Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 88
Текст из файла (страница 88)
В рвзультате получаем функцию ю (т, д), д = сопэг. (13.5) 305 ОснОВные понятия о 13.Ц Сечение поверхности весовой функции вертикальной плоскостью, параллельной оси д, дает кривую, образованную ординатами семейства нормальных весовых функций для фиксированного значения времени т = сонат (рис. 13.2, б).
Эта кривая может быть получена путем обработки семейства нормальных весовых функций, построенных для различных моментов приложения единичного входного импульса д (рис. 13.3). Получающуюся зависимость будем называть сопряженной функцией веса: и1 (1 — д, д), (13.6) 1 = сопзс. Она также 'является параметрической функцией, так как содерноит параметр г = сопз1. Сопряженная функция веса является функцией смещения д, но может быть представлена также как функция аргумента О = — 1 — д (рис.
13.2, б), а 1 г 3 + Рас. 13.3. называемого реверс-смещением, поскольку О отсчитывается от точки д — -- 1 в сторону, противоположную смещению д. Это осуществляется подстановкой в сопряженну1о весовую функцию значения д =- 1 — О при 1 = сопз$. Б результате получаем ю (О, 1 — О), 1 = сопз1. (13.7) Проиллюстрируем все сказанное примером. Пусть функция веса системы с переменными параметрами имеет внд е-а(1-О) и1(г — д, д) = ' Зафиксировав смещение н положив, например, д =- д, .— — сопзц получаем нормальну1о функцию веса: -а1 й(1 — д, д,) = еаао — ', или в другом виде, при переходе к аргументу т=1 — д: е ае и1(т до) =' до+ т' Зафиксировав текущее время и положив, например, 1=.
го = сопз1, получаем сопряженную функцию веса -а11 й(то — д, д) —.- — ' — е*о. 1о Перейдя к реверс-смещени1о О =-1 — д, имеем е и (О, 1о — О) .=— 1о 396 Мк. 13 СИСТЕМЫ С ПГРКМВННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Заметим, что в системах с постоянными'параметрами весовая функция является функцией только времени т:-=. г — д и пе зависит от момента приложения д входного нлшульса. Рельеф функции веса (рис. 13.2) в этом случае получается цилиндрическим, а оба рассмотренных выше сечения (рис. 13.2, а и б) совпадают по форме и отличаются только знаками аргументов.
При переходе к реверс-смещению получаем полное совпадение двух функций веса— нормальной и сопряженной: и (с) =- ш (О). Пусть на систему (13 1) с функцией веса си (г — д, 6) действует входной сигнал 1 (1). Элементарнан реакция на выходе системы в произвольный момент времени 1 ~~ д будет с(х (Л) =- и (1 — 6, 6) Г (6) с(6. Полный сигнал на выходе линейной системы определяется как суперпозиция элементарных реакций интегрированием (13.8) в пределах от 0 до 1г с х(г) = ) и (г — д, 6) 1(6) сИ.
(13.9) о Так как прн 6) г функция веса равна нулю, то выражение (13.9) можно также записать в виде .(г)=1 (~-6,6)~(6) (13.10) о Из двух последних выражений видно, что в интегральном уравнении связи между входной и выходной величинами используется сопряженная функция веса (13.6), т. е.
разрез рельефа функции веса (рис. 13.2, б) вдоль аргумента д. Если использовать реверс-смещение О =- г — д, то интегральная связь (13.9) может быть представлена в виде интеграла свертки х(г) — -) ю(О, г — О) ~(г — О) с(0. (13.11) о Как уже отмечалось, в случае постоянства параметров системы функция веса зависит только от времени (л — 6).
В атом случае формула (13.11) переходит в интеграл свертки (7.44) ! с х (1) = ~ си (0) ~ (1 — О) асО = ~ си (т) 1 (с — т) от. о о 5 13.2. Нахождение функции веса и построение переходных процессов Функция веса системы с переменпымн параметрами является исчерпывающей характеристикой этой системы, и нахождение ее важно по следующим соображениям. Функция веса характеризует протекание временных процессов в системе регулирования, и по ее виду можно судить о качестве регулирования, аналогично тому, как зто делалось для систем с постоянными парамотрами (з 8,4). По имеющейся функции веса можно определить время протекания переходного процесса, как характеристиссу быстродействия, и склонность системы к колебаниям. Кроме того, по имеющейся функции веса можно строить процесс на выходе систелсы регулирования при заданных входных воздействиях, пе производя при этом кансдый раз полного решения исходного уравнения (13.1).
В соответствии с формулами (13.9) и (13.11) для этой цели необходимо иметь сопряженные функции веса. 397 з )з.з) нАхождвнин Функции ввсА — + Р (Г) х — ч) (8), Это уравнение имеет аналитическое решение х(г) =.-е-зк)() ()(г) евп) й+С$, где (13.12) (13,13) Я (() = ) РИ й, а С вЂ” постоянная интегрирования. Пусть, например, имеется уравнение г а +а)х — — Лг). Определим для пего семейство переходных характеристик а(à — 6, ())= = Ь(т, 6). Для единичной ступенчатой функции при 6~0 уравнение (13.14) можно записать в следующем виде: г —, + а,х = 1 (1 — 6). Ыз Приведем его к виду (13.12): ее а) 1 () — О) —,+ —,х= М Далее получаем: Р(() = — ', Я (() = ~ Р (г) й = ~ — ' й = и,1п (, ез~)) гю е-ям) (-ж 0(() ==, ( () — ()) д(8)езы) й = ) е) На основании формулы (13.13) получаем Г)ж 4 ( С Ь(( — б, ())=(- ~ — +Сл(= + )" Ввиду сложности проблемы существующие методы позволяют пока решать задачу нахождения функции веса в численном виде.
Только для систем регулирования, описываемых дифференциальными уравнениями первого и иногда второго порядков, удается решать задачу в общем виде. Поатому в некоторых случаях приходится сложную систему с переменными параметрами приближенно сводить к более простой системе, движение которой описывается уравнением не выше второго порядка. Следует заметить, что большинство систем регулирования с переменными параметрами относится к так называемым квазнстационарным системам, или системам, параметры которых меня)отея сравнительно медленно. В подобных системах коэффициенты дифференциального уравнения (13.1) мало меняются в течение времени переходного процесса, определяемого временем затухания нормальной функции веса. Дифференциальное уравнение первого порядка.
В некоторых случаях для оценки вида переходных процессов системы с переменными параметрами ее уравнение приблин<евно можно свести к дифференцальному уравнению первого порядка 398 системы с пеРеменными пАРАметРАми (га. 13 При нулевых начальных условиях (для 1.— "д) должно быть Ь(0, д)=0, Отсюда определяется постоянная интегрирования д«$ С =- — —. а1 Окончательно получаем З да~-1 и1 (à — д, д) = — — Ь (1 — д, д) =— де ' 1«1 или в ином виде: да«-1 ю(т, д)=— (дч т) ' ) Для дифференциального уравнения (13.12) можно сразу найти функцию веса из общего решения (13.13), если положить в (13.12) входной сигнал равным единичному смещенному импульсу 1) (1) = б (1 — д).
Проделав необходимые выкладки, получаем иу(1 — д, д) = е-л(1 о), (13.15) где Л(1, д)= ) Р(1)е)1. о Распространим зтот результат на более общий случай записи дифференциального уравнения в виде а, (1) — + а, (1) л =- Ьо (1) / (1) . (13.16) Приведем его к виду (13.12): — + — х= — ~(1). Их а1 (1) Ьо (1) «1 ао О) ао (1) (13 17) Полол'ив ) (1) = 8(1 — д), получим для функции веса решение в виде ю(1 д д) Ьо(д) е-л(1,о) (13.18) где ! Л(1, д) = ( а' ) 1й. ао(0 Рассмотрим снова в качестве примера уравнение (13,14). Приведем его к виду (13.17): — + — л = — 1(1).
ах «1 1 «1 С 1 Обратившись к формуле (13.18), находим В(1, д) = ~ —,' о)(=а, 1п— Дифференцируя последнее выражение по д, можно получить функцию веса: НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ ВЕСА $ 13.2> и функцию веса -ас >з — д с е й(С вЂ” д, д)= — е е;.=— яс что совпадает с полученным ранее выражением. дифференциальное уравнение второго порядка. рассмотрим случай, когда дифференциальное уравнение «3.1) сводится к уравнению второго порядка + Р (с) ~, + с;с(с) х ) (1). При помощи подстановки с — ) Р(С>ЕС 1 2 х (с) = и (с) е (13.19) «3.26) это уравнение приводится к виду 1 — +К(с) и =г(с)е з =я(). «3.21) Здесь введено обозначение Р(с) =~(с) —— 1 ЕР(с) Р (с) 2 е'с 4 «3.22) ~ Р (С> еи и>(С вЂ” д, д) =г(С вЂ” д, д) е з «3.23) Если же положить Гс(С)=б(С вЂ” д), то для уравнения «3.21) будет получена весовая функция г(с — д, д), которая на основании «3.9) связана с решением з(с — д, д) зависимостью с — ) Р(ч>со с г(С вЂ” д, д)= ~ г(С вЂ” и, и)е з б(и — д)(1и.
о Эта зависимость на основании свойства дельта-функции может быть представлена в виде е — ') Р(Е> г(с — д, д) = г(с — д, д) е «3.24) В результате из «3.23) и (13.24) получаем с — ) Р(С>ЕС 1 й(с — д, д) =г(с — д, д) е (13.25) Таким образом, для отыскания функции веса (е(с — д, д) необходимо предварительно решить уравнение (13.21), которое приобретает внд + г"' (с) и = б (с — д), «3.26) При действии единичного импульса Г' (с) = б (с — д) для уравнения «3.21) получится решение и=-з(с — д, д), которое связано с весовой функцией и> (С вЂ” д, д) исходного уравнения «3.19) на основании формулы «3.20) соотношением СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ~гл.
13 с нулевыми начальными условиями: и (г) = 0 н и (г) = 0 при г = О. Полученную при решении весовую функцию и = г (г — д, д) необходимо затем подставить в (13.25) н найти 1Р (г — д, 0). Решение уравнения (13.26) может быть произведено при помощи использования функций Бесселя П18). Для этого функция рг (~) должна быть аппроксимирована отрезками прямых линий, уравнение которых сводится к виду а1 + Ь1ф. Однако это решение является сравнительно сложным. Ограничимся рассмотрением так называемого аппроксимирующего решения, которое может применяться, если функция Р (г) мало изменяется относительно своего среднего большого значения Р,р (рис. 13.4).
Это решение называется ап~ср проксимацией Бриллуина — Вентцеля— Крамера (1181. Рассмотрим однородное дифференци- альное уравнение Ркс. 13.4. — + Р (г) и = О. (13.27) Фи Предполон<им теперь, что для некоторого однородного дифференциального уравнения второго порядка получено частное решение и (8) ---=е-1вчн 1 (13.28) где (13.29) Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет ре1пенне (13.28).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
