Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 96
Текст из файла (страница 96)
15.1, а, б, в). В качестве примера возьмем импульсную систему автоматического регулирования температуры б (рис. 1.27). Структурная схема ее дана на рис. 15.2, а. Регулируемым объектом может являться, например, тепловой двигатель, температура в котором О должна поддерживаться постоянной путем изменения положения $ = Ч~ шторок (регулирующего органа), т. е. путем изменения интенсивности охлаждения двигателя.
В общем случае любая импульсная линейная система регулирования будет содержать ряд непрерывных звеньев, описываемых обыкновенными 45З овщни свкдиння в ]зл] линейными дифференциальными уравнениями, и хотя бы одно прерывное— импульсное звено. Поэтому можно изобразить обобщенную структурную схему импульсной системы регулирования так, как показано на рис.
15.2, 6, где все непрерывные звенья сведены в один блок — непрерывную часть системы. Последняя может иметь какую угодно структуру (любой сложности, с обратными свяаями н т. и.). В данном примере в линейную часть входят: приводной двигатель, регулирующий орган (шторки), регулируемый объект н чувствительный элемент (термометр сопротивления с гальванометром).
В качестве импульсной системы можно также рассматривать системы регулирования с управляющими цифровыми вычислительными машинами а) Рвс. $5.2. (ЦВМ). Дискретный характер получения и обработки информации в ЦВМ приводит к так называемому квантованию по времени, что и позволяет применить здесь теорию импульсных систем. Однако системы с ЦВМ оказываются более сложными вследствие так называемого квантования по уровню, что делает их нелинейными. Поэтому теория импульсных систем в случае использования ЦВМ применима только для приближенных исследований, когда задача может быть линеаризована. Более подробно системы с ЦВМ будут рассмотрены в главе 24.
Импульсные фильтры. Ограничимся случаем, когда на выходе импульсного элемента импульсы отстоят друг от друга на одинаковые интервалы времени, продолжительность их также одинакова и они отличаются друг от друга только по амплитуде (тип 1 и тип 111 на рис. 15Л). Импульсная система может быть схематически представлена в виде соединения импульсного звена и непрерывной части. Последовательность импульсов на выходе импульсного звена после прохождения через непрерывную часть вследствие сглажи- У х' Жуюсьбюк У вающих свойств последней превра- Т паол щается в непрерывные величины на выходе. — Обычно схема импульсной системы такова, что сигнал ошибки, полученный в элементе сравнения, поступает затем на импульсный элемент (рнс. 15.3).
Импульсное звено на етой схеме изображено условно в виде ключа, который замыкается с периодом Т. Если время замыкания ключа мало по сравнению с периодом чередования Т и постоянными времени непрерывной части и если сигнал на входе ключа в течение времеви, когда он замкнут, практически постоянен, то последовательность конечных по продолжительности импульсов на выходе ключа можно заменить последовательностью дельта-функций. Величина каждой дельта-функции (точнее, интеграла от нее по времени);будет пропорциональной значению сигнала на входе ключа в момент его замыкания, 2ое Э.
Ь. ВЕЕЕНЕровва, И. П. ПОПОВ импкльсныв систвмы Ггл. !Ъ ~[я[=- ~(с)[с .. (15.1) а) показана на рис. 15.5. Изображенные на рис. 15.5, б ордикаты представляют собой так называемые днскреты исход- у т гт гт 4т ной непрерывной функции т (1) при 8 = = пТ (рис. 15.5, а). Дискреты Т' (г) могут быть также тс'п Т/ определены для смещенных моментов времени 8 = пТ+ тхТ = (и + з)Т. Смещение съ Т = сопз1 может быть положительной или отрицательной величиной при выполнении условия [ ЬТ [( Т. Относительное смещение з = — ЬТ.
Т ' по модулю меньше единицы. Образование смещенной решетча- Тб т,лтс тай функции т' [пТ, ЬТ), или в сокращенной записи Т [и, з[, из непрерывной функции Т (с) для случая ЬТ )О изображено на рис. 15.5, е. 5) В последусощеьс изложении будем считать, что в решетчатой функции Т [п, е[ аргумент и )~ О и параметр е О. В случае необходимости рассмоРкс.
С5.5. трения функции Т'[и, е,[ с отрицательным параметром зе ( О дискретное время монсно представить в виде [(и — 1) + (1 4. з,)[ Т = [(и — 1) + е[Т. Тогда решетчатая функция может быть записана в виде Т'[и — 1, е[, где а=1+ е,. Решетчатая функция не обязательно должна формироваться из некоторой исходной непрерывной. Любая числовая последовательность некоторой пт ФТ пт 4Т Поскольку ключ замыкается в определенные моменты времени (О, Т, 2Т, ЗТ и т.
д.), то сигнал на входе необходимо рассматривать именно в эти моменты времени. Хотя на выходе непрерывной части сигнал и непрерывен, будем рассматривать его только в отдельные дискретные моменты времени. Непрерывную часть совместно с ключом на ее входе будем называть импульсным фильтром (рис. 15.4). Более строго импульсный фильтр следует определить как устройство, которое получает входные сигналы и одновременно дает гул ТР/ выходные сигналы лишь в определенные .(т) л и а Р~ у'пт, моменты времени, например Т,2Т,ЗТ н т. д. На входе непрерывной части с передаточРвс. 15.4. ной функцией И'а (р) действует дискретная функция ке [пТ[, где и = О, ~:1, -Е2, ~3 и т.
д. В соответствии со сказанным зта функция может быть представлена в виде последовательности дельта-функций. На выходе будет непрерывная функция, определяемая в эти же дискретные моменты времени: у (г) =- у [пТ[, где и — - О, ~1, ~2 и т. д. Решетчатые функции. Введем понятие решетчатой функции времени т [пТ[, или в сокращенной ааписи т' [п[, аначения которой определены в дискретные моменты времени 1 = пТ, где п — целое число, а Т вЂ” период повторения. Операция замены непрерывной функции решетчатой тФ 435 1 ззл! овщив сввдвния величины, определенная в дискретные равноотстоящие моменты времени, может быть представлена в виде решетчатой функции. Заметим, что обратная задача — формирование непрерывной функции иа решетчатой — не может быть решена однозначно, так как функции, заданной в дискретные моменты времени, может соответствовать бесконечное множество непрерывных функций.
Это показано на рис. 15.6. Непрерывные функции, совпадающие с заданными дискретами, называются огибающими решетчатой функции. Так, например, огибающая может быть изображена в виде ступенчатой функции (кривая 8 на рис. 15.6). Введем также понятие основной огибающей функции. Под основной огибающей будем понимать непрерывную функцию, совпадающую с заданными дискретами, которая может быть получена как результат решения дифференциального уравнения, порядок которого наименьший по сравнению с другими возможными огибающими, а для периодических решетчатых функций, 0 (а-ц а (и е([ Ряс.
15.7. Рнс. 15.6. кроме того, выполняется требование минимальности значений частот гармоник. Так, например, решетчатой функции е ""' могут соответствовать огибающие е " и е "' (соз юсг + р з1п сосс), где соз = 2якТ ', й — целое число, р — любое число. Однако первая яз них (основная огибающая) может быть получена в результате решения дифференциального уравнения первого порядка, тогда как вторая — в результате решения дифференциального уравнения второго порядка.
Аналогом первой производной непрерывной функции для решетчатой функции является либо первая прямая разность Ы [и! = / (и+ 1! — 7 [п[, (15,2) либо первая обратная разность Я (п! =- 7' [и! — 7' [и — 1!. (15.3) Обе зти рааности показаны на рис. 15.7. Разности могут быть определены и для смещенных решетчатых функций 7' (и, е!. Однако формулы для е ~ 0 и е = 0 здесь и далее оказываются идентичными, вследствие чего в дальнейшем излоязении принято е =- О. Прямая разность определяется в момент времени г --= пТ по будущему значению решетчатой функции при с == (и + 1) Т. Это можно сделать в тех случаях, когда будущее значение известно.
Обратная разность определяется для момента времени г = пТ по прошлому значению решетчатой функции в момент времени 1 = (и — 1) Т. Аналогом второй производной непрерывной функции для решетчатой функции служат вторые разности: прямая Л7 (п! =- Л~ [и+ 1! — Ь| [п! = ~ [и + 2! — 2~ (и+1! + ~ [и! (15.4) 28 С.. ОО ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ и обратная Чо[[п) =- Ч( [п[ — Я[и — 11 = ~[и) — 2~1п — 11 + ~1п — 21.
(15.5) Приведенные выше замечания относительно возможности вычисления прямой и обратной разностей сохраняют свою силу и здесь. Могут определяться и высшие прямая и обратная разности. Для вычисления й-й разности воаможно использование рекуррентных соотношений А"1 [п1 = А» ~п + 11 — А" '~ [п[, (15.6) Ч'1!п1 = Ч" '1 [п1 — Ч' ' ~ 1п — 11 (15.7) или формул общего вида Ю[п)= Х ( — 1)'СР[п [-й — 1, О-.О Ч"У [и) =- ~~ ( — 1)'Со~[и — у) ч=-О где биномиальные коэффициенты (число сочетаний) о в! с =- о! (» — У)! ' (15.8) (15.9) (15ЛО) Обратные разности обладают важной особенностью. Воли решетчатая функция определена только для положительных аначений аргумента, т.
е. / [п) = О при п ~ О, то, как следует из (15.9), в точке и = О )О-я разность Ч'[[О[ =--- У [О! (15.11) для любого целого положительного к. Апалогами интеграла непрерывной функции в пределах от Ода г для решетчатой функции являются неполная сумма о-О о о[и! = Х ~[т) = ».» ~[п — У) -о О=! (15Л2) и полная сумма (15Л6) со[и[с-н[п)+~[и)= ~~', ~[т)=- ~, ~[и — у[. (15.13) т=.о о=.о Отличие (15.13) от (15Л2) заключается в том, что значение У [и1 в момент времени Ф = и'Г также участвует в формировании результата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
