Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Продифференцировав его дважды и исключив промежуточные переменные, получаем (13.30) Сравнивая (13.30) и (13.27), видим, что выражение (13.28) будет частным решением уравнения (13.27), если выполняется тождество з(л')з т л (13.31) Решение уравнения (13.31) и отыскание функции У(с) является сложной задачей вследствие наличия нелипейностей в (13.31). Однако может быть найдено приближенное решение (13.31) в виде ряда, если удовлетворяются неравенства ~ —,, ~ <е, ~ —,~<е', е((1.
Тогда ре1пение (13.21) можно представить в виде (13.32) 'У= лс+Л'1+111+ ° ° осси) 4О1 нАхождение1Функцни ВесА Подставляя этот ряд в (13.31), получаем формулы для определения членов ряда: су, »: —.- [с Р (с), 2ас ас о ['~~о)с 1 сс'о (13.33) (13.3» (13.39) которое получается из (13.31) и (13.34). Метод последовательных приближений. Рассмотрим уравнение (13.1)1 дан аО(С) 1„-1- г ЯН (С)Х=-(Са(С),» +... +(С~(С)1. Ограничиваясь случаем квазнстационарных систем и полагая, что коэффициенты а, (с) меняются медленно, найдем функцию веса для этого уравнения.
Переменные коэффициенты в левой части исходного уравнения представим в виде суммы постоянной и изменяющейся частей: а, (с) == а', -',— а", = а, (д) + а', (с — д), (13.410) 26 Э. А. Бесенерснна, Г. П. Пеона Часто можно ограничиться только первым членом ряда (13.22), что будет справедливым, если функция г" (С) изменяется медленно, оставансь в среднем большой (рнс. 13.4). Тогда л (с) = [Гр (с).
(13.34) При выполнении условия Р(с)) О в качестве второго частного реше- ния можно взять комплексно-сопряженную величину (13.29) ит (с) = = — еицсс 1 (13.35) Тогда мол во показать, что решение уравнения (13.26) будет г (С вЂ” д д) — ис (с) "а(д) — ~с (д) ис(с) ис (с) и,(Е) — 1(д) иа (с) (13 36) ис (Е) иа(С)) — ис(д) иа(д) г ! или, после подстановки (13.28) и (13.35), с'(С вЂ” д, д) — —, 1 з1в [Я(С) — Ю(д)[.
[ д(с)А'(д) В предельном случае постоянства параметров Р(С) =И=сове(. Тогда 5(с)=1сс и Я(д)=-йд. В результате иэ формулы (13.37) можно получить функцию веса консервативного звена г (С вЂ” д, д) =- — е )в 1с (С вЂ” д) =- — Мв Пт. 1 1 9 С(ля исходного дифференциального уравнения (13.19) на основании (13.25) и (13.37) получаем искомусо функцию веса 1 — сн си и (с — д, д)-..—, е е з1п [Я(с)-Я(д)[.
(13.38) ', 'Г (с) С (д) Критерием медленности изменения функции Р (с) и, следовательно, прнхсеннмости полученного выражения может служить неравенство 402 баас 1з систкмы с пеРеменнымп ПАРАмнтРАми где а', =- а; (д) — переменный коэффициент, зафиксированный для момента приложения входной величины 1=6. Тогда исходное дифференциальное уравнение (13.1) можно представить в виде (13.41) а,— „„, +ш — „,„, +...
—,'-щ~=~,(~) — у(г), где ~,(г) =б,(г) — ",,„~+... +б„(г) 1, (13.42) (13.43) Поскольку мы предположили, что коэффициенты а; (г) меняются медленно, то функция у (1) мала по сравнению с левой частью (13.41). Зту функцию можно рассматривать как возмущенно, и тогда к уравнению (13.41) можно применить метод последовательных приближений. В уравнении (13.41) можно перейтн к изображениям по Лапласу. Тогда получим Х (р) = Ф (р) Р, (р) — Ф (р) У (р).
(13.44) Здесь введено обозначение Решение уравнения (13.41) или (13.44) можно записать в виде ряда Х(г) =Х1+Хз, Хз+ (13.46) Для получения первого приближения х, зафиксируем переменные коэффициенты а; (Г) =- а; (О). Тогда первое приближение может быть найдено как решение дифференциального уравнения (13.47) Решение этого уравнения можно получить, используя обычные методы (см. главу 7), в том числе путем нахождения оригинала, соответствующего изображению (13.44) прн У (р) =. 0: Х, (р) =- Ф (Р) ро (Р). (13.48) Для получения второго приближения в правую часть (13.41) или (13.44) подставляется первое приближение х =- х„а в левую часть — х =. х, + х,. Тогда получается уравнение с фиксированными коэффициентами для определения поправки: "'х, г аз — '"' +...
+апхз"=- — ( а$ ' —,'-... +а~х,~. (13 40) ш"' ''' ~ ш'~ Это уравнение также может быть решено с использованием преооразования Лапласа посредством нахождения оригинала изображения Хг (Р) — Ф (Р) ) 1 (Р) где У, (р) — изображение у (г) при подстановке в формулу (13.43) х -= х,. Повторяя этот процесс многократно, можно найти рекурронтное соотношение длн определении й-го члена ряда (13.46): 9 аэ —,„— +... + а„хз '=- — ( аз — а,-,—,= -,'-... + а„хь- ~~~ ° (1:.ъ.о0) Ряд (13.46) сходится тем быстрее, чем медленнее изменяются коэффициенты а; (1).
Рассмотренный метод может использоваться как для нахожде- 4О3 НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ ВЕСА с сзл) ния функции веса и переходной функции, так и для построения переходного процесса при любом известном воздействии ~ (С). Численно-графический метод. Численно-графический метод Д. ст. Башкирова [98) разработан также применительно к системам с переменными во времени параметрами, причем можно вводить любое переменное воамущающее или задающее воздействие и произвольные начальные условия. Неоднородные уравнения первого порядка с и е р е м е н н ы и и к о э ф ф и ц и е н т а м и. Пусть требуется построить решение уравнения ао (С) х + а, (С) х = )с (С) с начальным условием х =- хо при С = О.
Разделив его на а, (С), приведем уравнение к виду Т (С) я+ х = 1 (С), (13.51) где Т(С) == — —, аа (С) ас (с) ' Уравнение (13.51) можно решать графически, если считать Т постоян- ным и равным Т (С+ — у внутри каждого интервала времени (С, С+ схС), ССС~ з! но различным для разных интервалов. Формула для решения в этом случае будет С (С + — ) — а(С) Ф ао (С) х + а, (С) х + а, (С) х =- ~с (С), которое моясно записать также в виде Тс (С) Тс(С) х+ Тс(С)х+х =) (С), (13.52) Т. (С) =- — - . ) (С) = ас (с) 1» (О аа (С) ас (С) Т, (С):= —, ао (С) ас (С) а процесс построения сводится к следующему.
Наносим заданные кривые С (С) и Т(С) (рис. 13.5). Из точки Е кривой ~ (С), взятой в середине первого интервала 5(, отклады- СВИСС заем по горизонтали отрезок ЕМ = Т с — ) 12) величина которого берется равной ординате точки Н заданной кривой Т (С), т. е. тоже в середине первого интервала ЛС. Полученная точка М соединяется прямой линией Ряс. 13.5.
с заданной начальной точкой процесса Л. В результате получается новая точка хс искомой кривой х (С). Затем аналогично берется ордината точки 1, откладывается в виде отрезка Есс( и проводится прямая ЖВ, дающая новую точку С решения х (С), и т. д. Неоднородные уравяения второго порядка с и е р е и е н н ы м и к о э ф ф н ц н е н т а и и. Требуется построить решение уравнения 404 СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ )гл. 1з с начальными условиями х =-.
хз, х = — хз при г = О. Если в правой части (13.52) имеется операторное выражение, то предварительно производим вычисление правой части и сводим ее к ( (з). Если обозначить х, = — Т, (() х, то уравнение (13.52) разобьется на два: Т,(Г) х +х, = 7 (() — ф((), Тз(8) х= х,, (13.53) где ф(1) =х — Тз(г) х, Тз(г) =.Тз(г) а начальные условия будут (13.54) х = хз, х, .= х„= Тз (0) хз прн г = О. Формулы для решения уравнений (13,53) согласно [64, 78] будут лз лз ~ (' ~ ) (' ~ Р ) '<9 1 Т (з+ — )+— ал л, (з+ аз) гз (з-)-аз) ' (13.55) где ф(+ 2) (+2) з( 2) б) причем во второй из формул (13.55) значения Ьх берутся со сдвигом на Ь1/2 вправо по сравнению с Ьх,.
Отсюда вытекает следующее построеа ние. Наносим ааданные кривые Т, (г) и Тз (1), а также кривую Тз(1), ординаты которой определяются по второй из формул (13.54). Они показаны на графике (рис. 13.6, а). ~ ~На другом графике наносим заданное 7' (~) (рис. 13.6, б). На основании заданных начальных условий (см. выше) наносим на последнем графине точки хз, х,з и в середине первого интервала Ь( (как в $ 7.6) еще точку А с ординатой (7.76), т. е. аз би х ( — ) — хз+ — х,, Из точки Е, в середине первого интервала Ьг на кривой Д~) откладь|- ваем вниз отрезок 'с', Ез = ф ( — ) = х ( —,) — 7 з ( — ) хз (вниз, когда он положителен, и вверх, когда он отрицателен).
При этом 2Лзз величина х ( — ) берется как ордината уже имеющейся точки А, величина (2) Лзз Тз( — ) берется из графика Т, ((), а величина хз — из заданных начальных х, 405 з гз.з] пвэвдАточныв Функции условий. Из полученной точки Е, откладываем горизонтальный отрезок ЕгМ.=Т, ( ~ ), размер которого берется из графика Т, (г). Точку М соединяем прямой линией с точкой хцо что дает новую точку Н, кривой х, (г) при г' = Лг. Из точки Н, откладываем вниз отрезок Н,Н, .х( ~'), равный ординате точки А. Из точки Нг проводим гориаонтальный отреаок НгК =- Тг (Лз) размер которого берется из графика Тг (г).
Точку К соединяем с точкой А, что дает новую точку В искомой кривой х (г) в середине второго интервала Лг. Опишем еще второй шаг интегрирования. Из точки Р, кривой 1 (З) в середине второго интервала Лг откладывается вниз отрезок Р,Рг=-Ч>(ЛГ+ ~ ) = — х — Т (Лг+ — о — ) геао аг Лг где хз — ордината точки В, полученной выше; 1дгг, — тангенс угла наклона прямой КА, проведенной ранее (он дает требуемое значение х). Откладываем отрезок РгХ-.:= Т, (Лг+ — ) и проводим прямую ХН„получая при этом новую точку 1, кривой х, (г). Иа точки 1, откладываем вниз 1г1г =- хз, а затем вправо 1гЬ = — Тг (2ЛЗ), после чего проводим прямую ЕВ. Это дает новую точку С искомой кривой х (г) и т. д. Псе описанные построения можно заменить числовыми расчетами.
и 13.3. Передаточные функции Связь между входной и выходной величинами в системе с переменными' параметрами определяется интегральной аависимостью (43.9): г х(г)= 1 ш(з — 6, 6)1(6) И. о Предполоязвм, что к входному сигналу ((О можно применить преобразование Фурье (7А5). Тогда его можно представить в виде (7А6): + 1(г)--- —, ( Р(Во) ег"'йо.
2я Объединяя записанные выше две формулы, получаем (13.56) 406 «гл. 13 СИСТЕМЫ С ПКРЕМКННЫМИ ПАРАМКТРАМИ Здесь в первом интеграле нижний предел взят равным — со. Это отражает тот факт, что входное воздействие может начаться в любой момент времени при « -' О, в том числе и при « — — оо. Меняя в (13.56) порядок интегрирования и умножая правую часть на е) ' е ) '=- 1, получаем +ю л х(«) =- —, ) Р(уо))е«"'Йо ~ )Р(« — О, 0)е — «эп-о) Ю= $ зл Ф + — — ~ И'(ую, «) Р(ую) е«щ йо. (13.57) Здесь введена частотная передаточная функция системы с переменными параметрами И)(уо) «) ~ и,(«0 0) е-)вы-о) г(0 (13.58) Ее можно представить также в следующем виде: х(«)=- ~ ~ И (Р «)Р(Р)е" йр, (13.61) где параметрическая передаточная функция И'(Р, «) =- ~ и (« — д, О)е — Рк — ю«(О=- ) й(0, « — О)е Ро «(О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
