К КА+ АтК КВЙ вЂ” 1ВтК+ ф, 0 ( т ( СУ $о .К(0) = В, где К(т) = К(Ф7 — т), А(т) = А(гу — т), Синтез оптимальной по интегральному квадратичному критерию стационарной линейной системы управления.
Постановка з а да ч н. Пусть объект описывается уравнением х= Ах+ Вп (9.7а) н критерий оптимальности имеет вид — [хт(~) ~)х(г)+пт(г) Вп(г)]да (9.76) Здесь Я н  — положительно определенные матрицы, все матрицы А, В, Я н В являются постоянными, объект стабилизируем. Требуется найти оптимальное управление с обратной связью, переводящее систему из произвольной начальной точки х(0) = хе в конечную точку х(оо) = 0 н обеспечивающее минимум функционалу (9.76). Эту задачу 230 Гл. 9. Синтез оптимальных дете мини ованнык систем уп веления называют задачей синтеза стационарного линейного регулятора состояния. Теорема 9А. Задача (9.7) имеет решение тогда и только тогда, когда объект (9.7а) стабилизируем, и оптимальное управление имеет вид и*=-В 'В Кх, где К вЂ” постоянная положительно определенная симметрическая (и х п)-матрица, определяемая из уравнения КА АтК+ КВ1Г~ ВтК Я 0 называемого алгебраическим уравнением Риккати; для любого г > 0 справедливо равенсгпво хт (ь)Кх(г) = (хт(тДх(т)+и*т(г)йи" (т))йт, ь где слева стоит функция Ляпунова.
Подставив управление в уравнение объекта; получим уравнение замкнутой системы х = (А — ВЯ 'В~К)х. Функция Беллмана является функцией Ляпунова для этой системы управления. Метод решения алгебраического уравнения Риккапш. Алгебраическое уравнение Риккатн является нелинейным, и. в общем случае аналитически решить его не удается. Решение этого уравнения совпадает с установившимся решением дифференциального матричного уравнения Риккати. Поэтому один нз возможных способов его решения основан на нахождении установившегося решения матричного уравнения Рнккатн, записанного в обратном времеви, прн начальном условия К(0) = Е, где Р— произвольная положительно полуопределенная симметричная матрица.
Пример 9.3. Определять оптимальное управление с обратной связью в следующей задаче оптимального управления: х~ =хм хо =и,,У= (х~~+дхз~+гй)йт- п1ш, о >О, г> О. о Решение. В данной задаче имеем А ~ ~. В=(). о=~ 9.8. Синтез олтямальных систем у ннл Поэтому оптимальный закон управления имеет вид и'= — — (О 1)~ ~~ 1= — -(Й х+Й х), ° 1 Й11 Й12 х! 1 г Й21 Й22 х2 где Йу определяются из уравнения [2 2 ] [О 1] [О 0] [2 2 ] 3 [2 2„](0)(0 31„ " Й,! Йгг О д О О ' или равносильной ему системы — 2Йгг+ — — у = О. Й22 ! — — 1=0, -Йн+ — =О, Й12 Й„Й2, т г Эта система имеет решения 2 -200.
2 =04 6 22 (. 2 Й!гйгг Критерию Сильвестра положительной определенности матрицы К удо- влетворяет решение Вы= ', 2 — 0(((2222 01, 2 =0'222 7. Оптимальный закон управления имеет вид 1г и' = — -(,/гх(+ г(9+2~/г)хг). х! = х! + и, хг = ах2,,2 = ~ (х, + хг+ и )(12 — 2 пйп 2 2 2 о имеет решение. Решение. В данной задаче имеем А=[ ], В=(). 0=[ ]. Поэтому оптимальный закон управления имеет вид и = (! 0) = — (Й1! Х! + Й(2Х2), Пример 9.4. Определить, при каких значениях параметра а задача оптимального управления 232 Гл. 9. Синтез оптимальных детврминированных систвм правления где йу определяются из уравнения lсм йзз О а О а йм х () (1 о) 1О ОО или системы — 2йн+ йы — 1 = О, -2айш+йыйш = О, — 2йш+йш — 1 =О. Последние уравнения имеют решения 1 йп = 1 х ~/2, йш = йм = О, йш = — —.
2а' Критерий Сильвестра положительной определенности матрицы К будет выполнен, если й1 ~ > О и йзз > О. Второе неравенство будет выполнено и задача будет иметь решение, если а с О. При ся > О задача не имеет решения. Это обусловлено тем, при этих значениях параметра объект не стабилизуем. Синтез оптимального линейного регулятора выхода. Пусть задана управляемая система х=Ах+Вц+Ь, у =Сх и критерий оптимальности 1 з = хт(сг)рх(сГ) + (ут~у+ птЯп)дх Здесь Ь вЂ” известная функция времени, à — положительно полуопределенная матрица, 4 и  — положительно определенные матрицы, зависящие в общем случае от времени.
Матрицы А, В, С, ф Н как функции от времени предполагаются непрерывными на интервале [Фо,гу1 Требуется определить управление с обратной связью, при котором критерий оптимальности при произвольной фиксированной началъной точке принимает минимальное значение. Эту задачу называют задачей синтеза оптимального линейного регулятора выхода, причем если объект или критерий нестационарен (хотя бы одна из матриц А, В, С, ф, В зависит от времени) или ФГ кончен, — нвсглационарной и, если объект и критерий стационарны и ГГ = со, — стационарной задачей синтеза линейного регулятора выхода. Задача синтеза оптимального линейного регулятора выхода отличаегся от рассмотренной задачи синтеза оптимального регулятора состояния только тем, что в критерий оптимальности вместо вектора состоя- 9.3. Синтез олтимельиых систем уираеленил 233 ния входит выходной вектор и условие задачи дополняется уравнением наблюдения.
Подставив выражение для выходного вектора в критерий оптимальности, получим е" = х~Я)ехай) + (х С«фСх+ ц«йц)»12. Таким образом, задача синтеза оптимального линейного регулятора выхода свелась к рассмотренной задаче синтеза оптимального линейного регулятора состояния. Отличие состоит в том, что здесь роль матрицы ч играет произведение С~'4С. При этом может оказаться, что, хотя матрица ф является положительно определенной, произведение этим свойством не обладает: оно может быть положительно полуопределенным. Произведение С~ЩС будет положительно определенным, если у = 0 в том и только в том случае, когда х = О.
При мер 9.5. Определить оптимальный закон управления в следующей задаче оптимального управления: решение. В данной задаче имеем Поэтому для оптимального закона управления получаем М = — (О 1) = — (Й21Х! + Й22Х2), !'й» й12'! /Х!'1 и21 к22" З2 где й!у определяются из уравнения й11 12 0 1 0 0 й11 й12 + Й1! Й12 0 (О 1) йм й22 0 0 0 0 или равносильной ему системы л12 — ! =О, — йц+Йпйж=О, — 2й!2+й22=0. 234 Гл, У. Синтез оптимальная детерминированныя систем управления Эта система имеет решения йп = йм —— 1, йтз = Ы/2, йы =*чу. Критерию Сильвестра положительной определенности матрицы К удовлетворяет решение кзт = ~Г2, й~ ~ = ~Г2.
й!2 = к2! = 1, Следовательно, оптимальный закон управления имеет вид и' = — (х~ + ~/2 ха). Синтез оптимальной системы по критерию обобщенной работы. При решении задач синтеза оптимальных систем управления по интегральному квадратичному критерию сталкиваемся с необходимостью решать нелинейные дифференциальные уравнения Риккати в случае нестационарной задачи и нелинейные алгебраические уравнения Рнккати в случае стационарной задачи.
А.А. Красовский предложил критерий оптимальности, который он назвал критерием (функционалом) обобщенной работы, при котором удается избавиться от необходимости решать нелинейные уравнения. Суть метода синтеза оптимальной системы по критерию обобщенной работы состоит в том, что интегральный квадратичный критерий выбирают так, чтобы уравнение Беллмана получилось линейным. Рассмотрим задачу синтеза оптимальной линейной системы, когда уравнения управляемой системы и критерий оптимальности имеют вид х= Ах+Вы, (9.8а) ьг ,У = х (зу)Гх(зу) + (х Ях+ ц~ Вп+ й~Лй)й, (9.8б) гь где Š— постоянная положительно полуопределенная матрица, сг — положительно полуопределенная, В-положительно определенная матрицы, которые могут зависеть от времени. Теорема 9.5.
В задаче (9.8) при условии, что объект устойчив и в критерии оптимальности (9.86) и = и* = — Я 'ВтКх, 1) оптимальный закон управления имеет вид и' = — В-!ВТКх, где положительно определенная симметрическая матрица К ощзеделяется из линейного дифференциального уравнения К = — КА — АтК вЂ” С) К(1 ) — Р (9.9а) если она является нестационарной; 235 9.3. Синтез олтимальнык систем тгаеления 2) оптимальный закон управления имеет вид ц' = -Я-1ВтКх где положительно определенная симметрическая матрица К определяется из линейного алгебраического уравнения КА+ АтК+ д = 0 (9.9б) если она является стационарной (все матрицы являются постоян- ными и 8у = оо). Уравнение (9.96) является уравнением Ляпунова, и оно имеет решение, если среди собственных значений матрицы А нет пары собственных значений, сумма которых равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
