Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 104
Текст из файла (страница 104)
В результате получим 2 я,(Х) я(1+и ) ~ (15.191) «=а — ' а. 2 Аналогичным образом может быть определена взаимная спектральная плотность двух процессов. Заметим, что все приведенные формулы могут быть записаны и для случая е ~ О, тогда рассматривается случайная решетчатан функция Т" [и, е), корреляционная функция у1 [т, е[, спектральные плотности Я (з, е), я (еу, е) и ял (Л, е). Основное свойство спектральной плотности, как и в непрерывном случае, заключается в том, что интеграл от нее по всем частотам дает средний квадрат случайной величины.
Монако показать [136), что в дискретном случае соответствующая формула имеет вид «ут луг 7'[)=й 1 8(")".=-,' 1 8(")" — л/а' 'О Так как имеют место равенства Т 1+у — Л еу «г 2 а[за = ауХ Т ' Та 1 — у —,У 2 1+А«в то формула (15.192) может быть записана в виде — г н (у.) ву 1 г у*(у)ву. /а [и) = —,. т — 2. Та ' '" ).1+", ' ~1 ОХ) „ 4 э 15.61 случАйныв пгопнссы и импульсных систвмАх 473 Выражение (15,193) обычно является более удобным для расчетов по сравнению с (15.192), так как позволяет использовать таблицы интегралов (см.
приложение 2). Типовые случайные стационарные процессы. Если для функции ~ (э), представляющей собой центрированную помеху, эффективное время корре- ляции йт= — ) В(т) дт 1 = л(о) ОО (15 194) меныпе периода дискретности, йт<,-.Т, то такой процесс может быть представлен как дискретный белый шум с корреляционной функцией В [т! = В (О) бэ [т! (15.195) где В [О! = Р— дисперсия, а бэ [т! — единичная решетчатая импульсная функция (15.32), равная единице при ш = О и равная нулю при т Ф О.
Этому белому шуму соответствует спектральная плотность Я (э) = Я (ю) = Яэ (Л) = ТР. (15.196) Если эффективное время корреляции Лт ~ Т, то корреляционная функция В [т! может быть получен» из соответствующей корреляционной функции непрерывного процесса В (т) заменой т = тТ. Спектральная плотность может быть получена использованием формул (15.188) — (15.191). В табл. 15.2 приведены некоторые типовые дискретные стационарные случайные процессы. Таблица 15.2 Прохождение сигнала через линейную систему. Пусть на входе линейного звена с известной дискретной передаточной функцией И~ (э) действует случайная функция х, [и[, для которой известны корреляционная функция В, [т! и спектральная плотность Г~ (ю) или Ю; (Л).
Тогда для выходном величины хэ !и), аналогично непрерывному случаю, можно найти спектральную плотность умножением спектральной плотности входного сигнала нмпульсныв системы [тл, ы на квадрат модуля частотной передаточной функции: (15 197) Интегрирование спектральной плотности по всем частотам в соответствии с (15.192) и (15.193) позволяет найти средний квадрат выходной величины х~з [и[. Это позволяет для замкнутой импульсной системы производить расчеты, аналогичные изложенным в $ 11.8. Так, например, пусть в схеме, изображенной на рис. 15.11, па входе действу~от полезный сигнал л (1) и помеха и (1), не коррелнрованные между собой.
Обозначим их спектральные плотности Я (Л) и Я;, (Л). Тогда спектральная плотность ошибки Я* (Л) [ Ф* ([Л) [з Я (Л) + [ Фе (1Л) !з Яд (Л) (15 198) где Ф* (1Л) и Ф", (1Л) — частотные передато нные функции замкнутой системы и замкнутой системы по ошибке. Интегрирование (15.198) по всем частотам в соответствии с (15.193) дает средний квадрат ошибки С хе[и[ — — [ [ ' 1 И з( ) + — ( [ гх)~ " (15.199) г сЛг1 З" ~ 1.[ Лг ~' 4 Подобным же образом могут быть найдены расчетные формулы и для других возможных случаев (см.
$ 11.8). РАЗДЕЛ 1т НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ГЛАВА»б СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ НЕЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ й 16.1. Общие понятия Нелинейной системой автоматического регулирования называется такая система, которая содержит хотя бы одно авено, описываемое нелинейным уравнением. Перечислим виды нелинейных звеньев: 1) звено релейнего типа (рис. 1.12); 2) звено с кусочно-линейной характеристикой (рис.
1.10, д и др.); 3) звено с криволинейной характеристикой любого очертания; 4) звено, уравнение которого содержит произведение переменных или их производных и другие их комбинации; 5) нелинейное звено с запаздыванием, причем запаздывание понимается з смысле $14.1, а нелинейность может иметь любой вид; 6) нелинейное импульсное звено; 7) логическое звено; 8) звенья, описываемые кусочно-линейными дифференциальными уравнениями, в том числе переменная структура. Различают статические и динамические нелинейности.
Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые— е виде нелинейных дифференциальных уравнений. Общий метод составления уравнений для нелинейнь»х систем состоит е следующем. Сначала по правилам $3.1, как делалось в главе 5, производится линеаризация уравнений всех звеньев системы, для которых это допустимо, кроме существенно нелинейных звеньев (чаще всего одного-двух). Затем составляются уравнения зтих последних звеньев со всеми допустимыми упрощениями их характеристик. В результате получается система обыкновенных линейных уравнений, к которым добавляется одно-два (иногда более) нелинейных. В соответствии с атил» обобщенную структурную схему любой нелинейной системы автоматического регулирования в случае одного нелинейного звена можно представить в виде рис.
16.1, а, где линейная часть может иметь структуру любой сложности (с обратными связями и т. п., как, например, на рис. 16,1, б или в). В случае двух нелинейных авеньев могут быть разные комбинации, в зависимости от того, в какие цепи системы они входят (см., например, рис. 16.2). Часто при исследовании нелинейных систем автоматического регулирования удается выделить нелинейность так, чтобы она описывалась непосредственно зависимостью между выходной и входной величинами х, = Р(х), (16.1) которая может иметь любую форму (релейного типа, кусочно-линейного или криво линейного). Но иногда, как будет показано в следующих 476 СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ НВЛИНВИНЫХ СИСТЕИ РЕГУЛИРОВАНИЯ 1сг.
1Э параграфах, не удается этого сделать и приходится исследовать нелинейные дифференциальные зависимости вида хг = р (зы рэь), хг = Гь (хь) + Гг (рх~, (16.2) ь"'(рхг, хг) = с,х„Р, (р'хг. рхг) + е"'г (хг) =- с,г, и т. и. (16.3) Встречаются и более сложные случаи, когда обе величины (входная и выходная) оказываются под знаком нелинейной функции раздельно' Гг (рх„хг) = Р, (х,), Рг (рхй + Рг (хг) = Р, (х,), (16.4) или же вместе: (рхг' ~г' ~ь) 6 рг (хг) + гь (хг, зь) = О. (16.5) разделим все нелинейные системы регулирования на два боль 1, К п е р в о м у к л а с с у нелинейных систем отнесем такие, в которых уравнение нелинейного звена приводится к любому из видов (16.1) — (16.3), т. е.
когда под знаком нелинейной функции стоит только входная величина (и ее производные) либо только выходная величина (и ее производные). Лееиневть наеввеча Лаетвьан часть ьр Ркс. 16.!. При этом имеется в виду, что схема системы в целом может быть приведена к виду рис. 16.1 с одним нелинейным звеном. К этому классу сводится, например, также случай с двумя нелинейными звеньями, указанный на рис. 16.2, в, так как там они могут быть объединены в одно нелинейное звено. Сюда же относится и случай, показанный на рис. 16.2, г, где имеются два нелинейных звена (если их уравнения содержат под знаком нелинейности только входную величину х, например, вида (16.1) или (16.2)).
2. В т о р о й к л а с с нелинейных систем включает системы с любым числом нелинейных звеньев, когда под знаки нелинейных функций входят различные переменные, связанные между собой линейкой передаточной функцией. Так будет<b>Текст обрезан, так как является слишком большим</b>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
