Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 99
Текст из файла (страница 99)
(15.72) Ф- Ф 2 1 10. Начальное значение решетчатой функции. Составим первую пряму1о разность Л/ (и — 1] =- / [и) — / [и — 1] и па осповакни (15.48) найдем ее изображение У2 (Л/ [и — 1]) .= (1 — г 1) г" (г) — / [0]. Рассмотрим теперь предел выран1ения [!ш У. (б/ [и — 1]) = !Пп ~ /2/ [и — 1] г-" == О. 2 2-2Ф 22=0 Тогда из последних двух формул можно найти /[О] .Ф [[ш/[и] -= !!1п г (г). (15.73) О О 448 [сп, Ю импульснык систкмы где )Π— произвольное целое число.
Вследствие этого изображения и'(2) и Р (х, з) представляют собой периодическую функцию относительно мнимой части аргумента р = 7 + )О> с периодом 2лТ-', что дает основание рассматривать изображения только внутри интервала изменения О ( О> ( 2лТ '. Удобнее использовать интервал — лТ ' с+— (О> лТ ', так как оя оказывается аналот ут ГИЧНЫМ ИнтЕРВаЛУ ЧаСтОт — оа ( О> ( со, Раосматриваемому обычно для непрерывных функций времени.
Принятый интервал дает на комплексной плоскости р = 7 + ую область а (рис. 15.9), в которой достаточно рассматривать изображение г" (2) =- и (ерт). Изображение Р (г) может иметь в этой Ю с- -~ области особые точки типа полюсов — р, (где '~т 1 = 1, 2, ..., )О).
Полюсы могут быть или веРис. 15.0. щественными или комплексно сопряженными. В случае р„, = у, ~ )лТ-' достаточно рассматривать один из этих полюсов, соответствующий, например, положительной мнимой части (на верхней границе области). Рассмотрим выражение (15.29): с пс Т(2) =- ~ 1'[п[г "= — ~ Г'[п[е — Рпт. и=-О п=с РО Рг с РО г(ерт) епсртс1р = ~ ~ ~ >[и] е-рпт~ етртс>р 'Я у [и] ) и-рт1п-пс>с7р (15 78) Р! рс с=с п=с рс При этом все полюса г'(егт) будут лексать в рассматриваемой области на комплексной плоскости левее линии интегрирования Ь.
Это и дает право изменить в (15.78) порядок операций интегрирования и суммирования. Если и чь т, то Рз — Рт[п-пс> >рс с-с<п-пц Е-РТ1п- > др-- [Е>Л<п-"'> — Е-1Л1п- >] -= О, (и — и) с р~ (и — пс) 1 РС Если п--т, то ю с[р = (с + ) лТ ') — (с — )л Т 2) = 72л Т ', Р1 Вследствие этого (15.78) можно представить в виде Рг Яраг) ср'пт сгр — ДлТ 17 [эг] Р! Заменяя т на и, получим окончательно формулу обращения с+>гпТ-г / [Л] . ~ Р (ОРТ) Ерпг О>р >2л (15.79) С-12ЛТ- Умножим левую и правую его части на е Р', где т — целое число, и проинтегрируем его вдоль линии Х (рис. 15.9) в пределах от р, = с — уиТ ' до с + )лТ ', где с — произвольная величина, болыпая, чем абсцисса абсолютной сходимостн: 449 г псг) ИСПОЛЬЗОВАНИЕ г-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Так как г=епг и г(г=Тг1]р, то формула обращения (15.79) могкет быть также представлена в другом виде: 1'[и] = —,(у г'(г) г" гг[г=- ~~" Кезнг" (г)гк '.
1 гн )2л (Лг (15.80) н=1 Интегрирование ведется по окружности с центром в начале координат и радвусом В) [гн]швг, где т= 1, 2, ..., 1 — полюсы функции г' (г). В случае простых полюсов значение интегрального вычета в точке г — -г, может быть определено из выражения Йезнг'(г) г" '= 1(ш (г — г,) г" (г) г" '.
(15.81) г гн В случае полюса кратности г значение интегрального вычета в точке г =. г, определяется выражением Вез„г" (г)г" '=, 1пп,„, [г" (г)(г — г,)" г" ']. (15.82) (г 1)1 г Коли функция г" (г) имеет нулевой полюс кратности г, то для функции г" (г) г" ' прн и=О полюс будет иметь кратность г-]-1. В этом случае значение интегрального вычета в точке г=О будет — 11ш — „[г" (г) г'~1], п= О, г), о г(г" 11пг,„„]Г (г) г""" '], гг О. (г- 1)) , , Аг<е-1> Аналогичные формулы обращения имеют место и для смещенной решетчатой функции: е+глт-г 7'[и з] '] г (ерт в)ер тг]р Т 12л е — )лт-г 7 ]и, е] — - —.
$ г (г, е) г ггг = в~1 Везн г (г, е) г н=1 (15.84) (15.85) А (г) гАо (г) В (г) ' 2) (.) ' причем будем предполагать, что степень числителя не вьппе, чем степень знаменателя, а корни знаменателя простые. Тогда иаображепие можно представить в виде суммьг 1 г(г)=. — = гло (г) Ло (гн) г В (г) л ( н=-1 22 В. А. Гееекерокка, Е, П. Попов (15.86) Полученные выражения (15.79), (15.80), (15.84) и (15.85) несколько сложны для практического использования.
Поэтому для нахождения решетчатой функции по ее изобрангепию обычно применяются другие методы, которые даны ниже. 13. Ф о р м у л ы р а з л о ж е н и я. Ксли изображение представляет собой простейшую табличнуго форму (см., например, табл. 15 1), то переход к оригиналу не представляет трудностей. Сложная дробно-рациональная форма может быть представлена в виде суммы дробей первой степени. Рассмотрим некоторые употребительные разновидности формулы разлонгения.
а) Пусть изобрагкение г (г) представляет собой отношение двух много- членов: ггьгпульсньгк систкмы (оо га где В (з) — производная В (з) по з, а з„(у == 1, 2,..., г) — корни знаменателя. Элементарному слагаемому з (з — з,) ' соответствует оригинал е — "т" т =- = з"„где а, =- Т-г 1п з,' (см. табл. 15.1).
В табл. 15.1 единственный корень дроби первой степени обозначен з, == Ы. Поэтому оригинал (15.86) можно записать следующим образом: (15.87) б) Пусть изображение Р (з) не имеет нулевого корня числителя, но степень числителя А (з) меньше степени знаменателя. Тогда, как следует пз (15.73), начальное значение решетчатой функции 7 (01 == О. Для нахождения оригинала в этом случае можно воспользоваться формулами (15.86) и (15.87), но применить их следует для сдвинутой на один такт влево решетчатой функции, изобрая ение которой будет зР (з). Для того чтобы получить в результате искомую функцию, следует в правой части (15.87) сделать сдвиг на один такт вправо, для чего нужно заменить и на п — 1.
В результате имеем !( ) '~~г .4 (оо) о-г о-.! В(оо) (15.88) причем последнее выражение будет справедливым только для и ) 1, в) Пусть изображение Р (з) не имеет нулевого корня числителя А (з), причем степень А (з) равна степени знаменателя В (з). Тогда следует понизить степень числителя, поделив его на знаменатель, и представить Р (з) в виде суммы составляющей нулевого порядка и дробно-рационального остатка Ро (з). В соответствии с формулой (15.29) первая составляющая равна начальному значению решетчатой функции 7 (0). Поэтому Р (з) -=. +~(", =1(О)+ Ро (.) —.1(О) -,-'„'<~.
Переход от второй составляющей изображения к оригикалу может быть сделан по формуле (15.88), которая справедлива для и )~ 1. г) Если изображение Р (з) можно представить в виде некоторой дробпорациональной функции Ро (з), умноженнои на изображение единичной ступенчатой решетчатой функции 1!и), которое равно (з — 1) ', т. е. Л (г) г 4о (-) Р(з) =- . = . Ро(з) = Ю(г1 г — 1 г — г йо ОО то можно показать, что формула разложения приобретает вид ! 4о (() у 4о (го) о 7'(и) =- 'зо .
Во(!) ! (( о ) гго (г ) (15.89) Л (г) А(о) Р (з) .— Последнее выра кение представлнет собой аналог известной формулы разложения Хевисайда, полученной им для непрерывных систем. д) Пусть изображение Р (з) имеет нулевой полюс кратности г и простые остальные полюсы 451 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ »ПРЕОБРАЗОВАНИЯ о 1о.з) причем степень числителя А(з) меньше степени полинома Во(г).
Тогда на основании (15.83) и (15.88) можно найти оригинал в виде О, если п (г+ 1, 1-г — зоо ", если и> г+1, Во Оо) (15.90) ]г (г) = — =- = — ~ 1 [г] + — ~. А(г) А(») 1 Г Ао() 1 — ВО) — г Ьо(г) — г» [ Во(г).1 Здесь ~[г] — значение оригинала в момент и =- г.
Далее можно воспольаоваться формулой (15.90), заменив в ней А (з) па Ао(х). е) Пусть изображение Р(г) имеет полюс г, кратности г, а все остальные полюсы простые: г" з)= — = А (г) А (г) В (г) (г †»1)г Во (г) ' причем степень числителя меньше степени знаменателя. Тогда в соответствии с (15.82) и (15.88) оригинал будет В (гч) (г )г »1 Эта формула справедлива для п> 1. При п=О значение оригинала ~ [0) =--О.
Для случая двойного корня (г = 2) формула (15.91) приобретает вид Так, например, если гг (» — 1)г ' (15.92) то )' [и) = 11ш — [Тг" ] = пТ, о'г что совпадает с табл. 15.1. В случае, когда степень числителя г'(г) равна степени знаменателя, следует аналогично изложенному выше выделить член нулевого порядка / [0] делением числителя ца знаменатель и рассматривать далее остаток от деления. 14.
Разлояоение в ряд Лорана. Из основного выражения для нахождения г-преобразования (15.29) следует: В (г) = ~ Г [я] г "—.. ) ]0]+ ~ [1] з 1 --' ... + ( [)»] г «+... о=.-о Разложив любым способом изображение Г (г) в ряд Лорана (ряд по 29« При равенстве степеней числителя и полинома В,(г) следует выделить делением А (г) па Во(г) нулевую составляющую и остаток, после чего представить изображение в виде 452 (го. 15 импульснык систкмы убывающим степеням г): Р(г) =со+сгг+ ... +сог-о+..., и сравнивая два ряда между собой, можно установить, что со = ~ [01, с, = / [11, сг = ~ [21,..., со = ~!)с[ и т. д. Разложение в ряд можно делать любым способом, так как такое разложение единственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
