Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 98
Текст из файла (страница 98)
(15.45) Формулы (15.43) и (15.44) имеют больше теоретическое, чем практическое значение. В большинстве случаев нахождение г-преобразования для изображения Лапласа РА (р) проще осуществить переходом к оригиналу [ (1) известными методами и использованием затем табл. 15 1. Рассмотрим кратко основные правила и теоремы применительно к г-преобразованию. Этн же правила и теоремы будут справедливыми и для дискретного преобразования Лапласа.
Рассмотрение проведем для несмещенных решетчатых функций, но полученные результаты можно распространить и на случай смещенных функций ~ [и, е], кроме случаев, оговоренных особо. 1. Свойство линейности. Это свойство заключается в том, что изображение линейной комбинации решетчатых функций равно той же линейной комбинации их иаображений. Пусть реп!етчатзя функция определяется выражением л Д ! =-- У, С,У„ [ ]. (15.46) Тогда для ее изображения можно записать Р(г) "= ~~ етРА(г).
т=! (15. 47) 2. Теорема аапаздывапня и упреждения. Рассмотрим решетчатую функцию 1 [и — лг], сдвинутую вправо (аапаздывающую) на целое число тактов т, Тогда из формулы (15.29) следует, если обозначить и — т =- г, ! 2 ([ ]и, — т]) .:- ~~ ~[г! г '!"'' "! -= г ~ ~ ~ ([г] г "-'- ~", [[г] г е= — т '.-о т=-~и = г '" [Р (г) -!- ч! 1 [ — г] г ]. (15.48) е =! Здесь Р (г) — изображение функции ~ [и!.
Если исходная решетчатая функция ! [и! равна нулю прн отрицательных значениях аргумента, то формула (15.48) упрощается: 2 (([л — ш ]) =-.--Р(.). (15.49) Если сдвиг функции ~ [и] происходит влево (упреждение) н рассматривается функция [ [и + т], где лг — целое полок!ительное число, то аналогично случаю запаздывания можно показать, что ~и — ! А Яп+т]) = г"'[Р(г) — ~; ! [Й] г А!. (15.50) А=-О Второе слагаемое в правой части (15.50) обращается н нуль, если ~ [и] = 0 при н =- О, 1,..., т — 1. 444 1гл.
!Ь импхльсныг системы Я(ех"т~[п])= ~ег"гг[и]г "= ~~~[[и]еп — г>"г=-г' ( — ); г]=е"г (1553) «=0 «=0 Для смещенной решетчатой функции аналогичная формула имеет вид 2, (гх т( [и+.Р = 1'. Р ( — е) . (15.54) 4. Теорема об умножении оригинала на степенную функцию. Пусть решетчатой функции г' [и] соответствует изображение Р(г). Тогда можно показать, что 2 ((иТ) ~ [я]) =- ( — 1)'" ° „) ~, (15.55) Для смещенной решетчатой функции аналогичная зависимость имеет вид Я,((п+е) Т"1[п, еЦ == Я ( — 1)'С«,(еТ), ' ) / . (15.56) ~Р ~~РТ 5.
Изображение разностей. Для первой прямой разности на основании (15.50) Я (Л/ [п[) = Я(([и+11 — ([по --г [Г(г) — ~[ОП вЂ” Р(г) =(г — 1) г'(г) — ([01. (15.57) Если й — целое число, то аналогичным образом Л (Л"~[п]) -=(г — 1)" г"'(г) — г ~' (г — 1)~ ' «Ь'([0], (15.58) «ха причем Л'( [0] .:.= 1 10]. Если решетчатая функция ~[п] равна нулю в первых й точках оси времени т. е. Т [0) =-([1] =.... =Т [й — 1] =-О, то формула (15.58) упрощается: Е (Ль([п]) =- (г —.1)з.р (г), (15.59) Для первой обратной разности можно аналогичным образом найти 2 ((г1[пЦ = 2 (( [и] — ( 1п — 1О =-.. ' Р(г) + г ~~ [ — 11. (15.60) При запаздывании на не целое число периодов т -г $ приходится вводить смещенную решетчатую функцию. Пусть рассматривается функция / [и + е — т — $1, где т — целая, а $ — дробная часть запаздывания.
Если смещение е удовлетворяет условию 0 е ( $ и г [и + е — гп — З] == 0 прн п + е ( т + $, то можно показать, что 2,(/1п + е — т — $]) =- г <'+'"' Р (г, 1 + е — $). (15.51) Если $~е(1, то Я, (1 [п + е — т — Ц) == г-"' Г (г, е — $). (15.52) При использовании табл. 15.1 для нахождения иаображений следует вместо е подставить 1 —; е — $ нли е — $ в соответствии с формулами (15.51) и (15. 52) .
3. Теорема об умножении оригинала на экспон е н т у (теорема смещения в области изображений). Умножим решетчатую функцию на экспоненту ешг. Тогда из формулы (15.29) следует: $ 1$.2) ИСПОЛЬЗОВАНИЕ мПРЕОБРАЗОВАНИЯ Если для отрицательных аргументов решетчатая функция тоягдественно равна нулю, то формула (15.60) упрощается: 2(171 [пЦ = — Е(з). (15.61) а[п] =. ~~ 1[т].
Составим первую прямую разность етой суммы Ла[п) — -а[п ]-1] — а[п) =-1[п[ и возьмем з-преобразование от правой и левой частей 2 (Оо [пЦ вЂ”.- 2 (1 [пЦ. На основании (15.59) имеем, далее, (з — 1) 2 (о ]пЦ = г" (з). Отсюда можно найти изображение неполной суммы 2(о [пЦ = —" Р (1) Распространяя эту зависимость на случай к-кратного можно записать 7. (а' [пЦ =- 1)з ' Для полной суммы (15.13) аналогичным образом можно обратную разность (15.64) суммирования (16.65) найти первую Коз[ [=аз[я] — а,]п — 1] ==1[п] .и ее изображение из (15.61) 2 (17а~ [пЦ .—.: —" 2 (о [пЦ = Р (з).
Отсюда изображение полной суммы 2 (аз[пЦ =. ', р"(з). Для случая и-кратного суммирования 2(о,", [пЦ = ( — 1) г" (З). (15.66) (15.67) Для к-й обратной разности при 1[п] = — 0 для п~О 2(;г11[пЦ=- ( — ) г" (з). (15.62) Полученные формулы изображений прямых и обратных разностей формально напоминают формулы для нахождения изображений производных непрерывных функций. Формула (15.62) аналогична случаю изображения производной й-го порядка непрерывной функции по начальным условиям слева при нулевых их значениях. Заметим, что при Т-~0 (непрерывный случай) множитель в правой части стремится к пределу: ( 1 ) =П ( 1 ) .=р"Т". (15.65) К такому же пределу стремится множитель (з — 1)" в (15.59).
Это также иллюстрирует сходство формул изображений производных и разностей. 6. И з о б р а ж е н и е с у и м. Рассмотрим вначале неполную сумму (15.12): гга. 15 446 импУльсные спстемьг Из приведенного рассмотрения вьгтекает справедливость равенства (15.68) Ло [и[ =- Чп, [гг[ =- ~ [и[. 2(7[2 т[) — Я [[). Т[з — ==к,(зг, Лт). о (15. 69) Из (15.69) следует, что при изменении периода в Х раз необходимо в иаображении решетчатой функции 7 [и! заменить з на зг и Х на 7 Т. Так, например, если рассматривается решетчатая функция е-"лг, то прн введении периода ХТ в соответствии с табл. 15.1 а) изображение будет и,, хХ ( г.
) Т) Я(с-гхлгг) = д е "" где з, — з' и дг ==ггх. На рис. 15.8 К "Л 7" построены для этого случая решетчатые функции с исходным периодом следования 7' (ркс. 15.8, а), растянутым периодом при 1 ) 1(рис. 15.8, б) исжа)л тым периодом при Х ( 1 (рис. 15.8, л). 8. Сумма ординат решетч а т о й ф у и и ц и и.
Если абсцисса абсолк>тпой сходимости решетчатой отрицательна (с ~ 0). то, положив з (15.29) р = О, имеем ы ы 4 ы ы гд Ркс. [5.з. функции г (1) -"[ппГ(г):-,~ 7[я[. х- 1 л 5 (15.70) 9. К о и е ч и о е э и а ч е и и е р е ш с т ч а т о й ф у и к ц и и. Составим первую прямулг разность решетчатой функции 7[гг[ и на основании (15.47) найдем ее изображение 2 (Л[ [и)) -= (з — 1) й (.) —:[[О[.
Далее па основании (15.70) найдем сумму ординат Ы17'[гг[: ~ Ых[ [и[ -= [пп (з — 1) Р'(з) — г [0[. л.= 5 х 1 Таким образом, взятие прямой разности н взятие неполной суммы (или обратной разности и полной суммы) решетчатой функции являются обратными операциями. Роль оператора, аналогичного оператору р = с + )ю в непрерывных системах, в первом случае играет оператор (з — 1), а во втором случае — оператор —. В случае перехода к пределу при Т вЂ” х 0 обе х пары операций над решетчатыми функциями сливаются и превращаются в операции дифференцирования и интегрирования непрерывных функций.
7. Изображения решетчатых функций с изме- ленным периодом следования. Пусть рассматривается решетчатая функция с периодом следования дискрет ХТ. где ) =~: 1. Тогда на основании (15.29) можно записать 447 1 !ОО! ИСПОЛЬЗОВАНИК 2-ПРР ОБРАЗОВАНИЯ Кроме того, можно записать У, Л/[и); — — ~~ (/~[и !-1] — /[и]) === !пп/[и] — / [О!. 2.= О ч;;О 22 Ф Из двух последних выражений следует: )!ш/[и) —.=!Пп(г — 1) Г(г). 22- 2 2-21 (15.71) Зависимости (15.72) и (15.73) представляют собой аналоги соответ- ствующих выражений для нахождения конечного и начального значений непрерывной функции /(1) по ее изображению Лапласа: [нп/(1) —.— [!шрг!1 (р), р О )пп/(1) -Ф [[и! РРл (Р).
!. О Р 11. Свертка решетчатых функций. Если г(/1[ [) ФР,(), 2 (/2 [иИ ~г (г)2 то можно показать, что и 22 р! (г) рг (г) =-Я [ ~2 /, [т] /, [и — т][:Ф Е [ ~~ /1 [и — м] /г [т]) . (15 74) Ф вЂ”.О в=О Зта формула аналогична соответствующему вырая1ению для свертки двух непрерывных функций. 12. 1!! о р м у л а о б р а ще н и я. Рассмотрим задачу нахождения решетчатой функции (оригинала) по ее нзобра!кению. Эту операцию запишем в символкческом виде как обратное г-преобразование: /[и] — г- (р(г)), (15,75) /[и, е] = — ~,' (г (г, с)). (15.76) Заметим, что аргумент изображения обладает свойством ОРг — - ОРТ+22222 (15.77) Если провести аналогичное рассмотрение с первой обратной разностью, то мо!кно получить формулу для вычисления конечного значения решетчатой функции в другом виде: !!ш/ [и] == !пп — г'(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
