Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Оптимизироваться может также не одно качество, а определенная комбинация качеств. Рассмотрим основные виды ограничений. 1. Ограничения на фазовые координаты и управления ! х; ( ~(х~ л„1 —. 1,..., к, ~и,~~(и~ „, 7=1,...,к. (12.124) При отсутствии ограничений подобного рода говорят, что задача оптимизации относится к числу вариационных задач в открытой области. Введение подобных ограничений приводит к задаче в закрытой области, что значительно усложняет решение и часто делает невозможным использование классических вариационных методов (см. главу 23).
2. Ограничения типа голономных связей бл (х„..., х„, г) =- О (й =- 1,..., Е), (12.125) где СА — некоторые функции, которые в общем случае могут зависеть от времени. 3. Ограничения гнпа неголономных связей в виде дифференциальных уравнений СА (х„..., х„; х„..., х„;...) = О (к = 1,..., Р). (12.126) 4.
Изопериметрические ограничения в виде функционалов 7А= ) ПА(Г, х„..., х„)г(Г~(аА (Й=1,..., 1), (12.127) где в правой части находятся некоторые постоянные числа, которые не должны превосходнться. В качества аА могут фигурировать такие величины, как, например, предельная температура нагревания, количество выделившегося тепла, расход энергии или рабочего тела н т. и, Отличие синтеза оптимальной системы от синтеза системы по заданным показателям качества, рассмотренного ранее, состоит в том, чтобы добиться не просто требуемых показателей, а наилучших показателей, т.
е. «выжать» нз системы все, что она может дать по определенному виду качества, наиболее важному для этой системы, при соблюдении заданных требований по всем необходимым другим ее свойствам. Поэтому аадача оптимизации систем является в существе своем задачей вариационного типа, когда требуется подобрать программу н закон регулирования, а также и параметры системы управления (регулятора) таким образом, чтобы получить минимум функционала, который в данном случае служит критерием оптимальности системы.
379 з 1гл] ОБ оптимлльном синтезе 1= — ~ ггг'( И' (ув) Р г(ю, г (12.128) где г — степень астатизма системы, а И' (1ю) — частотная передаточная функция разомкнутого канала управления. В статических системах (г =-- 0) значение (12.128) совпадает с эквивалентной полосой пропускания разомкнутой системы, что разъясняет фиаи- При оптимизации систем управления и регулирования необходимо различать два класса задач, решаемых последовательно: оптимизацию про.граммы регулирования (или управления) и оптизгигацию гапона регулирования (или управления). Первый из этих классов задач возникает не всегда, а лишь тогда, когда процессы в управляемой системе (например, движение управляемого объекта, ход физического или химического процесса) задаются определенной программой изменения регулируемой величины во времени или жв когда выбирается определенная связь между переменными (координатами или другими физическими величинами), которая должна соблюдаться независимо от момента времени, другими словами, когда имеется либо временная, либо параметрическая программа управления.
Примером временной программы управления может служить программа изменения угла тангажа во времени при подъеме или спуске летательного аппарата. Примером параметрической программы управления могут служить методы автоматического наведения или самонаведения, например, по принципу параллельного сближения и др.
В случае оптимизации той или иной программы управления она пе задается, а отыскивается в результате расчета по какому-либо критерию оптимальности, например по минимуму затраты энергии при желаемом маневре летательного аппарата в процессе его движения или при сближении двух аппаратов в процессе наведения. Вторым самостоятельным классом задач, как указывалось, является оптимизация закона регулирования, т. е. наилучшее построение регулятора (системы управления) для осуществления заданной программы управления.
Эта задача может иметь место во всех автоматических системах независимо от того, оптимизировалась ли программа управления или она была иначе задана, в том числе и в случае простого поддержания постоянного значения регулируемой величины и в случае любой обычной следящей системы. Прн оптимизации закона регулирования, как и обычно, рассматриваются уравнения динамики системы в отклонениях от требуемых величин (от программы). В настоящее время одной из основных проблем в оптимальном синтезе стала проблема весовых коэффициентов в функционалах качества типа (12.121) или (12.123).
Это связано с тем, что попытка введения более или менее сложного функционала качества, учитывающего весь комплекс требований к системе регулирования (точность, расход энергии, надежность, вес, технологичность и т. п.), неизбежно приводит к необходимости сопоставить между собой отдельные требования, что и должно делаться посредством весовых коэффициентов. Однако назначение этих коэффициентов пока осуществляется произвольно и, в лучшем случае, по некоторым экспертным оценкам, что иногда дает им субъективный характер. В связи с необходимостью удовлетворения в процессе синтеза многим различным требованиям возникла трактовка оптимального синтеза как такого построения системы регулирования илн управления, прн котором все необходимые требования могут быть выполнены простейшим образом ИО). В качестве критерия простоты вводится, например, функционал в частотной области 380 методы синтезА систем АвтомАтическОРО РегУлиРОВАнпя ыл.
12 ческую сущность введенного функционала. Чем меньше требуется полоса пропускания при выполнении всех качественных требований (точность, запас устойчивости, быстродействие и т. и.), тем проще реализация этой системы. В (10) показано, в частности, что приведенный в з 12.6 метод синтеза эвристическим путем приводит к минимизации функционала (12.128). Подобный метод синтеза может быть назван оптимальным синтезом по заданным качестеенным показателям. Существуют различные способы оптимизации или, иначе говоря, методы синтеза оптимальных систем, как аналитические, так и машинные. В основе этих способов ле1кат математические вариационные методы.
Каждый из них сопровождается различными вариантами приемов доведения решения задачи до конца в числовом виде. Оказывается, что это последнее представляет во многих случаях особенно трудную задачу даже прн наличии решения в принципиальном виде. Поэтому чаще всего (во всяком случае для систем высокого порядка) приходится применять вычислительные машины с использованием таких вычислительных методов, как метод градиента, метод наискорейшего спуска, и других специально разрабатываемых приемов.
Для некоторых простейших аадач имеются аналитические решения, иногда с привлечением иаображений на фазовой плоскости. Заметим, что ранее (см. з 11.9) уже был рассмотрен метод синтеза линейной оптимальной системы при случайных воздействиях по минимуму среднеквадратичной ошибки (задача Винера). Поэтому в дальнейшем изложении эта задача уже фигурировать не будет. Оптимальные законы регулирования при учете реально имеющихся ограниче1иий часто получаются нелинейными (см, главу 23). 5 12.8.
Использование классических вариационных методов Пусть в качестве критерия качества рассматривается функционал вида ! = ~ Р(х„..., х„; х„..., х„; и„..., иь, и„..., ил) ас (12.129) 1л при заданных граничных условиях х; (со) — х"; и х1 (г1) =-. х', (1 =- 1,..., и). В подынтегральпое выражение (12.129) здесь не входят производные выше первой от координат х; и управлений и;.
Если не наложено никаких ограничений, то х; и и, принадленгат открытым областям, Решение задачи в этом случае дается ураенениями Эйлера, записанными для всех координат и всех управлений, входящих в (12.129): РА,— —,Р: =0 (1==1,..., и) 1 1 (12.130) т где Р' — частные производные от подынтегральвой функции (12.129) по соответствук1щим переменным. Зто решение определяет пучок интегральных кривых (экстремалей) х, (1), из которых необходимо выбрать траекторик1, проходящую через заданные начальную и конечную точки.
При этом функции х, и и, должяы принадлежать к так называемому классу функций Сз, т. е. должны иметь 2т непрерывных производных. В рассматриваемом случае (12.129) наивысшая производная является первой (т =- 1) и функции х1 и и, должны иметь две непрерывные производные, Кроме того, для установления факта минимизации функционала (12 129) необходимо удостовериться, что вдоль экстремалей выполняются условия % мь81 нспользовлник кллсснчнских влгилцнонных мктодов 381 Р".. ) 0 и г".. )~0.
Эти условия аналогичны требованию полоя1ительности х$л3 и .иг второй производной в точке минимума функции у = у (х). Однако задача без ограничений не имеет смысла применительно к системам регулирования и управления. Введем ограничения в виде связей типа (12.125) нлн (12.126). Тогда в уравнениях (12ЛЗО) вместо функции Р должна использоваться функция (12ЛЗ2) 1= ~Г,(г, (12Л34) о т. е. бесконечному времени регулирования. В атом случае искомые функции должны принадлежать к классу С причем производная т-го порядка может иметь разрыв первого рода в точ- ке 1 =-- О.
При использовании пзопериметрнческнх ограничений типа (12.127) задача оптимизация решается также в соответствии с уравнениями (12.131), но должна быть использована функция Н=Г+~ ).,С„, ь-1 (12.135) Н=Р+,", )„(1)а„, (12.131) «=1 где Х„(~) — произвольные множители Лагранжа, в общем случае зависящие от времени г. Это будет вариационпая задача на так называемый услоенмй экстремум (т.
е. при наличии наложенных свяаей). Прн учете связей в виде дифференциальных уравнений класс функций Сз должен определяться по наивысшей производной выражения (12,131). Если рассматривается одна переменная х (1)„но функционал включает в себя проиаводные х (О более высоких порядков и имеет, например, вид н Х =- 1 Р (х, х,..., х'"'; и, и) Ю, и чо уравнения Эйлера будут иметь вид ДВ ж ~'+'' +( 1) "Р"'"' 0' 1 (12ЛЗЗ) Как и ранее, при наличии связей вместо функции г" должна рассматри- ваться функция П, определяемая (12ЛЗ1). Кчасс функций Сз определяется по наивысшей производной (12.131) ат-го порядка.
Отметим, что решение уравнений (12.130) нли (12.133) часто приводит к корням характеристического уравнения, половина которых лежит в левой, а половина — в правой полуплоскости. Это наблюдается при использовании квадратичных функционалов н конечном времени регулирования Т = 1, — Га. Для устранении неустойчивости, которая получится в случае присоеди- нения подобного регулятора к системе (если, конечно. не обеспечивается его отключение после завершения требуемого процесса перевода из одного состояния в другое), можно, например, действовать аналогично изложен- ному в з 11.9 и отбросить в решении те полюсы передаточной функции, которые лежат в правой полуплоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
