Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Кроме того, ввиду малости величины отклонения давления р в процессе регулирования от его установивпсегося значения можно считать, что — ж 1, а следовательно, Р согласно (14.23) Ро ж 1. В результате из уравнений (14.21), (14.22) и (14.24) ро 422 СнотЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 1ол. ~О получаем ш до ш ' д! Роао до ' (14.26) Введем обозначения для относительного отклонения ~р регулируемой величины от ее установившегося значения и для относительной координаты Л вдоль трубопровода: (14.
27) а также для относительного отклонения ф скорости движения газа в трубопроводе: Ч'=)о цро о о (14.28) где юо — скорость газа в трубопроводе при установившемся процессе, )о— показатель степени в адиабатическом уравнении состояния газа (14.23).
Переходя в уравнениях (14.26) к атим относительным безразмерным переменным и бесконечно малым приращениям, получаем искомые уравнения регулируемого объекта (трубопровода) в виде где введены дза постоянных параметра регулируемого объекта: Ь мо т = —, (14.30) о — о,о ° а ' м Первый из них (То) представляет собой, очевидно, время прохождения гааа по данному трубопроводу в установившемся процессе, а второй (у) — отношение установившейся скорости газа к скорости авука в нем.
Заметим, что уравнения (14.29) эквивалентны так называемому волновому уравнению оды дХо' (14.31) которое легко получается, если первое из уравнений (14.29) продифференцировать по Л, а второе — по Г и сравнить результаты дифференцирования. Для системы уравнений в частных производных (14.29) надо написать граничные условия.
Для этого запишем уравнение поступления газа через регулирующий клапан в начале трубопровода и уравнение потребления газа в конце его. Используем выражение для скорости газа через его расход, а именно: ю=— 6 (14.32) дФ' ' где 6 — расход газа по весу в секунду, г" — площадь сечения трубопровода, А — ускорение силы тяжести. Условимся значения всех переменных, относящихся к началу и к концу трубопровода, обозначать индексами 1 и 2 соответственно. Расход газа в начале трубопровода С будем считать функцией координаты перемещения регулирующего клапана х, т. е.
б, = б, (х), (14.33) Эта функция (рис. 14.8) определяется либо аналитическим расчетом, либо из опытных данных. о <4.2) УРАВнения линейных систем с РАспРеделенными НАРАметРАми 423 На основании уравнений (14.32), (14.33), а такя<е формул главы 3 малое отклонение <ъ<д< величины скорости в начале трубопровода от ее установившегося значения и<о будет <дм<<о < д<о< <о 1 до — ~о=А<о = ( — ') <ъ6 -~- ( — ) Лр,= — <ъ6- — Ьр = (установившиеся аначения <до, 6о, ро пишутся без индекса 1, так как они <дс<<о одинаковы вдоль всего трубопровода).
Величина ( — ) есть тангенс угла наклон» касательной в точке С (рис. 14.8), соответствующей установившемуся процессу в трубопроводе. На основании (14.23) и (14.25) Введем безразмерную величину относительного отклонения регулирующего клапана: х — хо Л.х (14. 35) в хв где х„— условное номинальное значение, равное <<о хв да„о "( —..') (14.36) Кроме того, заметим, что согласно (14.32) шо (14.37) дрог ' Подставляя все это в (14.34), с учетом (14.28) и (14.27) получаем уравнение поступления газа через регулирующий клапан в начале трубопровода." р<+Ф< = $ (14.38) которое является первым граничным условием для уравнений объекта (14.29).
Расход газа в конце трубопровода у потребителей можно ааписать согласно (14.32) в виде 6з = горо<до. (14.39) С другой стороны, известно, что прн выходе газа из трубопровода (в случае критического истечения, которым мы для простоты и ограничимся) будет 6о=(<~I 2у Ро, (14.40) где Ч вЂ” площадь некоторого эквивалентного выходного сечения на конце трубопровода у потребителей (это величина, которая может меняться как угодно по произволу потребителя; она выражает собой, следовательно, внешнее возмущающее воздействие на данную систему регулирования), р, — давление в конце трубопровода перед выходом к потребителям, из — удельный объем гааа там же.
Уравнение для отклонения величины расхода в процессе регулирования от его установившегося значения в липеаризованном виде на основании (14.39), (14.23), (14.37) и (14.27) будет "=( ) '"+( ) (У)" = Ад<во Со Рдро<)дд,-(- —, Ьрз = — (<Рз+ <рз) (14 41) 424 СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И РАСПРГдЕЛЕНПЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 1гл. 14 Выразим Л272 также из (14.40), т. е. через изменение выходного сечения у потребителей, считая для простоты Рз=сопз1=У2: Ла,—. (ф)'ЛЕ+( —,' )'Л .=-),''. — '„'а+О 7/ — '... аз. Учитывая, что из (14.40) 0=Е Р'Й вЂ” ", (14.42) и вводя безразмерную величину изменения выходного сечения, т. е.
внешнего возмущающего воздействия 1(1)= ~. Ь0 (14.43) получим 2 11+ з ф2) ' (14.44) Сравнение выран;ений (14.41) и (14.44) дает искомос уравнение потребления газа в конце трубопровода: Фз=й7'(1)-(1- —,) ф ° (14.45) которое является вторым граничным условием для уравнения объекта (14.29). Уравнение потребления (14.45) записано для общего случая процесса регулирования с переменным внешним возмущающим воздействием, выраженным через относительную величину выходного сечения 1 у потребителей. При исследовании же переходного процесса в системе, когда после некоторого возмущения потребление установилось (() — — сопз1 =- ()', 7' —.— О), уравнение (14 45) будет иметь вид Ф2 (1 ) р А (14.46) Уравнения регулятора. Уравнение чувствительного элемента 7 61 + Т2Ч+ Ч = — 91ф1' (14.47) здесь Т„ Т, и 721 †постоянн времени и коэффициент передачи, а ЛУ Ч=— Ун (14.48) где ун — некоторое номинальное перемещение.
Индекс 1 при переменной ф в уравнении (14.47) означает, что чувствительный элемент измеряет давление газа в начале трубопровода. Уравнение управляющего элемента со струйной трубкой (14.49) Ун Уравнение пневматического двигателя на основании (5.137) будет Т,— =Т,$ = с, нн (14.50) где Т, — время двигателя. Уравнение жесткой обратной связи согласно рнс. 14.7 будет (14.51) Уравнение всей системы регулирования. Итак, для данной системы автоматического регулирования имеем уравнения объекта (14.29) с граничными о !ЕМ уРАВнения линеиных систем с РАспРеделенными пАРАметРАми 425 условиями (14.38) и(14,45) или (14.46) и уравнения регулятора (14.47), (14.49), (14.50) и (14.51).
Решение уравнений в частных производных (14.29), как известно, можно ааписать в виде следуюхцей суммы некоторых двух функций от аргументов (о — утех) и (о + уто))." ф = Ф'(~ — 7Т,).)+ Ф" ~~+7+ Т,).), (14.52) ф=- — (Ф'(~ — уто).) — Ф" (г+7Тоь)) 1 7 (легко проверить, что при подстановке этих выражений уравнения (14.29) удовлетворяются тонсдественно). Для определения функций Ф и Ф" используются граничные условия. При исследовании переходного процесса уравнение потребления газа в конце трубопровода (т. е.
второе граничное условие) возьмем в виде (14.46). Это соответствует значению 1 = Т„т. е. А = 1. Поэтому из условия (14.46) с под- становкой (14.52) получаем ~-) 7 ~»- — ,') Ф" (г+7То) =- о Ф (" 7То)~ 1-7(1 -",) 2 откуда где обозначено Ф" (1) = ЬФ' (1 — т), (14.53) ~+7 (~ — — ) Ь =- т =- 27Т . — ( —",) (14.54) Ф" = Ье '"Ф'.
(14.56) В результате все указанные уравнения системы регулирования будут: ф,=(1+Ье оэ) Ф', ф. -(1 — Ь )Ф, ~ 1 7 ф!+$о=$ (Т1Р + Тир+1) д= — Ь,ф„ а =- Ч вЂ” ь, Т,р е= а, ь =- $ (14.57). илн, после объединения некоторых уравнений, ~(1+Ье-'Р)+ — (1 — Ье-ТР) ) Ф' — $ 7 (Т1ро+ Тай+1) Ч = — Ь, (1+ Ье-' ) Ф', (Т.,'+1) ~=Ч. ' (14.58) Для начала трубопровода, где Х = О, из (14.52) с учетом (14.53) получаем: ф, = Ф' (~) + Ф" (г):= Ф' (~) + ЬФ' (~ — т), р, =- — (Ф'(~) — Ф" (г)) = — (Ф'р) — ЬФ'(с — т)).
) (14. 55) 7 7 К этим уравнениям надо присоединить первое граничное условие (14.38) и уравнения регулятора. Запишем теперь все уравнения системы регулирования в символической операторной форме, заметив предварительно, что согласно $14.1 равенство (14.53) в операторной форме имеет вид 426 систкмы с зьпаздывлннзм и глспгкдвлкнными пагзмктглми Ел. 14 Исключив отсюда переменные з и ц, приходим к одному дифференциальному уравнению данной системы автоматического регулирования: ((Т~р'+ Тзр+ 1) (Т,р+ 1) [(1+ Ье-™) —, — (1 — Ье-ч~)]+1, (1+ Ье-ж)) Ф' = О, которое преобразуется к виду ( ~ Т(р'+ Т р + 1) (Т,р+ 1) + — '~ ~ + + Ь ~+ ( (Т~р'+ Тзр+ 1) (Т,р+1) -)- — "т ) е-'Р)~Ф' = О. (14.59) Это уравнение имеет в основном тот к<е вид, что и уравнение системы с за- паздыванием (например, (14.19) и (14.20)). Здесь оно определяет величину Ф', через которую затем находятся из вышенаписанных соотношений регулируе- мая величина ~р, и другие.
Параметр т в этом уравнении согласно (14.54) и (14.30) вычисляется по формуле 7, т=2 —, а ' т. е. т есть удвоенное время прохождения звука в газе по данному трубопроводу. Уравнение системы регулирования без учета волновых процессов. Интересно сравнить полученное дифференциально-разностное уравнение (14.59) с тем, которое получилось бы, если не учитывать волновых явлений в трубопроводе. Будем считать, что весь газ в трубопроводе движется, как единая масса с единой скоростшо и давлением,при этом учтем, конечно, сжимаемость газа.
Будем считать, что приток и потребление газа в единицу времени в этом случае будут 6, = 6, (х), 6, =- 6з (р). Изменение количества газа, находящегося в трубопроводе, в единицу времени будет 6, — 6,; но 63 62 (61 6) (62 — 6)=-Л6! Л62 ( ) ЛХ ( ) Лр~ используя (14.35), (14.35) и (14.27), получим (14.61) С другой стороны, количество газа (по весу) равно браг', так как Рг' есть объем трубопровода. Поэтому изменение количества газа в единицу времени, го используя (14.24) и соотношение — 1, запишем в виде Р 6, — 6,.= — (дру7,) =— д х~~ кг и аз ~п или, с учетом (14.25), (14,27) и (14.37), (14.62) Сравнивая (14.91) и (14,62), получаем искомое уравнение регулируемого объекта (трубопровода) без учета волновых процессов: Т,'р+ (кр= Ъ, (14.63) где (14.64) $14.3) исследОВАние УстоичиВОсти и ИАчестВА РВРУлиРОВАния 427 (Тор+6)»р=$ (Т*,р +Тай+1)ц= — ~,Р, (Тай+1) з=ц (14.65) или ((Т,р + 6) (Т',р' + Т,р + 1) (Т,р + 1) + й»)»р = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
