Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 101
Текст из файла (страница 101)
е. 1'л (р) —. И'и (р). В свою очередь передаточную функцию И', (р), учитывая внд схемы, изображенной на рис. 15.11, можно представить в виде произведения передаточных функций экстраполятора и непрерывной части, т. е. И', (р) =- И', (р) И'о (р). Это дает возможность представить структурную схему импульсной системы регулирования так, как это изображено на рнс. 15.12. Передаточная функция И'„(р) есть изображение Лапласа приведенной весовой функции 1Р„(5), и ее можно назвать приведенной передаточной функцией непрерывной части совместно с зкстраполятором. 458 1ол. оо нмпуо!Ьсные ш!стемы Формулы (15.120) и (15.121) указывают на полное сходство с непрерывными системами, у которых передаточная функция есть преобразование Лапласа от весовой функции И'о(Р) =-~(юо(!)) =- ~ и'о(Г) о "'«! (15.122) о Формула (15.121), определяющая дискретную передаточную функцию импульсного фильтра, может быть записана также в другом виде через введенную передаточную функцию Ил (Р): И'(г) = Е(И' (р)).
(15 123) На выходе дискретного фильтра может рассматриваться смещенная решетчатая функция у [и, е) и и!л [а, з[. Тогда передаточная Функция Ю И (...) = г, (и. [л, з)) = ~ ю. [и, .) .—, л=-О изображение выходной величины (15.125) У (г, е) = И' (г, е) Х (г). Однако большинство задач по исследованию дискретных систем может быть решено при использовании передаточной функции И' (г), которая в основном и будет в дальнейшем рассматриваться.
Как следует из полученных выше формул, дискретная передаточная функция должна определяться по приведенной весовой функции непрерывной части. В случае, когда непрерывная часть состоит из параллельно включенных звеньев и ее передаточная функция И о(Р) =- Х И'о! (Р) (15 126) дискретная передаточная функция И'(г) может быть определена суммированием частных дискретных передаточных функций, определенных для каждого звена в отдельности: И'(г) = ~ И'! (г).
(15 127) о=! В отличие от непрерывных систем подобное правило не имеет места для случая последовательно включенных звеньев с общей передаточной функцией о И о (Р) ' П И о!(Р) о=- ! и общим импульсным элементом на входе. В этом случае И'(г)'-ь Ц И'; (г) (15,128) (15 129) и передаточная функция И"(г) должна сразу определяться по результирующей весовой функции и„ (г). Для последовательного соединения звеньев и!!(1) может, например, определяться по теореме разлон'ения.
Иногда для последовательного соединения, например, двух звеньев результирующая передаточная функция вместо формы (15.129) записывается в виде И'(г) = И',И'о (г). Символ И',И', (г) должен рассматриваться как единый и относящийся к операции нахождения дискретной передаточной 1 хо] пегедаточные Функции функции последовательно включенных звеньев с общей передаточной функцией и'о1 (р) и'ог (р). Однако в том случае, когда имеется ряд последовательно включенных звеньев, каждое из которых имеет на входе свой импульсный элемент (последовательно включенные импульсные фильтры), результирующая передаточная функции может находиться перемножением дискретных передаточных функций каждого импульсного фильтра: о г И'(г) - "Ц И'1(г) = П 2(И'о1(р)) 1=.1 1-1 Непрерывная часть дискретного фильтра может содержать временное аапаздывание т =- РТ.
Тогда дискретная передаточная функция И() =2(И.(р) -") =2( (1 — т)) (15Л31) доля1на определяться в соответствии с формулами (15.51) и (15.52). Если аапаздывание лежит в пределах О ( т ~ Т или 0 $ < 1, то при 1п = 0 и е = 0 имеем иэ (15.51) И~ (г) = г 12, (и1 [п, 1 — Ц = г 1 ~~~ и и [и, 1 — $1 г ". (15Л32) я=о При использовании табл. 15.1 необходимо положить е = 1 — $. Рассмотрим нахождение приведенной весовой функции ю (1) или ее иаображения оу' (р) для различных экстраполяторов. В соответствии с изложенным выше можно эаписать следующую зависимость: и . (Р) = р.
(Р) и, (р) = и, (р) И о (р), (15ЛЗЗ) где г"„(р) — иэображение импульса на выходе акстраполятора при поступлении на его вход единственной дискреты б, [п[ в соответствии с (15.115), равное передаточной функции акстраполятора И', (р) для случая (15.116). В формуле (15.133) передаточная функция оуо (р) относится к непрерывной части.
Амплитудно-импульсная модуляция 1-го рода. В этом случае реальный импульсный элемент генерирует короткие прямоугольные импульсы, высота которых равна значению х [п1, а продолжительность составляет го = уТ, где у с. 1 (рнс. 15Л, и). Изображение импульса при поступлении на вход экстраполятора функции б, [п1 будет тт УР т Р„(р) = 1 е — "' й = Р В этом случае передаточная функция разомкнутой системы (г) — ( е(Р) о(Р)) — ° ) Р ' о(Р)) (15.134) где е = 1 — у. Формулу (15ЛЗ4) мояоно также записать в следующем виде. Так как деление передаточной функции И'о (р) на р эквивалентно интегрированию оригинала, т. е. весовой функции ио (1)„то в результате И'(г)=Я(Ьо[п1) — — 2(до[и+ е[)=Но(г, 0) — г ЧХо(г„е), (15.135) 1 460 (ьь !з имптльсныв системы где Ьз [п! — переходная функция непрерывной части системы, а Не (з, е)— изображение этой переходной функции.
Пусть, например, кепрерывпая часть системы имеет передаточную функцию К 1+т»р ' которой соответствует переходная функция йе(») = — К(1 — е ""), где а = Т,'. Тогда в соответствии с (15.135) и табл, 15.1»»случаем И()=К~ — — + [=К =К (1 — »О г 1 лл л»(л — в»( (д т — 1) (л — 1) (» — л)» — 1» — д, л — В» — л где»( = е-»'", е = 1 — у. При у (( 1 в формуле (15.134) можно приблин еяпо принять е-трт ж 1— — урТ.
Тогда получим И'(з) ж уТХ(И»е (р)). (15.136) т — г Р„(р) = 11'-Р» [1= 1 — е Р» — 1 лР(15.137) Передаточная функция разол»»»кутай системы з общем случае наличия временного запаздывания И'(з)=-' — Я ~ е Р)е-Р'~ ==,У, ( — " — Р~), (15.138) где е =- 1 — $, т =- РТ, причем 0 < $ ~ 1. Смещенное з-преобразование должно вычисляться в соответствии с формулами (15.51) и (15.52).
Формула (15.136) будет справедлива, если можно пренебречь влиянием конечной длительности и»шульса. Это эквивалентно замене коротких прямоугольных импульсов, которые генерируются реальным импульсным элементом, серией одинаковых с вики по площади импульсных функций (б -функций). В свою очередь ато эквивалентно замене И»,(р) тТ. Такая замена обоснована, если пепрерывиая часть реагирует практически одинаково па реальные конечные импульсы и на Ж Ю равные по площади импульсы типа б-функе — ций. В большинстве случаев для выполнения лл этого достаточпо, чтобы постоянные времени системы были больп»е продолжительности 1 импульса, т. е.
Т, ~1„= — уТ (» =-1, 2, ..., й). К формуле (15.136) сводится и случай ! амплитудно-импульсной модуляции 2-го рода ! 1 ! (рис. 15.1, в), если длительность реального д Т Рг,тт 4т импульса мала. Экстраполяторы с фиксацией иа период. В этом случае ка выходе экстраполятора в течение всего такта продолн»ительпостью Т удери»ивается величина, равная значению х [п[. Подобным обрааом работают, например, системы с ЦВЫ Ори использовании в ких так называемых экстраполяторов нулевого порядка (рис.
15.13). Изображение импульса на выходе экстраполятора при поступлении на вход х [п[ =-- б, [п[ будет в этом случае (при у = 1) 461 передаточные Функции $ го,г» Формула (15Л38) мон<ет быть танисе ааписана в другом виде) Иг (г) =': 2()го(1 — т)), (15.139) где Ьо (1) — переходная функция непрерывной части беа учета временного запаздывания. П р и и е р.
Определим передаточную функцию разомкнутой системы с экстраполятором нулевого порядка для случая, когда непрерывная часть имеет передаточную функцию И' ( 'Р) = р(1+Т,р) ' Общий козффициент усиления К вЂ” — 100 сек-', постоянная времени объекта Т, =- 1 сек, период дискретности Т = 0,5 сек, постоянное временное запаздывание т =- 0 и т =- 0,1 сек. Рассмотрим случай т =- О. Разложим выран<ение, находящееся в скобках (15.138), на простые дроби: Тогда имеем из (15.138) и табл. 15.1 К(г — 1] ( 1 То Т1 ) К(г — И (" Тг Тог Тог г ) р' р 1+Тор~ г ( (г — 1)г г — 1 ' г — »1) К((Т вЂ” То+»)То) г+(1 — г() То — ЕТ) 11г+8,5 (г — 1) (г — »() (г — 1) (г — 0,61) ' 3десь г( = е тггт 0,61. Для случая т=0,1 сек (кли $=-0,2) аналогично будем иметь, положив а.=1 — $, К(г — 1) ( Тг гТг Тог, г~йТо ) тгг-»-18,6г+0,82 гг ! (г — 1)о г — 1 г — 1 г — г( ) г(г — 1)(г — »О Заметим, что, положив т = 0 и е = 1 — 6 =.
1, из последнего выражения (**) нельзя получить передаточную функцию (*), так как для случая е = — 1 изображение не определяется формулой (15.51). Передаточные функции замкнутых систем. Пусть для систем с единичной главной обратной связью (рис. 15Л1 и 15.12) определена для общего случая е чь 0 передаточная функция разомкнутой системы И' (г, е). Тогда изображение выходной величины г' (г, е) = И'(г, е) Х (г, 0).
(15.140) 1 (г, О) =- . 6 (г, 0) = Ф (г, 0) 6 (г, 0), Х(г, 0)= „1",' 0) — — Фг(г, 0)6(г, 0). (15Л41) (15.142) Изображение ошибки принято в виде Х (г, 0), так как импульсный элемент реагирует на аначения ошибки в дискретные моменты времеви 1 = иТ (е =- 0). При е =" 0 имеем Х (г, 0) =- 6 (г, 0) — )' (г, 0). Подставляя зто выражение в (15.140), получаем 462 1лл 1Ь ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ Или в сокращенной записи У(з)=- С(з)=-Ф(з)С(г), Х (з) = (' =.
Ф„ (з) 6 (з). (15.143) (15.144) Здесь введены передаточная функция замкнутой системы Ф (з) и передаточная функция по ошибке Ф„(з). Условием применимости формул (15 143) и (15.144) является требование равенства нулю приведенной весовой функции в момент 1 = О, т. е. ил (0) = О. Для этого в системах с бесконечно короткими импульсами в виде 6-функций требуется, чтобы степень числителя передаточной функции непрерывной части И~э (р) по крайней мере на два была меньше степени знаменателя. В системах с конечными по длительности импульсами достаточно, чтобы эта разность была бы не меньше единицы. Передаточные функции И'(г), Ф (з) и Ф„(г) могут быть использованы для оценки устойчивости и качества импульсных систем. Если е ~ О, то, учитывая, что в замкнутой системе Х (г, 0) есть изображение ошибки, на которую реагирует импульсный элемент, можно получить из (15.140) (15 145) Р~ (л) )глг (О 1 + )У (г) 1 + И'(л) (15 147) Таким образом, в случае воздействий, не приложенных ко входу импульсного элемента, передаточная функция импульсной системы может быть определена только для эквивалентного воздействия, полученного пересчетом реального воздействия на вход импульсного элемента.
Частотные передаточные функции. Введем в рассмотрение сипусоидальную последовательность па входе импульсного фильтра х [и! = а з(п (иегТ + <р), (15 148) Однако формула (15.145) обычно не используется, так как практически всегда выражения (15.141) — (15 144) могут быть использованы для оценки качества работы импульсной системы.
Передаточные функции для возмущений. Па рис. 15.14 изображен случай, когда внешнее воздействие приложено не на входе импульсного элемента (например, возмущающее воздействие). ПеШ ренесем воздействие 7 яа % )У + )рг вход в виде воздействия ~м Т ! у В соответствии с правилами преобразования структурных схем, если для Ркс. 15.14. возмущения 7 (1) изобра- жение Лапласа будет Гл (р), то возмущению 11 (1) должно соответствовать изображение Лапласа г'гл (р) = И', (р) г'(р). Далее можно найти г-преобразование эквивалентного воздействия на входе импульсного элемента г, (г) = Е(И'г(р) Р. (р)) = И'гР(з).
(15.146) Для этого воздействия в разомкнутой системе будет Х (г) =: — г", (з), а в замкнутой пегедато'чные Функции $15 3[ где а и 1р — амплитуда и начальная фаза, Т вЂ” период повторения (чередо- 2к ванин) импульсов, Т, = — — период синусоидальной последовательности. Заметим, что, в отличие от непрерывной гармонической функции, синусоидальная последовательность (15.148) представляет собой в общем случае непериодическую функцию п. Она представляет собой периодическую функцию и тогда и только тогда, когда период повторения Т и период гармонической функции Т„, — соизмеримые числа. Кроме того, амплитуда а не обязательно является тем максимальным значением, которого могут достигать те или иные члены последовательности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
