Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 92
Текст из файла (страница 92)
(13.92) о Для звена с переменными параметрами определим весовую функцию и1, (1 — О, О) = ш, (т, б). Эта весовая функция может быть найдена точно, если дифференциальное уравнение звена имеет первый или второй порядок, или приближенными методами в соответствии с изложенным в $13.2 и з 13.3. Для ее нахождения могут быть также использованы вычислительные машины с последующей аппроксимацией решения. После нахождения весовой функции и о заморозим ее для некоторого фиксированного момента времени г = Юо, полагая при этом, что весовая функции на небольшом интервале времени вблизи точки г = до зависит только от времени т =- т — д и не зависит от зафиксированного значении смещения.
Таким образом, мы получим функцию и>о (о — й, бо) = и~о (т, бо). (13.93) Заметим при атом, что мы фиксируем аргумент б не полностью, а только в той его части, которая делает рельеф функции веса нецилиндрическим. В результате этого оба разреза (рнс. 13.2) получаются одинаковыми, т.
е. весовые функции (13.5) и (13.7) совпадают. Для весовой функции (13.93) моя<ет быть найдена передаточная функция В'о(р Оо) = ~ юо(т, бо)е-'"о(т. (13.94) о 414 систвмы с пегемеинымк пАРАмктглми роо. 1з сматриваемом методе можно учитывать при этом не только сами значения коэффициентов в отдельные моменты времени, но и характер нх изменения во вромени (скорость изменения, ускоренно изменения и т. д.).
Это делает все исследование более полным прк сохранении его относительной простоты. В некоторых случаях оказывается более целесообразным отыскание н последующее замораживание переходной функции авена с переменными параметрами (13.98) ггг (г — 9 йо) = глг (т бо). Для переходной функции (13.18) может быть найдена передаточная функция И'г(р. Юо).=-р ~ йг(т, Ь„)е-г" Нт. (13.99) По сравнению с нахождением передаточной функции по замороженной весовой функции (13.94) здесь получается обычно более полный учат динамических качеств звена с переменными параметрами.
Это оказывается наиболее заметным в тех случаях, когда в правой части дифференциального уравнения звена имоются переменные во времени коэффициенты. Их изменение может быть учтено только при нахождении переходноп Функции. так как при нахождении весовой функции значения коэффициентов в правой части уравнения фиксируя>тся в момент приложения единичного импульса. ГЛАВА 14 СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ $14.1. Уравнения линейных систем с запаздыванием Линейными системамн с гапаадываиием называются такие автоматические системы.
которые, имея в общем ту же самук> структуру, что и обыкновенные линейные системы (раздел 11), отличаются от последних тем, что в одном или нескольких из своих звеньев имеют запаздывание во времени начала изменении выходной величины (после начала изменения входной) на величину т, называемую временем запаздывания, причем зто время запаздывания остается постоянным и во всем последующем ходе процесса.
Например, если обыкновенное линейное звено описывается уравнением Т вЂ” „,' +хе=-)сх, (14.1) (апериодическое звено первого порядка), то уравнение соответствующего линейного звена с запаздыванием будет иметь внд Т вЂ” —, +хе(1) =- 1«х, (1 — т) В«» (1) Й (апериодическое звено первого порядка с запаздыванием).
Такого вида уравнения называются уравнениями с запаздывающим аргументом или дифференциально-разностными уравнениями. Обозначим х", (1) -- х, (1 — т), Тогда уравнение (14.2) запишется в обыкновенно»1 виде: ах» Т» + хл —— )сх,'. (14.3) Так, если входная величина х, изменяется скачком от нуля до единицы (рис. 14.1, а), то изменение величины х*, =- х, (1 — т), стоящей в правой части уравнения звена, изобрааится графиком рис. 14.1, б (скачок па т секунд позже).
Используя теперь переходную характеристику обыкновенного апериодического звена в применении к уравлленило (14,3), получаем изменение выходной величины хз в виде гра- фина рис. 14.1, в. Это и будет переходная харак- Рвс. 14.1. теристика апериодического авена первого порядка с запаздыванием (его апериодическое «инерционное» свойство определяется постоянной времени Т, а запаздывание — величиной т).
Линейное звено с запаздыванием. В общем случае, как и для (14.2), уравнение динамики любого линейного звена с запаздыванием моя'но 416 систгмы с зьпьздываннкм и РАспРкдклкнными пАРАмктРАмн 1»л. 1« рааонть на два: Ч'(р) ха=-Л (р) х',, х" ,(/) = х, (С вЂ” т), (14.4) что соответствует условной разбивке линейного звена с запаздыванием (рис. 14.2, а) па два: обыкновенное линейное звено того же порядка и с теми же коэффициентами и предшествующий ему элемент запаздывания (рис. 14.2, б). Временная характеристика любого звена с запаздыванием будет, следовательно, такая а;е. как у соответствующего обыкновенного звена.
но только сдвинута по оси времени вправо на величину т. Примером звена «чистого» запаздывания т является акустическая линия связи (т — время прохождения звука). Другими примерами могут слу кить система автоматического дозирования ка- ху кого-либо вещества, перемещаемого с помощью ленточного транспортера (т — вречя движения ленты на определенном участке), а также система регулирования а) б) Обынноденное хг онеооое ебеио Ркс. !4.3. Ркс 14 2 то:инины проьатываечого четалла, где т означаот время движения металла от валков до начеритечя толщины . В двух последних примерах величина т на1ывается транспортныч запаздыванием. В первом приолна,енни определенной величиной запаздывания т могут быть охаракториаован1а трубопроводы или длинные электрические линии, входящно в звенья системы (подробнее о них см.
К( 14.2). Величину запаздывания т в звене мон но определить экспериментально путем снятия временной карактористики. Например, осли при подачо на вход звена скачком некоторой величины, прнннчаечой за единицу. на ныходе получается экспериментальная кривая для х,, показанная на рис. 1 СЗ, б. «/ то можш> приближенно описать это звено как апернодическое звено первого порядка с запаздывапнеч (14.2), взяв величины т, Т и )« с экспериментальной кривой (рис. 14.3, б), Заметил«также, что так ~я же экспериментальная кривая согласно графику рнс.
14.3, в чожет трактоваться и как временнан характеристика обыкновенного аперноднческого звень второго порядка с уравнением (Т*р' + Г,р "- 1) х. = (Т»р + 1) (Г,р -; 1) х, = йх„(14.5) иричеч Т,, Тз и й мо кно вычислить из соотношений, записанных в % 4.5 длн данного звена, по некоторым замерам на эксперииентальной кривои или другими способами.
Итак, с гочки зрения временной характеристики реальное звено, приближенно описываемое уравноиием первого порядка с запаздывающнм аргул~ентом (14.2), часто мо»кет быть с такой;ке степеньн> приближения описано обыкновепныч днффере|щиальным уравнением второго порядка (14.5). Для решюшя вопроса о том, какое из этих уравнений лучшо подходит к дан- е 1ЕП уРАВнения линеиных систвм с ВАпАздыВАнием 417 или, в принятой ранее символической операторной записи, х,(7 — т) = ( 1+ —,~ +- 2,~ +...
+ ~ +... ~ х,=-е — 'Рх,. (14.6) 1' 2' ''' и Это выражение совпадает с формулой теоремы запаздывания дляизображений функций (табл. 7.2). Таким образом, для авена чистого запаздывания получаем передаточную функцию в виде ре' (р) — е-ер Заметим, что в некоторых случаях наличие большого числа малых постоянных времени в системе регулирования можно учесть в виде постоянного запаздывания, равного сумме этих постоянных времени. Действительно, пусть система содержит Х последовательно включенных апериодических звеньев первого порядка с коэффициентом передачи, равным единице, и величиной каждой постоянной времени сАТ = †. Тогда результирующая пере- 7У ' даточная функция будет (14. 8) Если Л'-~.
оо, то в пределе получаем ру'(р) = е Р'. Уже при ЛР =- 8 —: 10 передаточная функция (14.8) мало отличается от передаточной функции звена с запаздыванием (14.6). Уравнение любого линейного звена с запаздыванием (14.4) будем теперь записывать в виде с',1(р) хз = и' (р) еерх1. Передаточная функция линейного звена с запаздыванием будет (14.9) (14.10) где через И'о(р) обозначена передаточная функция соответствующего обыкновенного линейного звена без запаздывания. Частотная передаточная функция получается из (14.10) подстановкой Р =!'со: )У' (7ю) = И'о ()ю) е-1"' = Ао (оо) еФРо(о>-™7, (14,11) где Ао(оо) и фо (о1) — модУль и фаза частотной пеРедаточной фУнкции звена без запаздывания.
Отсюда получаем следующее правило. Для построения амплитудно-фазовой характеристики любого линейного авена с запаздыванием нужно взять характеристику соответствующего обыкновенного линейного звена и каждую ее точку сдвинуть вдоль окружности по часовой стрелке па угол тео, где оо — значение частоты колебаний в данной точке характеристики (рнс. 14.4, а). 27 в е Весеперсппо, е и попов ному реальному звену, можно сравнить еще их амплитудно-фазовые характеристики с экспериментально снятой амплитудно-фазовой характеристикой звена, выражающей его динамические свойства при вынужденных колебаниях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
