Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151995), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Требуется на основе наблюдения выхода у(!) на интервале [!о,!)[ определить несмещенную оценку х(!) фазового вектора х(!), обеспечивающую минимум среднему квадрату ошибки: ,У = М[(х(!) — х(!))~(х(!) — х(!))[ — + зпш. (10.8г) 90) Здесь (10.8а) является уравнением объекта, (10.86) — уравнением наблюдения, в котором з — цветной шум наблюдения, (10.8в) — уравнение формирователя, формирующего из белого шума т'„шум наблюдения.
И данная задача преобразуется в задачу фильтрации с белымн шумами. Из уравнений (10.8а)-(10.8в) находим у = Сх+ Сх+ з = (С + СА)х + СВц + Рз+ СУо + 'Ч„. Введем новый вектор наблюдения. (10.9а) у = у — СВи — Ру. После подстановки сюда выражений для р и р, получим у = Сх+ Ъ'„, где С = С+СА — РС, ~н — С)~~ + )гн. (10.96) В преобразованном уравнении наблюдения шум $я является белым, и его интенсивность Во и интенсивность взаимной корреляционной функции его и шума объекта Яо определяются следующим образом: Ве = СЯоСт + уСт + СЯ+ Во Яо = ЯоСт + У (10 9в) Из последнего равенства следует, что шум объекта то и шум ч„ преобразованного уравнения наблюдения будут коррелированы, хотя шум объекта т'о и шум 'Ч„на входе формирователя не коррелированы (Я = 0).
!0,2. Фалы и Вине а и Калнина-Бьюси Итак, если матрица Во положительно определена, то оптимальный фильтр согласно теореме 10.2 описывается уравнениями х = Ах+ Вц+ Ко(у — Сх); х(зо) = хо; Ко (РСт + Во)ВР = (А — Вой ~С)Р+Р(А — ЯоВ~ ~С)т — РС' В 'СР+ с~о — ВоВ 4, Р(зо) = бЪ. (10.10а) (10.10б) (10.10в) Новый вектор наблюдения определяется соотношением (10.9а). В него входит производная у, что делает необходимым дифференцирование наблюдаемой переменной, но что является нежелательным. Возможен другой способ получения оптимальной оценки, исключающий необходимость дифференцирования. Введем вектор х, определяемый соотношением х = х+ Коу.
(10.11а) Продифференцируем это равенство по времени и, подставив в него выражения для х и у, получим х = (А — КоС)х+ ( — КоСВ)н — (Ко+ КоВ)у, или, подставив выражение для х, В последнее уравнение производная у не входит. Из него определяется х, а затем из (Ю.11а) находится искомая оценка. Пример 10.5. Объект и наблюдение описываются уравнениями х = О, у = х+ з; Мх(0) = О, М[хз(0)] = ро. Шум наблюдения е является стационарным случайным процессом с характеристиками М[з] = О, М[з(1)е(1+т)] = — е ~ 1.
2 Р е ш е н и е. Уравнение формирователя имеет вид (см. пример 1ОА) й = -е+ У„М[Ч„] = О, М[рь(1)еь(1)] = б(1 — $'). В данном случае А=О, В=О, С=1, До=О, В= — 1, Во=1, Я=О. х = (А — КоС)х+ ( — КоСВ)м+ + [(А — КоС)Ко — Ко — КоВ]у, х(то) = хо — Ко(1о)у(то). (10.11б) 258 Га 1О. Синтез оптимальных систем и аиеения Поэтому из (10.96) и (10.9в) получаем С=1, В =1, д =О. Из (10.11) находим м = йо- + ( йо' йо + йо)р; я(О) = -йод(О); я = я+Й~у. Так как Яо = О, то йо и р определяются согласно теореме 10.1 по формулам (!0.56) и (10.5в): Ао = р р = рз р(0) - ро Как легко проверить, ро йо ро 1+ роз' 1+ р,1' Вырожденная задача овтимального ог1ениоанал. Задача оптимального оцениваиия называется вырожденной или сингулярной, если матрица интенсивности шума наблюдения является вырожденной (не является положительно определенной).
Вырожденные задачи возникают, когда часть компонент выходного вектора измеряется точно или когда шум наблюдения является цветным и матрица интенсивности преобразованного шума наблюдения является вырожденной. Если задача оцеиивания является вырожденной, то приведенные выше опти- ' мальные фильтры использовать нельзя. Если шумы являются цветными, то согласно описанным выше процедурам исходная задача может быть преобразована в задачу с белыми шумами. Поэтому ограничимся рассмотрением только сингулярной задачи с белыми шумами. Сингулярную задачу оптимального оценивания можно сформулировать следующим образом: х = Ах+ Вп+ чо., х(1о) = хо; (10.12а) у01 = С1х+ ч„, (10.126) у1з) = Сзх, (10.12в) ,У = М[(х(1) — х(Ф))~(х(1) — х(1))] - ппп, (10.12г) хО) где фазовый вектор в начальный момент х не коррелирован с шумами объекта Ъо и наблюдения ч„, и они имеют следующие вероятностные характеристики: М[ '] = й'.о, М[(хо — хо)(хо — )' = Ро; М[чо] =О, М[чо(т)Ча(т)] =1Ро(1)5(1 — 1')' М('!Г„] = О, М[АГ„(1)~l~(1')] = Ло(1)б(Ф вЂ” 1'); МЖо(1)М'.
(1')] = Яо(Ф)б(1 — 1'). 259 10.2. Фильтры Винера и Налиана-Бьюси Здесь, как обычно, принимается, что РО, ЯΠ— положительно полуопределенные матрицы, ВΠ— положительно определенная матрица. Эта задача отличается от несннгулярной задачи оценнвання тем, что в ней уравнение наблюдения представлено двумя уравнениями: (10.126)— уравнение, определяющие неточно нзмеряемые выходные переменные, (10.!2в) — уравнение, определяющие точно измеряемые выходные переменные. Оптимальная оценка определяется следующим образом:: х = г.
у(2) + г.тц, (10. 1За) с1 = Ас1+ й+ Ко(у — С21), с1(1О) = Сзхх, (10.136) КО = (РС + ®В (10,13в) Р = (А — БОВ 1С)Р+Р(А — ЯОВ ~С)т— — РС ВО 'СР+ ссо — оОВО 'Я~О2, Р(2О) = С2РОС'2. (10.13г) Здесь приняты следующие обозначения: Ь~ н 12 определяются нз соотношения -1 и, ьс=(',) где матрица С' выбирается так, чтобы (п х м)-матрица справа в последнем соотношении была не вырождена; А = (С2+ С2А)52, й = (С2+ С2А)Ь|у09 + С2Вц, (1014а) (10.146) -12) где уи = уб) — С~Ь~у1~1, у(21 = у(2) — (С2+ С2А)А~у(2) — С2Вп; (10.15а) С1 = С~Х2, С2 = (С2 + СОА)Ь2, (10.156) вероятностные характеристики преобразованных шумов: ЮΠ— С29ОС 2 В ~ О 2 т) О (С2ЯО С2ЯОСзт) .
~2~О ~2~О~2 (10.15в) Следует иметь в виду, что не всегда рассмотренный подход позволяет решить поставленную задачу. Очевидно, он не позволяет получить оптимальную оценку, если матрица ВО интенсивности преобразованного шума наблюдения является вырожденной. Пример 10.6. Объект н наблюдение описываются уравнениями Х! =Х2, Хз =о+а~2, 91 = Х~ + Кн, 92 = Х2. 260 Гл. 1О. Синтез оне)ииаленых сисе)ии нраеления Мх,(0) = О, М[хз(0)] = рш, 1 = 1,2; М[х)(0)хз(0)] = 0; М[тш(1)] = О, М[т))2(1)Ъ2(1 )] = Чззб(З 1) М[У,(З)] = О, М[Ъ',(1)ЪЯЗ')[ = г))б(1 — З') МК~(1)Ъ',(З')] = О.
Требуется определить оптимальную оценку. Решение. Задача является сингулярной. В данном случае имеем А=[ ]. В=(). С =)1 О), С =(О 1); 10 — „р1т)— Яо = но = г)), Зо = 0; Ф вЂ” О, Ро = Примем Ст = (1 0). Тогда о = Сзх = х). Из равенства го~ получаем Ь) = , с'т = [,1,/ 0) Из формул (10.14) и (10.1 ) находим .4=0, )р)) =р) С) =1 фз) =1) — н с =о, РЮ 1) — н С О 4),=О, Ло= "", ~'~=О. Из (10.13) имеем 1 - Р, + й)(Р) — д) + йз(Р, — ) й(О) = О р= —, р(0) =р . о -' р г)1 й,= — ", Р г)! Для искомой оценки из (10.13а) получаем х) = 4, хт = рз. Фазовые координаты в начальнмй момент не коррелированы с шумами объекта и наблюдения, и они имеют следующие вероятностные харак- теристики: 10.2. Задана Задачи 10.3.
Принимаемый сигнал Х(Ф)представляет сумму полезного сигнала Я(Ф) и помехи М(Ф): Х(С) = Я(1) + Ф(1). Их корреляционные функции соответственно имеют вид К~(т) )Уе а1т! Кп(т) Ье а~т~ Полезный сигнал и шум не коррелированы. Определить передаточную функцию фильтра Винера при следующих значениях параметров а, УУ, а иЬ: а) а=2, Д=1, а=1, Ь=1; б) а=4, р=2, а=2, Ь=1; в) а=4, 8=4, а=1, Ь=1; г) а=б, 1У=4, а=1, Ь=1; д) а=4, УУ=1, а=1, Ь=1; е) а=1, 1У=1, а=2, Ь=1; ж) а=1, )У=1, а=б, Ь=2; з) а=1, 1У=1, а=4, Ь=4; и) а=б, р=1, а=2, Ь=4; к) а=1, Р=1, а=4, Ь=1. 10.4. Дана управляемая система х1 = хз, хз = а1хк + азха + Ьи + Ъщ, х~(0) = О, хз(0) = О, у = х| + т'н. Шумы объекта тю и наблюдения т'„являются белыми с интенсивностями д и т соответственно, н они не коррелированы. Определить на основе наблюдения выхода у на интервале (0,1) несмещенную оптимальную оценку при следуюших значениях параметров ап аз, 6, 4 и т: а) а1 = О, ат = 2, Ь = 2, д = 1, т = 1; б) а~ = -4, ат = 2, Ь = 1, д = 2, т = 1; в) а~ = О, ат = — 4, 6 = 4, д = 2, т = 2; г) а1 = — 1, аз = -4, 6 = 2, д = 4, т = 2; д) а1 = -2, ат = — 1, Ь = 2, д = 4, т = 1; е) а1 = -2, ат = 2, Ь = 8, д = 2, т = 4; ж) а~ = — 2, ат = — 4, 6 = 8, 4 = 2, т = 4; з) а1= — 4, аз=4, 6=4, 4=1, т=2; и) а~=-5, аз=-4, 6=4, 4=1, т=2; к) а~ = -5, аз = 2, 6 = 1, д = 1, т = 1.
10.6. Дана управляемая система х1 =а~хт+Ьв, х1(0) = О, у = х1+ $'н, хз(0) = О, 262 Гл. 1О. Синтез оптимильныл систем управления где хш ӄ— шумы объекта и наблюдения. Шум объекта хз подчиняется уравнению хз = азха+ сУш. Здесь У„и Ую являются белыми шумами с интенсивностями г и д = ! соответственно, и они не коррелнрованы. Определить на основе наблюдения выхода у на интервале [0,1] несмещенную оптимальную оценку при следующих значениях параметров аи аш Ь, г и с: 6=1, г=1, с=2; 6=2, г=1, с=2; 6=2, г=2, с=1; Ь=1, г=2, с=1; аз = — 1, аз = — 1, аз = — 2, аз = — 2, аз= — 4, 6=1, г=4, с=2; аз = — 4, Ь=4, г=4, с= 2; Ь=4, г=4, с=З; Ь=З, г=2, с=З; аз = — 3, аз = — 3, аз= — 4, Ь=3, г=2, с=5; аз = — 4, Ь = 4, г = 2, с = 5.
10.6. Дана управляемая система х1 = охз + Ьи, х~ (О) = О, у = х| + У„, где хз и ӄ— шумы объекта и наблюдения соответственно, и они не коррелированы. Шум объекта хз является стационарным случайным процессом с корреляционной функцией К1г) = 13е ~'~ и математическим ожиданием в начальный момент М(хз10)) = О, а шум наблюдения ӄ— белым с интенсивностью г. Определить на основе наблюдения выхода у на интервале 10,1) несмещенную оптимальную оценку при следующих значениях параметров: а) а1 = 1, б) а1 = 2, в) а~ = 2, г) а~ = 4, д) а~ = 4, е) а1= 2, ж) а~=2, з) о1= 5, и) а1 =5, к) а1 = 3, а) а=1, б) а = 2, в) а = 2, г) а=4, д) а=4, е) а=2, ж) а=2, з) а=5, Ь= 2, Ь=1, Ь=1, Ь=2, Ь=2, Ь= 3, Ь=3, Ь= 4, 13 = 4, Д=4, 13=1, ,3=1 13 = 2, Д=2, Р=1, ~3=1, а=1, г=1; а=1, г=1; а=2, г=2; а=2, 'г=2; а=4, г=4; а =4, г= 4; а=З, г=4; а=З, г=2; 1О.г.
Зааа 263 и) а =5, Ь=4, Д= 3, а=4, г =2; к) а=З, Ь=5, Д=З, сг=4, т=2. 10.7. Дана управляемая система х! = хз, хз = а1х~ + азха + и+ Узо, х~(0) = О, хз(0) = О, р = х~ + з, где Узо н з — шумы объекта н наблюдения соответственно. Шум объекта Узо является белым с интенсивностью д, шум наблюдения х— цветным н подчиняется уравнению й = Зз+2Р. Здесь Є— белый шум с единичной интенсивностью, шумы Уш н Р„ не коррелнрованы. Определить несмещенную оптимальную оценку фазового вектора, принимая за наблюдаемый выход у =рь — СВн — ду (С= (1 О), В= [О 1]т) прн следующих значениях параметров аы аз, г) н д: аз= — 4, д= — 4, аз= — 4, г)= — 1, 10.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
